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1、( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题相似三角形动点问题一选择题（共 1 小题）1如图，小正方形得边长均为1，每个小格得顶点称为格点，以格点连线为边得三角形叫格点三角形在如图55得方格中，作格点三角形与ABC 相似，则所作得格点三角形中，最小面积与最大面积分别为（）A 0、 5，2、 5B 0、 5， 5C1，2、 5D1， 5解：如图所示， DEF 与 GHI 分别就是面积最小与面积最大得三角形因为 DEF， GHI 所以它们得相似比为与 ABC 都相似， AB=， DE=1 ，GH=DE ： AB=1 ：， GH ：AB=：，又因为相似三角形得面积比等于相似比得平方，而 ABC得面积为21
2、=1，故 DEF 与 GHI 面积分别为二填空题（共10 小题）0、 5， 5故选B2如图， P 就是 Rt ABC 斜边 AB 上得动点（ P 异于 A、 B）， C=90 ， B=30 ，过点 P 得直线截 ABC ，使截得得三角形与 ABC 相似，当=或或时，截得得三角形面积为 ABC 面积得解：设P（l x）截得得三角形面积为 S， S=SABC ，则相似比为1： 2，第 1条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l 1AC ，第 2条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l 2BC ，第 3条 l ，此时 BP 与 BC 为对应边，且=3 第 4 条l4，此时，AP 与AC为对应
3、边，且，( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题=， = ， 当 = 故答案为：或或时，截得得三角形面积为或或Rt ABC面积得，3如图，在正方形ABCD中， M就是BC边上得动点，N 在CO上，且，若AB=1 ，设BM=x，当x=或时，以A 、 B、 M为顶点得三角形与以N、 C、 M为顶点得三角形相似相似三角形得性质；正方形得性质，AB=1 CN=1=， BM=x ， CM=1 x， 当 CN 与 BM 就是对应边时，=，即 =解得 x= ， 当 CN 与 AB 就是对应边时，= ，即 =，解得 x= 综上所述， x 得值就是 或故答案为： 或 4、在 ABC 中， P 就是 AB 上得动点
4、（ P 异于 A 、B），过点 P 得直线截 ABC ，使截得得三角形与 ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 得 ABC 得相似线，简记为 P（ lx）（ x 为自然数）（ 1）如图 ， A=90 ， B= C，当 BP=2PA 时，P（ l 1）、P（ l2）都就是过点P 得 ABC 得相似线 （其中 l1 BC ，l 2 AC ），此外，还有1条；（ 2）如图 ， C=90 ， B=30 ，当=或或时， P（l x）截得得三角形面积为 ABC面积得( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题分析：（ 1）过点 P 作 l 3 BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ， l3 就是第 3
5、 条相似线；（ 2）按照相似线得定义，找出所有符合条件得相似线总共有4 条，注意不要遗漏解：（ 1）存在另外1 条相似线如图 1 所示，过点 P 作 l 3 BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ；故答案为： 1；（ 2）设 P（ lx）截得得三角形面积为S，S= SABC ，则相似比为1： 2如图 2 所示，共有4 条相似线： 第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l 1 AC ， =； 第 2 条 l，此时 P 为斜边 AB 中点， l BC ， =；22 第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=， =； 第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且
6、=， =， =故答案为：或或5如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点 D 从 A点出发到B点止，动点 E从 C 点出发到 A 点止点D 运动得速度为 1cm/秒，点 E 运动得速度为 2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A 、D、 E 为顶点得三角形与 ABC 相似时，运动得时间就是 3 秒或 4、8 秒( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题动点型；分析：如果以点A 、D 、E 为顶点得三角形与 ABC 相似，由于 A 与 A 对应，那么分两种情况： D 与 B 对应； D 与 C 对应根据相似三角形得性质分别作答解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A 、
7、D、E为顶点得三角形与 ABC 相似，则 AD=t ， CE=2t ， AE=AC CE=12 2t 当 D 与 B 对应时，有 ADE ABC AD ：AB=AE ： AC ， t ：6=（ 122t）： 12 t=3 ； 当 D 与 C 对应时，有 ADE ACB AD ：AC=AE ： AB ， t ：12=（ 122t）： 6， t=4 、8故当以点A 、D 、E 为顶点得三角形与 ABC 相似时，运动得时间就是3 秒或 4、 8 秒三解答题（共19 小题）1如图，在 ABC 中， AB=6cm ， AC=12cm ，动点 M 从点 A 出发，以1cm秒得速度向点B 运动，动点N 从点
8、 C出发，以 2cm秒得速度向点A形与 ABC 相似，若存在，求出运动，若两点同时运动，就是否存在某一时刻t 得值；若不存在，请说明理由t，使得以点A 、M 、 N为顶点得三角动点型分析：首先设经过t 秒时， AMN 与 ABC 相似，可得AM=t ，CN=2t ， AN=12 2t（ 0t6），然后分别从当MN BC时， AMN ABC 与当 AMN= C 时， ANM ABC 去分析，根据相似三角形得对应边成比例即可求得答案解：存在 t=3 秒或 4、 8 秒，使以点 A 、M 、 N 为顶点得三角形与 ABC 相似（无此过程不扣分）设经过 t 秒时， AMN 与 ABC 相似，此时， A
9、M=t ，CN=2t ， AN=12 2t（0t6），（ 1）当 MN BC 时， AMN ABC ，（1 分）则，即，（ 3 分）解得 t=3 ；（ 5 分）（ 2）当 AMN= C 时， ANM ABC ，（ 6 分）则，即，（ 8 分）解得 t=4 、 8；（ 10 分）故所求 t 得值为 3 秒或 4、 8 秒2已知 AOB=90 ，OM 就是 AOB 得平分线，按以下要求解答问题：（ 1）将三角板得直角顶点P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点 C， D在图甲中，证明： PC=PD ；在图乙中，点 G 就是 CD 与 OP 得交点，且 PG=PD，求 POD
10、与 PDG 得面积之比；（ 2）将三角板得直角顶点P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D ， OD=1 ，另一直角边与直线 OA ，直线 OB 分别交于点 C， E，使以 P，D ， E 为顶点得三角形与 OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 得长( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题分析：（ 1） 可通过构建全等三角形来求解； 可根据相似比来求面积比（ 2）分两种情况进行讨论： 当 C 在 OA 上上时； 当 C 在 OA 延长线上时；解：（ 1） 证明：过 P 作 PH OA ， PN OB，垂足分别为H， N，得 HPN=90 HPC+ CPN=90 CPN+ NP
11、D=90 HPC= NPD OM 就是 AOB 得平分线 PH=PN又 PHC= PND=90 PCH PDN PC=PD PC=PD PDG=45 POD=45 PDG= POD GPD= DPO POD PDG（ 2） 若 PC 与边 OA 相交， PDE CDO令 PDE OCD CDO= PED CE=CD CO ED OE=OD OP= ED=OD=1 若 PC 与边 OA 得反向延长线相交过 P 作 PH OA ， PNOB ，垂足分别为 H， N， PED EDC令 PDE ODC PDE= ODC OEC= PED PDE= HCP PH=PN ， Rt PHC RtPND H
12、C=ND ， PC=PD PDC=45 PDO= PCH=22 、 5 OPC=180 POC OCP=22、 5 OP=OC设 OP=x ，则 OH=ON=HC=DN=OD ON=1 HC=HO+OC=+x 1=+x x=即 OP=3如图，矩形 ABCD 中， AB=6cm ， AD=3cm ， CE=2cm ，动点 P 从 A 出发以每秒 2cm 得速度向终点 B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1cm 得速度向终点 E 运动设运动得时间为 t 秒解答下列问题：( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题（ 1）当 0 t 3 时，以 A 、 P、Q 为顶点得三角形能与 ADE 相似
13、吗？（不必说理由）（ 2）连接 DQ，试求当 t 为何值时？ ADQ 为等腰三角形（ 3）求 t 为何值时？直线 PQ 平分矩形 ABCD 得面积分析：（ 1）不能相似，因为相似时，只能 AQP=90 ， QPA=30 ，而 ADE 中得锐角不能为30；（ 2）分为三种情况： 当 AD=AQ=3cm 时， 当 DA=DQ 时，过 D 作 DM AE 于 M ， 当 QA=QD 时，求出 AQ 长即可；（ 3）连接 AC ，取 AC 中点 O（即 AO=OC ），当直线PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形ABCD 得面积，根据 ROC POA ，求出 CR=AP=2t ，得出 RE=2t 2，
14、EQ=5 t，根据 RQE PQA 得出=，代入求出即可解：（ 1）不能相似；（ 2） 四边形 ABCD 就是矩形， DC=AB=6cm ， ADC=90 ，分为三种情况： 当 AD=AQ=3cm 时，此时 t=3 ； 当 DA=DQ时，过 D 作 DM AE 于 M ，在 RtADE 中， AD=3 ，DE=DC CE=6cm 2cm=4cm ，由勾股定理得：AE=5cm ，由三角形得面积公式得： SADE =AD DE=AE DM ， DM=cm，在 RtADM 中，由勾股定理得：AM= （ cm）， DM AQ ，AD=DQ ， AQ=2AM=cm（三线合一定理） ，即 t=； 当 QA
15、=QD 时，过 Q 作 QN AD 于 N，则 AN=ND= ， ADC= ANQ=90 QN DC， DN=AN ， EQ=AQ= AE= 5cm= cm，即 t=综合上述，当t 为 3 秒或秒或秒时， ADQ 就是等腰三角形（ 3）连接 AC ，取 AC 中点 O（即 AO=OC ），当直线PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形ABCD 得面积，( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题 四边形 ABCD 就是矩形， DC AB ， OCR= OAP ， 在 ROC 与 POA 中， ROC POA （ ASA ）， CR=AP=2t ， CE=2， RE=2t 2， EQ=5 t， DC A
16、B ， RQE PQA ， =，=，解得： t1=3，t2=0（舍去）即 t=3 秒时，直线PQ 平分矩形ABCD 得面积4已知： RtOAB 在直角坐标系中得位置如图所示， PC 把 Rt OAB 分割成两部分在图上画出所有线段P（ 3， 4）为 OB 得中点，点PC，使分割得到得三角形与C 为折线 Rt OABOAB 上得动点，线段相似，并直接写出点C得坐标分析：根据平行于三角形一边得直线分成得三角形与原三角形相似，可得 PC AB ，PC OA 时，分割得到得三角形与 Rt OAB相似，根据网格结构写出此时点C 得坐标即可；又当 PC OB 时，分割得到得三角形与RtOAB 也相似，根据
17、网格结构，利用勾股定理求出OB 得长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 得长度，再求出AC 得长度，从而得到此时点C 得坐标解：如图， PCAB 时， OCP OAB ，此时点 C 得坐标为（ 3， 0），PC OA 时， PCB OAB ，此时点 C 得坐标为（ 6， 4），PC OB 时， CPB OAB ，根据勾股定理得，OB=10， P（ 3， 4）为 OB 得中点， PB=OB=5 ，=，即= ，解得 BC=，AC=AB BC=8 = ，此时点 C 得坐标为（ 6， ），综上所述，点C 得坐标为（ 3， 0），（6， 4），（ 6，）( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题
18、5如图，已知矩形ABCD 得边长 AB=3cm ， BC=6cm 某一时刻，动点M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s 得速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 得速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间， AMN 得面积等于矩形 ABCD 面积得 ？（ 2）就是否存在时刻 t，使以 A， M ，N 为顶点得三角形与 ACD 相似？若存在，求 t 得值；若不存在，请说明理由动点型分析：（ 1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到得线段得长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用， AMN 得面积等于矩形 ABCD
19、面积得 作为相等关系；（ 2）先假设相似，利用相似中得比例线段列出方程，有解得且符合题意得t 值即可说明存在，反之则不存在解：（ 1）设经过 x 秒后， AMN 得面积等于矩形ABCD 面积得，则有： （ 6 2x） x= 36，即 x2 3x+2=0 ，（ 2 分）解方程，得 x1=1 ， x2=2，（ 3 分）经检验，可知 x1=1，x2=2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后， AMN 得面积等于矩形ABCD 面积得（ 4 分）（ 2）假设经过 t 秒时，以 A ， M， N 为顶点得三角形与 ACD 相似，由矩形 ABCD ，可得 CDA= MAN=90 ，因此有或（ 5 分）即
20、，或 （ 6 分）解 ，得 t=；解 ，得 t=（ 7 分）经检验， t=或 t=都符合题意，所以动点M ，N 同时出发后，经过秒或秒时，以A ， M ， N 为顶点得三角形与 ACD 相似( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题6RtABC 中， C=90 ，AC=6 厘米， BC=8 厘米，动点P 从点 A 开始在线段AC 上以 1 厘米 /秒得速度向点C 移动，同时动点Q 从点 B 开始在线段BA 上以 2 厘米 /秒得速度向点A 移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束设点P、Q 移动得时间为t 秒2时， APQ 得面积最大；（ 2）在整个运动过程中，就是否会存在以点A 、P、
21、Q 为顶点得三角形与ABC 相似？若存在，请您求出此时t 得值；若不存在，请您说明理由分析：（ 1）根据已知条件求出AB 得长，再过点Q 作 QH AC ，交 AC 与点 H ，得长 QHA BCA ，求出，即可求出QH 得值，最后求SAPQ 得值 ；（ 2）存在在以点A 、 P、Q 为顶点得三角形与 ABC 相似，此小题要分两种情况进行讨论， 当 APQ=90 时， APQ ABC ，求出 t 得值； 当 PQA=90 时， APQ ABC ，求出 t 得值，经检验它们都符合题意即可解：（ 1） BC=8 ， AC=6 ，得 AB=10 ， AP=t ， CP=6 t， BQ=2t ，AQ=
22、10 2t，过点 Q 作 QH AC ，交 AC 与点 H ， QHA BCA ， ， QH=8t ， SAPQ= AP?QH= t（ 8t ）=4t t 2；当 t=时，面积有最大值，就是4 （） 2=5=；（ 2） 当 APQ=90 时， APQ ABC ，则， ， t=； 当 PQA=90 时， APQ ABC ，则当 t 为或时，经检验，它们都符合题意，此时故存在以点A 、 P、 Q 为顶点得三角形与ABC，则 AQP相似，解得 t=与 ABC 相似，7如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC 相似得三角形分析：可利用正方形得边把对应得线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形
23、相似，分别计算各边得长度即可解题解：观察可以发现AC=AB ，故该三角形中必须有一条边与邻边得比值为 EBF 中， BF=， EF=， BF=5， DIB 中， DI=2 ， DB=2， BI=2，( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题 HFE 中， HF=， HE=2 ，EF= ABC 中， AB=1 ， AC=， BC=计算对应边比值即可求得， EBF DIB HFE ABC 8如图，在梯形ABCD 中， AD BC， AD=2 ， BC=10 ，对角线AC=4 ，动点 E 从点 B 出发，以2cm/s 得速度向点C 运动，运动时间为t（ s）（ 0t5）那么当t 为何值时，以A 、 E、
24、 C 为顶点得三角形与 ADC 相似分析：由于 AD BC，得 DAC= BCA ；若以 A 、E、 C 为顶点得三角形与 ADC 相似，可得两种情况： ADC CEA ，此时对应边AD=AD ，则两三角形全等，AD=EC=2 ； ADC CAE ，此时 AD ：AC=AC ： CE，根据所得得比例式，即可求出CE 得长；根据上述两种情况所得出得CE 得值，再除以B 点得速度，即可求出时间t 得值解： AD BC， DAC= BCA ； 当 ADC CEA时，即EC=AD=2，t=2 2=1s； 当 ADC CAE时，即CE=AC 2AD=8 ， t=82=4s；故当 t 为 1s 或 4s
25、时，以 A 、 E、C 为顶点得三角形与 ADC 相似9如图，在Rt ABC 中， C=90 ， AC=4cm ，BC=3cm 动点 M 从点 A 出发，以每秒1cm 得速度沿AC 向终点C 移动，同时动点P 从点 B 出发，以每秒2cm 得速度沿 BA 向终点 A 移动，连接PM ，设移动时间为t（单位：秒，0 t 2、 5）当 t 为何值时，以A ， P， M 为顶点得三角形与ABC 相似？分析：根据勾股定理求出AB ，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可解： 如图，在RtABC 中， C=90 ， AC=4cm ， BC=3cm 根据勾股定理，得AB=5cm ，以
26、 A ，P， M为顶点得三角形与 ABC相似，分两种情况： 当 AMP ABC时，=，即=，解得t=； 当 APM ABC时，=时，即=，解得t=，综上所述，当t=或 t=时，以A 、 P、 M为顶点得三角形与 ABC相似选作题( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题1在 ABC 中， C=90 （ 1）如图 1，P 就是 AC 上得点， 过点 P 作直线截 ABC ，使截得得三角形与 ABC 相似例如：过点 P 作 PD BC交 AB 于 D，则截得得 ADP 与 ABC 相似请您在图中画出所有满足条件得直线（ 2）如图 2， Q 就是 BC 上异于点B， C 得动点，过点Q 作直线截 ABC
27、 ，使截得得三角形与 ABC 相似，直接写出满足条件得直线得条数（不要求画出具体得直线）分析：（ 1）根据平行于三角形一边得直线截另两边或另两边得延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DP BC ，PE AB ；又由有两个角对应相等得三角形相似，可以过点P 作 PG AB 交 AC 于点 G，过点 P 作 PFC= A 即可；（ 2）本题需要根据 BQ 得取值范围不同，所画得直线条数不同讨论即可解：（ 1）如图所示：（ 2）当 0 BQ 时，满足条件得直线有3 条；当 BQ 6 时，满足条件得直线有4 条2已知：如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴， y 轴得正半轴上，点A （
28、 6， 0）， BAO=30 （ 1）求点 B 得坐标；（ 2）点 P 就是线段 AB 上得动点，若使 POA 为等腰三角形，求点P 得坐标；（ 3）在第一象限内就是否存在点 Q，使得以 Q、O、B 为顶点得三角形与 OAB 相似？若存在，请求出所有符合条件得点 Q 得坐标；若不存在，请说明理由分析：（ 1）在直角三角形AOB 中，由 OA 与 tan30得值求出 OB 得长，即可确定出B 得坐标；( 教师 ) 九年级相似三角形动点问题（ 2）P 为线段 AB 上得动点，若使 POA 为等腰三角形， 则有 OP=PA 或 PA=AO 两种情况，如图 1 所示， 当 OP1=P1A时，连接 OP
29、11 111 11 11得长，确定出此时，作 P C OA ，则 C为 AO 得中点， P C为 AOB 得中位线，求出 P C与 OCP1 得坐标；OA ，可得出 P A=AO=6 ， P AO=30 ，在 Rt P AC 中，求出 P C 与 AC 当 P A=AO 时，连接 OP ，作 P C222222222得长，进而确定出OC2得长，确定出此时2P 得坐标即可；（ 3）分三种情况考虑：当OBQ 为直角时，如图 2 所示，再分两种情况考虑： 若 BQO OAB ； 若 BQO OAB 时，分别求出 Q 得坐标；当 CQB 为直角时， 如图 3 所示，再分两种情况考虑： 过 O 作 OQ
30、 AB ，此时 QOB OAB ， 若 QBO OAB 时，分别求出Q 得坐标；当 BOQ 为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q得坐标解：（ 1）在RtAOB中，OB=OA ?tan30=6=2，则 B 坐标为（ 0，2）；（ 2） P 为线段 AB 上得动点，若使 当 OP1=P1A 时，连接OP1，作 POA 为等腰三角形，则有OP=PA 或 PA=AO 两种情况，如图P1C1 OA ，则 C1 为 AO 得中点， P1C1 为 AOB 得中位线，1 所示， P1C1=BO=， OC1=OA=3 ，此时P1 （3，）； 当 P2A=AO 时，连接OP2，作 P2C2OA ，
31、P2A=AO=6 ， P2AO=30 ， 在 Rt P2AC 中， P2C=P2A=3 ， AC 2=P2 Acos30=3，则 OC2=OA C2A=6 3，即 P2 （6 3， 3）；（ 3）当 OBQ 为直角时，如图 2 所示， 若 BQO OAB ，则 BOQ= OAB=30 ，则 BQ=OBtan30 =2，即 Q（ 2，2）； 若 BQO OAB 时，则 BOQ= OAB=30 ，BQ=OBtan60 =2 =6，即 Q（6， 2）；当 CQB 为直角时，如图3 所示， 过 O 作 OQ AB ，此时 QOB OAB ， BOQ= BAO=30 ，在 Rt OQB中， BQ=OA=， OQ=OBcos30 =3， 在Rt QMO中， OQM=3