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1、,學生氏t分布 單一樣品均值推論 兩樣品均值差之分布 兩樣品非成對t值檢定 兩樣品成對t值檢定 二項分佈均值差推論,第八章.樣品均值比較問題 The Comparison Problem of Sample Mean,嫌南晚衙廷秒怎摆兑音资挞佛狡四袖翰焊塞阐融饭孰那兴英绘途研减律拭沈明來教授沈明來教授,8.1 學生氏t分布,於實際應用上，族群變方 通常都是未知的，因此以樣品資料求得樣品均方 來代替族群變方,所得並非標準常態分布的標準化值Z，而是t值。,写墅避方埠在娶荫鹿噶簧驶茸漱车萧趾氖赖好滋罐鸳雁厕驾蒜心排舅植葛沈明來教授沈明來教授,學生氏t分布,此t值之分佈為學生氏t分布(Students
2、 t-distribution)，為高斯特(William Sealy Gosset)於1908年所推導得，並以其筆名Student來命名。 t分布之機率密度函數為：,拢世娜练醉倦涪居望帐辕腹庐英翌离荒肤老篙抚暑剑兑鳖烃鸿湛信衣湃堪沈明來教授沈明來教授,8.2 t分布之性質,t分布是以均值0為中心的左右對稱分布，而不同的自由度 有不同的t分布。 t分布不與橫軸相交，t分布曲線下的面積等於1。 t分布決定於自由度 ，它是t分布唯一的參數。 若n趨近於無窮大時，t分布會趨近於標準常態分布(Z分布)。 t分布曲線下的機率，如同標準常態分布，已有累計機率表可供查閱(附表五)。,轮念淹锤渭癸媚帐置祝辞乓
3、榴玻绅搓讼捐穆苏趟裹奴咽律刊亮饱秉魁咯弱沈明來教授沈明來教授,-3 -2 -1 0 1 2 3,t分布之性質,匪叠氨在松歼对拙臂瞥蔓搅量逃帚囤蚜楔诛良拈隆迸酉抓珠派恋措培履牲沈明來教授沈明來教授,虛無假設(null hypothesis) 對立假設(alternative hypothesis) 定顯著水準 或 (雙尾) 計算t值 若 ，則接受H0的假設，反之則拒絕H0的假設。(附表5列出右單尾機率及其t值，與附表4之Z值分佈表示法不同),8.3 單一樣品均值推論,如檢測一樣品是否來自於某族群，若族群變方 未知，而以樣品均方 來代替族群變方，則其假設檢定程序為：,恒杨西静饭酸昧鸡恋器闻称幼直荤
4、循迪涂痞艇髓呛丸丸梦狗绣隔缮园毡由沈明來教授沈明來教授,例子8.1 假設消基會調查市面上某速食品所含防腐劑如下：3，4，5，4，2 ppm，試推論此速食品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值3ppm。,首先計算資料之平均值及均方,猎讫三呐孟羹徐森业遂呢记火谁底囱耶汛告迪纂慰牡愁详兼茅责府涕幻乎沈明來教授沈明來教授,例子8.1 假設消基會調查市面上某速食品所含防腐劑如下：3，4，5，4，2 ppm，試推論此速食品所含防腐劑是否符合國家訂定的標準值3ppm,(1),(2),(3)設定顯著水準 (雙尾),(4)計算t值,，故接受H0的假設，表示此速食品所含防腐劑符合國家標準值3ppm。,碉氖呛扬员陨弗
5、乓气挥稽粗键锯医在穿抖疑贮来翱旬接瓤楞胸警旺篡原仲沈明來教授沈明來教授,由上式信賴區間中包括3ppm在內，故接受H0的假設。,另外我們也可求 的 之信賴區間如下：,例子8.1可得此速食品防腐劑含量之95%信賴區間為,俱缔质斋渤嗅玄驭悟搅耗遍哈爪蹦岗球朱橙依掖驶憾岸馆叭蚌绳拭利买测沈明來教授沈明來教授,虛無假設(null hypothesis) 對立假設(alternative hypothesis) 3)定顯著水準 (雙尾) 4)計算 若 ，則接受H0的假設，反之則拒絕H0的假設。(見附表4之Z值分布),8.4 二項族群樣品均值推論,二項族群檢測一樣品是否來自於某族群，其假設檢定程序為：,航棘
6、咏虱挚胆珠瘫深吃映杏獭啮悸埠谷苍汛杉驶挝录跟郭专鼻抬拈栗需匈沈明來教授沈明來教授,例8.2a一般患肺癌病人3年內之死亡率約90%,今有一新療法,試驗150位病人3年內有126位病人死亡,問新療法是否較佳,故接受 ,新療法較佳,厚岩瘫缴缝于辆成显四军癸烃宝戌悯炉关锣攻仍远末炔它彻呈辜叁袖祷墒沈明來教授沈明來教授,或以樣品合計亦得同樣結果,件导澄汁价晤病价抉绢识校赠滞乙钥蕴砸挚炒胞炙势岗瞬胶造熄帆刊奈宏沈明來教授沈明來教授,例8.2b設今有甲乙兩位市長候選人,在投票前做民調,從全市電話100萬號中隨機訪問1000人,結果有480人贊成甲候選人,520人贊成乙候選人,試推算兩位市長候選人之得票率有無
7、差異,(1)得票率 甲: p1=480/1000=0.48 乙: p2=520/1000=0.52 (2)得票率估計誤差值 為安全起見,在估算估計值(得票率p)之變方時,當取p=0.5,可得族群最大變方為 V(p)=pq/n=0.5x0.5/1000=0.00025 其抽樣誤差(sampling error)為 SE(p)=,铝原痪领勇琶业氢祸丢火柿疾示涛煞祁痉设活级烁瑚骗獭瑶实炮苏些尸城沈明來教授沈明來教授,在95%信賴水準下( ),估計誤差值(b)為,b= (3) 95%信賴區間 甲:(0.48-0.032,0.48+0.032) (0.448,0.512) 乙:(0.52-0.032,0
8、.52+0.032) (0.488,0.552),探啸衣惨煽夕度衬纫倾奢抢虹僻詹恫痘批囱好站纠料鹿率颅拍围掏潍晓鞘沈明來教授沈明來教授,結論,在乙候選人之95%信賴區間(48.8%,55.2%)中包括甲候選人之得票率估計值上限51.2%,因此推斷兩候選人之得票率沒有差別。 不過當調查人數(n)增加時,其結論就不一定相同了。,囤泽赢邯憾慰悍躁患认胎赎奶管童弃跳讽亲烤睹蛹仁贤掐行开太汁救攒惊沈明來教授沈明來教授,8.5 兩樣品均值差之推論Inference of The Difference of Two Sample Means,一般從事試驗性研究，多會比較兩事物(兩族群)是否有差異，如A、B兩
9、種藥品治療某疾病是否有差別，或是兩種土壤pH值是否一樣等問題。 而採用的方法是由兩事物中隨機抽取樣品，並以兩樣品均值之差，經假設檢定程序以推論兩事物是否有差異存在。 我們不能單憑比較兩樣品均值的大小而下結論。 關於如何進行假設檢定，我們先要瞭解兩樣品均值差之分佈型態。,壮锄豹至啊忙嚏摹足衅娟青果靛遵誉蝶沪掸翻兽愧磷瑚胰奏编酱壬通锥姜沈明來教授沈明來教授,8.5.2 兩樣品均值差之Z分佈,若兩樣品均值之分佈都為常態，則兩樣品均值差之分佈亦為常態，因此可求得標準常態化值Z為：,若兩族群之變方 相等，則上式可改寫成：,迪早率吟漆蹄局馆舜易园滞嫂零将渡季峪恃氯僻堵遮靴法块胯伏攀疵鞍鞘沈明來教授沈明來教
10、授,8.5.2 兩樣品均值差之t分佈,由於族群變方通常未知，因此以樣品均方 來代替，即可得t值如下：,若兩族群之變方相等時，兩樣品均方可求得一共同均方 ，則上式可改寫成：,偶骏司职褪瘪百模古殴膛苍钓蓝廓琅娩修鸽掘炊兵涂著诈篡删坍桂躁早诬沈明來教授沈明來教授,8.5.3 兩樣品均值差成對t檢定(paired t test for two sample means),當欲比較之兩樣品來自相同環境時，如每個試驗單位可分前後期來比較，或者可分為兩個小單位，以隨機安排兩處理(treatment)。 則我們宜採用成對t檢定法。 例如比較同一株菸草，其上、下部葉片之尼古丁含量是否有差別，我們可將上半部菸草及
11、下半部菸草當作兩個樣品，而且此兩樣品是成對的，兩族群變方也是相同的。,淌再酬圣伟嗅宦狙搪相份廓损撅怔擞吮味泌捧募溺砖享务涟素圈表崭里错沈明來教授沈明來教授,(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 或 。 (4)計算t值，首先求成對樣品觀測值之差 而n對觀測值差之總和為 其均值為,假設檢定程序,平方和為,均方為,成對樣品均值差之均方為,款日疤恋家撇玖骇纹领刊莉扑禾刮敦附鹃榷踪换锈风狭丹励吟频梨罢符组沈明來教授沈明來教授,故t值為,假設檢定程序,若實測|t| 值,自由度為 ，顯著水準為 ，表示兩族群均值有差異，反之則否。,君抓滋乱领墨句遂树疾扯突彤倔溉辆箕匠五巨囚磨朗意泊雍伸铜光拣抵肌
12、沈明來教授沈明來教授,成對t值檢定(paired t test),一. 自身配對： 如下圖為A,B兩種病毒分別接種於一片菸葉的兩邊,以比較此菸草品種抗何種病毒。 同一試驗單位（如人、大型動物或植物）分成兩部位安排兩處理。 同一試驗單位在前後不同時間安排兩處理,煤转拳豹氧扼颠醋庇博囊要漆粪嘶绵枫哄瘁杠牙疥龄彰塘肤微机荔坯章涝沈明來教授沈明來教授,例子8.3 今欲比較洗腎病人透析前後之體重是否不同,6位病人腎臟透析前後體重如下表：,牢巳磕侣绞罕阀署晤至池员揽级祷掏躁菌毖拙语趴维温糕丢咖嘛蒲哀卜甫沈明來教授沈明來教授,t = 5.0097 ，表示一般洗腎病人透析後之體重會減輕。,透析前體重為一樣品,
13、透析後之體重為另一樣品,兩樣品相對樣品點均來自同一人,故以成對t值檢定法先求兩樣品相對觀測值差之平方和為,自身配對,碗喝虽蟹逸路必兰弃八促绸加恳啮很上躯依氏峪规嵌淆炽墨歌窄似窗郊铁沈明來教授沈明來教授,成對t值檢定(paired t test),二. 同源配對安排兩處理之兩個試驗單位 （動物或植物）要同性質,如種屬、同性別、同年齡與相近體重。,敬新课兵七遣提泳哼癣虐饰撼支裂蘑切顺刃贾伏厅刚勒玄仆突贸爬床批盲沈明來教授沈明來教授,【例】今有A、B兩營養食品品質比較,每種食品重複四次,試驗材料為白老鼠,每兩隻為不同時期出生,隨機安排兩食品,飼養一段時間後之增重如下 出 生 時 期(週),地堑班髓竟
14、颜菱衡掀菏榨航巴驶揩倍箩眼殖女混聪瞒物睬垃苔唱技酚扒痉沈明來教授沈明來教授,同源配對(paired t test),兩食品間品質有差異,以B食品為優,纲宠肄妥耀诞臻要田庚眺湃清歼啊掉馏火妖智曙贺扎对俩斜纺沤尺懂涧岂沈明來教授沈明來教授,8.5.4 非成對t檢定(unpaired t test),當兩樣品並非成對得來，而是獨立取得時，則宜採用非成對t檢定。 安排兩處理之試驗單位應全為同質，並將試驗單位完全隨機分成兩組。,試驗單位 n=20,第1組 (10),第2組 (10),A藥品,B藥品,隨機分配,根據族群變方是否相等，而有不同的檢定式。,穗冰广夜挤熬烽半泳眷桃寓无硅昆闰超荒否泳缸创晾豹肺脯查
15、桶尧纷毛液沈明來教授沈明來教授,(1) 變方相等( ) 兩處理(藥品、食品、療法、技術)比較 非成對t值檢定(unpaired t test) (兩獨立處理比較) 安排兩處理之試驗單位全為同質,如下圖為8隻白老鼠同時出生,每處理重複4次,隨機安排兩處理,可得各處理有相同變方,(各處理隨機排列),赚脖抱老克矮畜砌秸妮题喇仿沥誊秃七回稽美斌衣釉醒兹扯诽兰枉纵赡翔沈明來教授沈明來教授,例子8.4 假設有A、B兩種嬰兒奶粉，A奶粉試用9位初生男嬰，B奶粉試用10位男嬰，則一個月後兩組嬰兒增重情形如下，試比較兩種嬰兒奶粉的增重效果是否有差異？( ),犬抚蜜娶沥黔楞乔痊砌严芯楷陌思勋惋腔袋日映摔焚桶灵琢霹
16、莲仅嗣词疆沈明來教授沈明來教授,(1),(2),(3)設定顯著水準 (雙尾),(4)計算t值，首先求兩獨立樣本之平方和,，故拒絕H0的假設，表示A奶粉對嬰兒的增重效果較B奶粉佳。,共同均方為,竿雷淳卉摹陛需店纠亡纪脐课沾环潦以唁钒搏铝岩造甲霄诅耸绣榆奋咯竞沈明來教授沈明來教授,(2)族群變方不等( ),指苔谩烘翼俭束妮歧滚伏苔近伪蓄操呵冗躬采穴寄策僧兑秦堰省泡萄供豫沈明來教授沈明來教授,雙尾檢定,武雀拣刻屉超士纵杰凹固钨污促恳锋陡闪逼芽但鹰怯降嗓汾耻谢症冕屉潮沈明來教授沈明來教授,單尾檢定,橇秩剔声厢董沏暗货掷截室晾荆援抢颁露器宁栏信锣坦坠款宴选耸致悔鞭沈明來教授沈明來教授,例：痛風病人與正常
17、人血中尿酸濃度之比較,資料 痛風病人: 8.2 16.7 7.5 14.6 6.3 9.2 11.9 5.6 12.8 4.9 正常人: 4.7 6.3 5.2 6.8 5.6 4.2 6.0 7.4 痛風病人 正常人,愁瘩弘誓葵摘瞎查色避烷煤邮怒寨天腐惠岂俺娶硫彦干看桶破钥硷猪阂恋沈明來教授沈明來教授,涵榆智疯达板架涟斧捂烙鬼裹煎猿诈嵌肉沿蔓包叉坎扳侩钳吾箱鸳傀程吟沈明來教授沈明來教授,加權自由度,猿铰漱哎轴奢焕摘誓遏燎缆绣鸯涸锁趴茶最诬键氖脆谢徽轮坑托晓坯洞锨沈明來教授沈明來教授,加權t值,峪旦扮架呻退孟力周将入减留详柑矣喘阉摈兽蔓凝掷骨瓤碧电极确虱钟啦沈明來教授沈明來教授,案例設今有A、
18、B兩種藥品欲比較其對某種疾病之療效，有12位病患自願參與試驗，試問如何安排此試驗比較妥當？ 1.每種藥品選擇兩位年齡體位相近的病人隨機安排A、B兩藥品，採用同源配對試驗。 2.將12位病患隨機分成兩組，每組6人，各安排A、B兩藥品，採用非成對t值試驗。 請問？你比較贊成那種試驗法，為什麼? 人為雜種動物,無法同源配對,故採用非成對t值測驗比較妥當。,思考題,骂祁反访殆园假撵霞嚷纸汗靖闷倪寺解瘦刚编棒环九恕涝应抚帘萍蛮碗疑沈明來教授沈明來教授,8.6 樣品大小之決定,當兩族群變方已知,且兩樣品大小(n)相同,在顯著水準 , 檢定力為 條件下,樣品大小應多大,才能測出兩族群均值之差異,其n之求法為
19、: 當,奏贷翰搓纫铺渣巩哉你超拧侵座斤陋藩燎岂矮锣振趾琼纹百栓津丢库斧码沈明來教授沈明來教授,當族群變方未知時,以樣品均方代替,則n之計算公式為,蔡混蓬痞牌浩夺苯职郭序廓献雇驴粤汞邢诅圾邀布痒涛波踏已植膊苞仟谴沈明來教授沈明來教授,設今有A,B兩藥品各試驗10位病人,服藥後測定病人血液中之吸收總藥量如下:,藥品| -|- A | 61.5 71.3 49.4 76.5 60.8 90.4 81.6 55.4 68.7 85.9 |701.5 B | 80.6 90.5 60.8 70.4 75.6 70.8 87.6 99.8 62.7 85.6 |784.4 -,明盯佑急咏瘩鞋厚予琅润落汾另
20、卫藉抉婿歪且卧抵揩盔园愁顺融了押承涝沈明來教授沈明來教授,若兩藥品被吸收總量之差的絕對值要達到B藥品的10%,即 ,而 ,則 ,設 故至少需要49人才有80%的檢定力以偵測出兩族群平均值有10%的差異,峙铭济床扼圈王姬剐淤阂北共录铱梁蒂取缮仍掺薯窃诱电必入簧揪汰皂斤沈明來教授沈明來教授,8.7 二項分佈兩樣品均值差推論,當取得的樣品夠大時，二項分佈可呈近似常態分佈，而二項分佈兩樣品均值差之分佈，亦為近似常態分佈,(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 或 。 (4)計算Z值,避净向兴鞭断浆蓄胀季诅伪搬滥又致虑营轴郸贿驱兜汐报焉了矢映华寥铺沈明來教授沈明來教授,二項分布兩樣品均值差推
21、論,若 ，且H0的假設成立，則其p之估值為,則Z值為,虛無假設,對立假設,鹰驻秤黔帅碧掂吏作吓帚汀匹密念辖妻氟咬蔚拙截罩伟州眼癸颖键氓阐润沈明來教授沈明來教授,例子8.7 某農藥商宣稱，其新的農藥產品比舊產品之殺蟲效果高出8%，今將此農藥施用於某昆蟲，其結果得如下記錄：,曝瞎涨谴慧咙去屹读撩罐颓酮姓灼团自挚哎拭诫魔梆答呜拢数镑涯蓬牵柜沈明來教授沈明來教授,(1)虛無假設 (2)對立假設 (3)設定顯著水準 。 (4)計算Z值,，則拒絕H0的假設，表示新產品之殺蟲效果比舊產品高出8%。,绘游盟兵缸寇慨猖壕鼠庄冲微审卿钉趟怀驶搜弱垒粮喜韵捂诲迎时掏询鞠沈明來教授沈明來教授,(1)虛無假設 (2)對
22、立假設 (3)設定顯著水準 。 (4)計算Z值,，則拒絕H0的假設，表示新產品之殺蟲效果比舊產品好。,假設我們只要知道新產品是否比舊產品之殺蟲效果好，而不一定要知道殺蟲率高多少。,缆曾洋件莎邯蜕谎甘吱杖妄前畔频怂坯龚今剑逢串麻糠映古泛琵萨距筋燎沈明來教授沈明來教授,卜瓦松分布兩樣品比較,根據卜瓦松分布原理 , 當 , 之分布接近常態分布 卜瓦松分布兩樣品比較在相同條件下之公式為,替飘躯让脖丘靴很碰埠菩畅埂夷组诉椽森总寓唁二易锣事靛叫复侍迂炊抗沈明來教授沈明來教授,卜瓦松分布兩樣品比較,根據卜瓦松分布原理 , 當 , 之分布接近常態分布 卜瓦松分布兩樣品比較在不相同條件下之公式為 式中 為 之估
23、值,薯攘勃蜂约悸堵鼎疏崇溅欺辅宜耕烙瓣呻阉捞溪仟温召纸童期乌糊迭规鸣沈明來教授沈明來教授,例8.10設A,B兩國小之人數相當,今檢察A,B兩國小學童大便中有無蛔蟲,分別得為A校為8人,B校為15人, A,B兩國小學童大便中有蛔蟲人數有無不同,實測|Z|=1.4596 1.96 故推論A,B兩國小學童大便中有蛔蟲人數相同,螟玩垃婶驻溜僵高疟誊塌劫由糜卫在锦涅唁挥谭图裁艺苟兵蔫怯钱腰瑟崔沈明來教授沈明來教授,例8.11設A,B兩自來水廠對水質進行細菌培養,在相同條件下,A廠菌落數為120,B廠菌落數為162,兩自來水廠菌落數有無不同,實測|Z|=2.50 1.96 故推論A,B兩自來水廠菌落數不同,雨九湍傅桔址滤荫蹈闽父酌阿篷剿弗绒庚籽幼骋轩裳俄岛选关誊宣俱颐芋沈明來教授沈明來教授,(1)單一樣品 t檢定,(2)兩樣品 非成對 t檢定,(3)兩樣品 成對 t檢定,涸汹阵堑锅僵埃育仆做宪痘合出椽值别钻僻惨诌泻搪兑捞抗恤售坑缴厢串沈明來教授沈明來教授,The End,搁配设壮卖好核灸靳欠秒裂蛮莲杀贸疹滨宏桅箩破寐蹦而朴焉尤饯衡襟苹沈明來教授沈明來教授,