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1、最新资料推荐高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总【知识汇编】参数方程： 直线参数方程： xx0t cos(t为参数 )( x0 , y0 ) 为直线上的定点， t 为直线上任一点yy0t sin(x, y) 到定点 (x0 , y0 ) 的数量；圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：xar cos为参数 ) (a,b)为圆心， r 为半径；ybr sin(椭圆 x2y 21的参数方程是xa cos(为参数；a2b2yb sin)双曲线 x2y2xa sec；2 -的参数方程是( 为参数 )21yb tanab抛物线22 px 的参数方程是x2 pt2yy2 pt(t为参数 )极坐标与直角坐标
2、互化公式：若以直角坐标系的原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为 ( ,) ，直角坐标为 (x, y) ，则 xcos ,ysin,2x2y2, tanxy 。【题型 1】参数方程和极坐标基本概念x25 cos1已知曲线 C的参数方程为 y15 sin ( 为参数 ) ，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。1) 求曲线 c 的极坐标方程2) 若直线 l 的极坐标方程为 (sin +cos)=1，求直线 l 被曲线 c 截得的弦长。x25 cos解： (1) 曲线 c 的参数方程为y15 sin( 为参数 )曲线 c 的普通方程为 (x-2)2+(y-1
3、) 2=5xcos将 ysin代入并化简得：=4cos+2sin 即曲线 c 的极坐标方程为=4cos+2sin (2) l 的直角坐标方程为 x+y-1=02圆心 c 到直线 l 的距离为 d=2 = 2 弦长为 2 5 2 =2 3 .1最新资料推荐2极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点 O为极点，以 x 轴正半轴为极轴已知曲线 C1 的极坐标方程为2 2 sin （ 4 ），曲线C2 的极坐标方程为 sin a（ a 0），射线， 4 ， 4 ， 2 与曲线 C1 分别交异于极点 O的四点 A，B，C，D（1）若曲线 C1关于曲线 C2 对称，求 a 的值，并把曲线 C1
4、 和 C2 化成直角坐标方程；（2）求 OA OC OB OD的值解：（1） C1 ： ( x1) 2( y1) 22 ， C2 ： ya ，因为曲线 C1 关于曲线 C 2 对称， a1， C2 ： y1| OA |22 sin()（2）4 ；| OB |22 sin()2 2 cos2| OC |22 sin，| OD | 22 sin(32 cos() 244| OA | | OC | | OB | | OD | 4 2【题型 2】直线参数方程几何意义的应用x1t22y23t1. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），直线 l 与曲线 C ： ( y 2
5、)2x21交于 A ， B 两点 .（1）求 AB 的长；（2）在以 O 为极点， x22, 3轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为4 ，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 .x 2 1 t，2y 23t，解：（1）直线 l 的参数方程为2（t 为参数），代入曲线 C的方程得 t 24t 10 0 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2 ，则 t1 t 24 ， t1t210 ，2最新资料推荐所以 | AB | | t1t2 | 2 14 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为 ( 2，2) ，t1t22所以点 P 在直线 l 上，中点 M对应参数为2，
6、由参数 t 的几何意义，所以点 P 到线段 AB中点 M的距离 | PM | 2 2已知直线 l 经过点 P(1,1), 倾斜角，6（1）写出直线 l 的参数方程。（2）设 l 与圆 x2y24 相交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积。解：（1）直线的参数方程为x1t cos6，即 x13 t2y1t sin6y1 1 t2（2）把直线 x13 t 代入 x2y 24 得(1321t )24, t2( 3 1)t 2 02t )(1122yt12t1t22 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2x2cos3设经过点 P( 1,0) 的直线 l 交曲线 C： y3
7、 sin(为参数 ) 于 A、B 两点（ 1）写出曲线 C的普通方程；（ 2）当直线 l 的倾斜角60 时，求 | PA | PB |与 | PA | | PB | 的值x2y2解：（1） C ： 413x1t12y3（ 2）设 l ：t（t为参数）2联立得： 5t 24t1201612| PA | | PB | | t1t2 |t1t224t1t2| PA | | PB | | t1t 2 |5 ，54以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为 (1,2)(3,)，点 M 的极坐标为2 ，若直线 l 过点 P ，且倾斜 角为 6 ，圆 C 以
8、M 为圆心， 3 为半径（1）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，求 PAPB 3最新资料推荐x13 t,21(t为参数） ，（答案不唯一，可酌情给分）解：（1）直线 l 的参数方程为y22 t,圆的极坐标方程为6 sin.x13t ,2y2122t ,( y 3)9 ，得 t2( 3 1)t7 0 ，（2）把2代入 xt1t27 ，设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ， 则 PAt1 , PBt2 ,PA PB 7.5以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的x2 3t长度为
9、长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的参数方程为y12t （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为sin 24cos .(1) 求曲线 C 的直角坐标方程；(2) 设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求 AB .解： (1) 由sin 24 cos，既2 sin 24cos曲线 C 的直角坐标方程为 y24x .(2) l 的参数方程为代入 y24x ，整理的 4t 28t7 0 ，所以 t1t22 ， t1t274所以 AB( 3)222 t1t213(t1 t2 )24t1t 21347143 .【题型 3】两类最值问题x2y21l 的1已知曲线 C ： 9，以坐标原点为极点，
10、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设 P 是曲线 C 上任一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值 .x3cos解：（1）曲线 C 的参数方程为ysin（为参数），直线 l 的直角坐标方程为 xy20（2）设 P(3cos ,sin) ，d3cossin210 cos() 21（其中为锐角，且tanP 到直线 l 的距离223 ）4最新资料推荐当 cos()1时， P 到直线 l 的距离的最大值 dmax52x3cos2已知曲线 C 的极坐标方程为 2 sincos10 ，曲线C1 :（为参数）y2
11、sin（1）求曲线 C1 的普通方程；（2）若点 M 在曲线 C1 上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值x 2y2解：（1）曲线 C1 的普通方程是： 914（2）曲线 C 的普通方程是： x2 y10 0设点 M (3cos,2sin) ，由点到直线的距离公式得：3cos4sin1015cos()10cos34d55,sin5其中50 时， dmin5 ，此时M ( 9 , 8)55x22 t23在平面直角坐标系xOy 中，直线 l的参数方程是y2 t（ t 为参数），以原点 O为极点，2以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42 cos()4 .（1）将
12、圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程；11（2）若直线 l 与圆 C交于 A，B 两点，点 P 的坐标为 (2,0)，试求 PAPB 的值 .解：（1）由42 cos(4)，展开化为2422 (cossin)4(cossin )2，xcos将 ysin代入 , 得 x 2y 24x4y0 ，所以，圆 C的直角坐标方程是 x 2y 24x 4y0 .x22t2y2（2）把直线 l 的参数方程t（ t为参数）代入圆的方程并整理，2可得： t 22 2t40 .设 A，B 两点对应的参数分别为t1 ,t 2 ，则 t1 t 22 2, t1 t24 0 ，5最新资料推荐所以tt(tt)24t t2 6
13、.12121 21111t1t 22 66 PAPBt1t2t1 t 242 .x2cos( 为参数 )4已知曲线 C1 的参数方程是y3sinx 轴的正半轴为极，以坐标原点为极点，轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是2 ，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A, B, C , D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 (2,3)（1）求点 A, B,C , D 的直角坐标；（2）设 P 为 C1 上任意一点，求 PA2PB2PC2PD2的取值范围 .解：（1）点 A, B,C , D 的极坐标为(2,),(2,5),(2,4),(2,11)3636点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1,3),(3,1),(1,3),( 3, 1)x02cos(为参数 )（2）设 P( x0 , y0 ) ；则y03sin222224y2163220sin 232,52t PAPBPCPD4x6