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1、最新资料推荐三角函数线及其应用【知识梳理】1 有向线段带有方向的线段叫做有向线段2 三角函数线图示正弦线的终边与单位圆交于 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴，有向线段MP 即为正弦线余弦线有向线段 OM 即为余弦线正切线过 A(1,0) 作 x 轴的垂线，交 的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段 AT 即为正切线【常考题型】题型一、三角函数线的作法【例 1】3作出 的正弦线、余弦线和正切线43 解 角 4的终边 (如图 )与单位圆的交点为 P.作 PM 垂直于 x 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线AT，与3T，则3的终边的反向延长线交于点的正弦线为 MP，余弦线为44OM
2、 ，正切线为 AT.【类题通法】三角函数线的画法(1) 作正弦线、 余弦线时， 首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2) 作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，1最新资料推荐即可得到正切线AT.【对点训练】9作出 4 的正弦线、余弦线和正切线解： 如图所示，9的正弦线为 MP，余弦线为 OM ，正切线为 AT.4题型二、利用三角函数线比较大小【例 2】分别比较242424sin与 sin； cos 与 cos； tan与 tan的大小353535 解 在直角坐标系中作单位圆如图所示以x 轴非
3、负半轴为始边作2P 点，作 PM Ox，垂足为 M.由单位圆与 Ox的终边与单位圆交于32正方向的交点A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长线交于T 点，则 sin 322 OM ， tan AT.MP ， cos 33444同理，可作出 5的正弦线、 余弦线和正切线， sin 5M P ，cos 5 OM ，tan424 AT .由图形可知， MPMP ，符号相同，则sin3 sin；OMOM ，符552424号相同，则 cos 3 cos 5； ATAT ，符号相同，则tan 3 tan 5 .【类题通法】利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的
4、位置要“对号入座 ” ；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负【对点训练】设 ，试比较角 的正弦线、余弦线和正切线的长度如果2422最新资料推荐3 4 ，上述长度关系又如何？解： 如图所示，当 4MPOM ；3当 2M P OM .题型三、利用三角函数线解不等式【例 3】 利用三角函数线，求满足下列条件的的范围13(1)sin ； (2)cos2.2 解 (1) 如图， 过点0，1 作 x 轴的平行线交单位圆于P，P 两点， 则 sin xOPsin21117 xOP ， xOP6， xOP ，26故 的范围是 711 2k 2k， k Z .66(2) 如图，过点3， 0作 x 轴的垂线与
5、单位圆交于P，P两点，则 cos xOP cosxOP232， xOP 6， xOP 6，故 的范围是 2k 2k， k Z .66【类题通法】利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin xb， cos x a( 或 sin xb， cos x a)，只需作直线y b， x a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围； 对于 tan3最新资料推荐x c( 或 tan xc)，则取点 (1 ，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得【
6、对点训练】利用三角函数线求满足tan 3的角 的范围3解： 如图，过点 A(1,0) 作单位圆 O 的切线，在切线上沿 y 轴正方向取一点 T，使 AT 3，过点 O，T 作直线，则当角 的终边落在阴影区域内333，( 包含所作直线，不包含 y 轴 )时， tan 3 .由三角函数线可知，在 0 ， 360 )内， tan 3有 30 90或 210 270，故满足 tan 3，有 k18030 k18090， k Z .3【练习反馈】1已知角 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则的终边在 ()A 第一象限的角平分线上B 第四象限的角平分线上C第二、四象限的角平分线上D第一、三象限的角平分线上解析： 选 C由条件知sin cos ，的终边应在第二、四象限的角平分线上72如果 MP 和 OM 分别是角 8 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()A MP OM0MPCOM MP0 OM解析： 选 D如右图所示，正弦线为MP，余弦线为OM ，结合图像，可知： MP 0， OM0，故 OM0OM ，即 sin 1cos 1.答案： sin 1cos 15在单位圆中画出满足 sin 1的角 的终边2解：所给函数是正弦函数，故作直线y 1交单位圆于点P，Q，连接 OP，OQ，则射线 OP，2OQ 即为角 的终边5