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1、2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 1/11 在现实中为什么很多数量指标都服从在现实中为什么很多数量指标都服从 或近似服从正态分布或近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素 综合影响而成综合影响而成, ,即即 近似近似 当当 时时, ,在什么情况下在什么情况下 的极限分布是的极限分布是 的极限分布是的极限分布是 丈 跟 簿 希 轴 峰 犯 留 倔 痒 煽 数 拭 郴 铭 卧 皑 服 签 章 喜 满 掘 参 哇 味 恒 芹 畏 横 秆 泞 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服
2、 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 2/11 设设 是独立是独立r.vr.v列列, ,均值和方差都存在均值和方差都存在 令令 则则 部分和标准化部分和标准化r.vr.v 的极限分布是否为的极限分布是否为 一般地，答案是否定的一般地，答案是否定的！ 除非除非 服从正态分布，否则结论就不真服从正态分布，否则结论就不真. . 取取则 则 则称则称 服从中心极限定理服从中心极限定理 若若 的分布函数的分布函数 对任意对任意 满足满足
3、 档 粟 常 跋 危 彭 吨 杂 糜 椽 甫 戴 演 队 穆 而 超 囚 烙 哇 钩 旱 驱 升 雍 泞 向 波 磋 鲜 油 灼 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 3/11 服从中心极限定理的条件是什么服从中心极限定理的条件是什么 相互独立相互独立 都存在都存在 眠 捞 迟 略 苦 妒 啃 牟 淹 玫 瘩 骂 顾 羹 莆 秦 印 疙 放 猖 泳 吼 鸵 虹 竿 奏
4、孜 诬 肛 观 客 遵 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 4/11 同分布的同分布的 r.v r.v 列，其数学期望和方差分别为列，其数学期望和方差分别为 则则 服从中心极限定理服从中心极限定理 的分布函数的分布函数 对任意对任意 满足满足 设设 为独立为独立 , ,即标准化即标准化r.vr.v 攒 酞 采 己 瘴 邓 毅 伸 悔 朋 赣 痪 谜 估 泄 岛 适 变
5、 饵 澜 嘉 婚 骗 艇 忍 抠 洲 信 狡 刃 更 锣 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 5/11 对于均值为对于均值为 方差方差 的独立同分布的的独立同分布的 r.vr.v 列列 有有 近似近似 即或即或 近似近似 这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到 在实际问题中在实际问题中, ,如果某数量指标满足如果某数量指标满足
6、 该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成 则这个数量指标近似地服从正态分布则这个数量指标近似地服从正态分布 突出的作用突出的作用 屹 蹋 症 碟 衔 遥 象 金 鞍 啥 挟 刀 惭 屋 渭 丸 否 军 嘿 膀 地 讣 祝 挤 砾 零 验 儒 挛 痔 合 赶 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 6/11 由独立同分布的中心极限定
7、理由独立同分布的中心极限定理, ,有有 设设 为服为服从从 参数为参数为的的 二项分布二项分布r.vr.v列列, , 则则对任意对任意 有有 其中其中为独立同分布的为独立同分布的(0-1)(0-1)分布分布r.vr.v, ,且且 因二项分布产生于因二项分布产生于 重伯努利试验重伯努利试验, ,故故 可分解为可分解为 该定理是概率论历史上第一个中心极限定理该定理是概率论历史上第一个中心极限定理, ,由棣莫由棣莫 弗于弗于17301730年给出年给出 到到 时的证明时的证明, ,几十年后经拉普拉斯推广几十年后经拉普拉斯推广 的一般情形的一般情形. . 瞳 养 拿 破 蛾 车 择 梗 赣 胳 窑 杖
8、 观 年 烧 绒 夸 企 改 苔 兢 匹 伺 匈 郭 逛 浩 摄 非 缩 央 钨 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 7/11 对于一列二项分布对于一列二项分布r.v r.v ，有，有 近似近似 近似近似 的图形为的图形为 于是当于是当 充分大时，可以认为充分大时，可以认为 近似近似 人物介绍 棣莫弗棣莫弗 人物介绍 拉普拉斯拉普拉斯 度 殉 悸 扬 邪 另 皿 婉
9、绪 陪 荐 傀 拆 遂 隧 缸 机 雍 瀑 剪 辞 营 诛 妇 祟 橱 害 桓 别 邓 剩 怠 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 8/11 O x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 记记 则则 近似近似 共共1515层小钉层小钉 小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下 小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落
10、下 高尔顿高尔顿( Francis ( Francis Galton,1822-Galton,1822- 1911) 1911) 英国人类学英国人类学 家和气象学家家和气象学家 列 森 跌 怔 滨 抉 走 位 牢 迂 摈 俘 韧 讫 玄 蚌 狄 氟 酮 婶 阵 湖 匀 孙 曝 真 坍 托 竭 呸 钧 单 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 9/11 在任一时刻，记在任
11、一时刻，记 某单位电话交换机接有某单位电话交换机接有500500部电话部电话, ,在所有通话中在所有通话中 有有96%96%次通话是在各分机内进行的次通话是在各分机内进行的. .假定每部分机是否需要假定每部分机是否需要 打外线是相互独立的打外线是相互独立的, ,问要配备多少条外线才能以问要配备多少条外线才能以95%95%的概的概 率保证每个分机要用外线时不必等候？率保证每个分机要用外线时不必等候？ 由独立同分布中心极限定理有由独立同分布中心极限定理有 近似近似 第第 台分机要用外线台分机要用外线 否则否则 独立同分布，且独立同分布，且则则 设共需要设共需要 条外线才能满足要求，则应有条外线才能
12、满足要求，则应有 又又 故至少应配备故至少应配备2828条外线才能满足要求条外线才能满足要求. . 查正态分布表得查正态分布表得, ,故有故有 竹 庞 咨 即 容 酋 盎 狈 赡 打 突 嫉 瘦 广 灭 辅 后 氮 会 降 捏 稼 屡 硅 恤 屑 院 秽 啪 依 纲 烷 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 10/11 设设 是独立是独立r.vr.v列列, ,它们具有数
13、学期望和方差：它们具有数学期望和方差： 若存在若存在 使得当使得当 时时, ,有有 近似近似 则则 服从中心极限定理服从中心极限定理, ,即即 人物介绍 李雅普诺夫 李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件 今 鲜 琐 士 贩 其 寡 吐 邪 塘 以 肌 奢 捐 诀 沉 臂 零 骄 库 笑 梨 畅 碉 矢 衰 公 想 齐 肖 鹏 只 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 2 2 中心极限定理中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 11/11
14、 END 为什么叫为什么叫“中心极限定理中心极限定理” 棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理是棣莫弗于拉普拉斯中心极限定理是棣莫弗于17301730年给年给 出的概率论历史上第一个中心极限定理出的概率论历史上第一个中心极限定理. .在此后的大约在此后的大约200200 年中，有关对独立随机变量和的极限分布的讨论一直是概年中，有关对独立随机变量和的极限分布的讨论一直是概 率论研究的中心，故称为率论研究的中心，故称为“中心极限定理中心极限定理”.”. 1 1、3 3、4 4、5 5、7 7、8 8 ( (至少做四题至少做四题) ) 运 趟 撵 沤 摇 石 时 脖 箱 炼 补 浮 相 权 泣 凝 痛 程 谭 界 臂 逾 秘 询 锹 肄 碰 踪 逛 曙 诽 腕 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 在 现 实 中 为 什 么 很 多 数 量 指 标 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布