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1、最新资料推荐等比数列【知识梳理】1 等比数列的定义如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示 (q 0)2如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ab.3等比数列 an 的首项为 a1，公比为 q(q 0)，则通项公式为：an a1qn 1.【常考题型】题型一、等比数列的判断与证明1【例 1】已知数列 an 是首项为 2，公差为 1的等差数列，令bn 2 an，求证数列 bn 是等比数列，并求其通项公式 解 依题意 a
2、n 2 (n 1) ( 1)3 n，于是 bn1 3 n.213n而 bn 21 1 2.bn114n22数列 bn 是公比为2 的等比数列，通项公式为n 3.bn 2【类题通法】证明数列是等比数列常用的方法(1) 定义法： an 1 q(q 为常数且 q0)或 an q(q 为常数且 q 0，n2)? an 为等比数列anan 1(2) 等比中项法： a2n1 anan 2(an 0， nN * )? an 为等比数列(3) 通项公式法： an a1qn1(其中 a1， q 为非零常数， n N *) ? an 为等比数列【对点训练】1已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2 an，求证：数
3、列 an 是等比数列证明： Sn 2an ， Sn 12 an 1. an1 Sn 1 Sn (2an 1) (2 an) an an 1.1 an1 2an.1最新资料推荐又 S12 a1， a1 1 0.1又由 an 1 2an 知 an 0，an11 an 2. an 是等比数列 .题型二、等比数列的通项公式【例 2】在等比数列 an 中，(1) a4 2， a7 8，求 an；(2) a2 a5 18， a3 a6 9， an 1，求 n.3，3a4 a1 qa1q 2， 解 (1) 因为6，所以6a7 a1qa1q 8， 由得 q3 4，从而 q 34，而 a1q3 2，21n 12
4、n 5于是 a1q3 2，所以 an a1q 2 3.a2 a5 a1q a1 q418，(2) 法一 ：因为a3 a6 a1q2 a1q5 9，由得 q1，从而 a 32.21又 an 1，所以 32 12 n1 1，即 26n 20，所以 n 6.1法二 ：因为 a3 a6 q( a2a5 )，所以 q 2.由 a1qa1 q4 18，得 a1 32.由 an a1qn1 1，得 n 6.【类题通法】与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法从方程的观点看等比数列的通项公式，an a1qn 1(a1q 0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以
5、求得另一个量求解时，要注意应用q 0 验证求得的结果【对点训练】2最新资料推荐2 (1)若等比数列的前三项分别为5， 15,45，则第 5 项是 ()A 405B 405C135D 135(2) 已知等比数列 an 为递增数列，且a25 a10, 2(an an 2) 5an1，则数列 an 的通项公式an _.解析： (1) 选 A a5 a1q4，而 a1 5，q a2 3，a1 a5 405.(2) 根据条件求出首项a1 和公比 q，再求通项公式由2(an an 2) 5an1? 2q2 5q2 0? q 2 或1，由 a52 a10 a1q90?a10，又数列 an 递增，所以 q 2
6、.2a52 a101 4 2 a19? a1 q 2，所以数列 ann 2n.0?(a q )q 的通项公式为a答案： (1)A(2)2n题型三、等比中项【例 3】设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1 9d，若 ak 是 a1与 a2k 的等比中项，则k 等于 ()A 2B.4C6D 8 解析 an (n 8)d，又 a2k a1a2k， (k 8)d29d(2k 8)d，解得 k 2(舍去 )，k 4. 答案 B【类题通法】等比中项的应用主要有两点：计算，与其它性质综合应用可以简化计算、提高速度和准确度用来判断或证明等比数列【对点训练】3已知22的等比中项，又是11a b1 既是
7、a与 ba与 的等差中项，则22的值是 ()ba b11A 1 或 2B.1 或 211C1 或 3D 1 或 33最新资料推荐解析： 选 D由题意得， a2b2 (ab)2 1， 11 2，a bab 1，ab 1，或a b 2a b 2.ab1因此 22的值为 1 或 .ab3【练习反馈】1等比数列 an 中， a1a3 10， a4 a6 5，则公比 q 等于 ()411A. 4B.2C2D 8解析： 选 B an 为等比数列， a4 a6 (a1a3)q3， q3 1， q 1.822已知等差数列 an 的公差为 3，若 a1， a3，a4 成等比数列，则a2 等于 ()A 9B.3C
8、 3D 9解析： 选 Da1 a2 3，a3 a2 3， a4 a2 3 2 a2 6，由于 a1，a3，a4 成等比数列，则 a23 a1 a4，所以 (a2 3)2 (a2 3)(a2 6)，解得 a2 9.3在数列 an 中， a1 2，且对任意正整数n,3an 1 an 0，则 an _.解析： 3an1 an 0， an1 1， an 3因此 an 是以 13为公比的等比数列，1 n 1又 a1 2，所以 an 2 3.答案： 2 13 n14已知 an 是递增等比数列，a2 2， a4 a3 4，则此数列的公比q _.解析： 由题意得2q2 2q4，解得 q 2 或 q 1.又 a
9、n 单调递增，得q 1， q 2.4最新资料推荐答案： 25 (1)已知 an 为等比数列，且a5 8， a7 2，该数列的各项都为正数，求an.(2) 若等比数列 an 的首项 a19，末项 an1，公比 q2，求项数 n.833(3) 若等比数列 an 中 an 4 a4，求公比 q.a1q4 8，解： (1)由已知得a1q62，q21，得4a1 1281， an 0， q2a1 128. an 1281 n 1 28 n.2(2) 由 an a1qn 1，得 19 2 n 1，3 8 3即 23 n1 23 3，得 n4.(3) an 4 a4q(n 4) 4n a4q ，又 an4 a4， qn 1，当 n 为偶数时， q 1；当 n 为奇数时， q 1.5