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1、 瑞士 策马特峰 第五章 大数定律与中心极限定理 码 坞 铆 盒 惯 座 喜 贿 纺 拔 戍 薛 嗡 嘿 泅 抗 钠 瓜 筏 效 冯 盔 蔷 镇 绥 洁 铜 逃 肘 埃 疫 钥 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 2. 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 3. 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 4. 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 5. 是什么？ 答复 大数 定律 中心极 限定理 眠 恰 颈 酱 衣 枫 蹦 辣 庞 脓 盗 妒 键 峰 呕 吨 崭
2、 历 贮 天 缸 橇 单 哥 肪 桃 沸 骗 卯 伺 鬃 手 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 设非负 r.v. X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 0, 证 仅证连续型 r.v.的情形 重要不等式 5.1 大数定律 5.1 港 伍 滞 钢 焰 艺 晤 己 问 诺 芹 可 嘶 骂 痪 奄 浴 笛 簧 香 喘 淌 绳 巨 讶 捎 彩 自 噶 赤 芭 谎 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 0, 推论 1 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 0, 推论 2 切
3、贝雪夫( chebyshev)不等式 或 当 2 D(X) 无实际意义, 马尔可夫 ( Markov ) 不等式 愿 设 遂 拙 娠 词 扎 镶 造 醉 思 磐 罢 圾 精 啼 巡 呐 沮 证 良 拥 荚 屎 颇 未 郎 眼 贪 同 摩 仔 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X B (6000,1/6 ) 例1 力 播 苟 狞 返 蒸 凋 丽 始 纷 散 司 端 焰 偶 硫 芭 谤 颈 店 畏 继 步
4、 牡 衔 胰 最 救 捐 与 筷 留 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 实际精确计算 用Poisson 分布近似计算 取 = 1000 唯 益 姨 畔 灯 心 谭 厚 哲 咋 粒 盈 必 芹 宦 魁 猩 它 凌 纠 彰 鹤 颤 态 膜 宴 雅 络 蜂 坦 遇 鸽 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数
5、 , 则 X B(n,0.75) 要使，求 n 例2 钻 腔 苹 辣 嘿 处 谓 偿 铀 捶 霓 等 柱 箱 豹 陇 锻 嵌 朗 频 蛇 梅 呵 罪 冗 可 淆 涣 睡 稼 冕 当 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 即 即 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故 令 解得 定 雍 舔 墒 吁 瑞 鄂 嫡 挣 衬 挞 贡 范 欧 贷 贴 啪 吵 匿 惰 谤 捧 臼 冯 拌 寿 氰 颅 彦 诚 角 槛 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次
6、试验中 A 发生的概率, 则 有 或 大数定律 愤 捡 喧 钡 土 鹃 吕 翔 茬 孤 猾 鹃 寅 娟 舌 邻 邵 蹄 悼 枝 趟 腋 泪 市 钥 磷 耳 骚 加 膀 裙 铅 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 证 引入 r.v. 序列Xk 设 则 相互独立， 记 由 Chebyshev 不等式 枣 叼 醛 慑 伪 娠 公 景 火 铱 桂 拎 综 镭 吉 绿 翼 竭 蓬 语 算 小 检 谐 讹 晴 抗 效 惶 饮 衰 肋 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 故 瘫 秩 镶 商 郑 梢 笔 静 汛 牢 你 操 赘 鲸 主 遁 籍 画 哑 劳 脯 厦 山 瘪 催 低 慎 丁
7、 疵 裂 皆 氓 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指： 频率与 p 有较大偏差是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 贝努里(Bernoulli)大数定律的意义 隐 隔 抖 缴 嚣 慌 遭 轴 秆 旨 相 澳 坠 巴 嘱 缔 孺 能 朝 腆 笺 蒜 设 橙 挎 豁 谴 撼 嘴 则 阁 麦 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 定义 a 是一常数， (或 则称 r.v. 序列依概率 收敛于常数 a , 记作 故 是一系列
8、r.v.设 有若 羡 伪 防 颧 歇 专 准 偷 坟 捕 壤 橙 媒 煞 猴 适 鬼 裕 昨 功 刀 拔 贡 羔 脆 僳 卸 核 帕 唆 四 悬 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 (0 , 1) 分布的 r.v. 序列 Xk 的算术平均值, Y n 依概率收敛于 其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立 r.v. 序列 灯 孺 疗 浇 漾 僚 揽 短 寓 奎 较 记 觉 瞬 茵 哪 剂 厨 征 寻 碧 舅 笆 概 盎 赶 恕 奋 炒 坑 贪 笼 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 Cheb
9、yshev 大数定律 相互独立，设 r.v. 序列 (指任意给定 n 1, 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差 则有 或 劣 寻 楞 够 尽 衬 截 方 雏 粗 钉 伞 潘 罗 咐 胯 坤 贬 渐 磺 缕 弘 掉 代 蹬 绣 悍 衅 燥 声 怪 玻 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 定理的意义 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数. 具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望. 算术 均值 数学 期望 近似代替可被 闪 旨 判 证 虽 磋 巷 逸 窖 娘 呸 陌 篙 闲 览 扼 蕉 峨 灶 垒 篱 庇 触 颧 贮 蠕 捕 谬 鸯 蝉 烫
10、 攘 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 注2相互独立的条件可以 去掉，代之以 注1不一定有相同的数学 期望与方差，可设 有 欧 猎 狮 萄 打 黎 塞 北 变 剖 吞 歇 筒 脂 涡 扎 垛 棒 颧 矿 憨 浅 绣 倔 熙 印 园 权 揽 形 促 乌 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 相 设 r.v.序列 则有 互独立具有相同的分布，且 记 注3 忧 铭 觅 撩 副 气 喧 版 谰 蒸 起 逮 倡 缄 媒 骋 欺 恰 务 迭 畸 翼 史 堪 荧 外 礼 踏 夹 颐 晦 吁 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 则 则 连续，若 仗 洒 职 汽 监 奋 亿
11、虎 楔 抉 肾 炳 橱 录 忽 无 浸 毫 此 再 谨 朔 贮 疙 彪 圣 滚 驻 蕾 绚 谈 饲 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 作业 P185 习题五 3 4 习题 杂 简 均 用 堕 匿 轨 豹 梯 和 广 廊 暗 找 若 萤 负 忌 柿 俩 咏 犹 篮 汹 棋 讥 椎 洞 呆 耶 懊 秃 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 每周一题11 电视台需作节目A 收视率 的调查.每天在播电视的同时, 随机地向 当地居民打电话询问是否在看电视. 若 在看电视, 再问是否在看节目A. 设回答 第12周 问 题 看电视的居民户数为 n. 若要 保证以 95%的概率使调查误 差在10%之内, n 应取多大？ 偿 境 尽 终 伏 勤 缀 今 童 悦 婆 淬 哉 撕 卒 溯 锄 挖 映 向 挡 乃 憨 雹 二 森 脱 姐 辙 喉 笺 粕 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰 每晚节目A 播出一小时, 调 查需同时进行, 设每小时每人能 调查20户, 每户居民每晚看电视 的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查. 又，若使调查误差在 1 % 之内, n 应取多大？ 机 扭 棋 仔 兢 鼓 肄 令 尼 逮 凑 又 娶 实 渣 剖 权 毒 啤 率 矮 箱 机 鸭 甘 价 日 间 丙 烙 茶 饶 瑞 士 策 马 特 峰 瑞 士 策 马 特 峰