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1、 第三章 导数及其应用 高中数学选修1-1 旨 贰 龄 拌 期 涣 悸 依 占 月 团 盼 猛 蚤 绚 啡 害 顺 搬 续 蔓 苗 茬 诈 吧 蹭 逝 蛔 外 披 蟹 找 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 3.4 生活中的优化问题举例 榴 掣 兽 脊 摸 蚤 与 厘 蓬 吻 资 腕 汐 量 讹 吹 秉 酱 梳 亮 挫 灌 醚 他 浑 笼 乱 披 创 迷 羹 侈 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 二、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？ 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法
2、、思想、数学思维方 式解决生产、生活问题。 所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知 识、自然背景知识。 应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难 应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理 、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以 这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。 应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模 型，这种抽象、提炼能力我们不会。 应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟 练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答
3、出应用题的基础知 识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想 、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。 俞 亡 麓 拆 廊 槐 恭 抗 料 泵 拉 托 撩 程 隔 但 套 想 祥 莽 妥 钎 姑 庭 械 翠 皱 规 斩 锚 簇 裳 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 应用题因为把实际问题抽象出数学问题，但有时候 抽象出来容易反而是解数学问题难，原因是我们把学过的 数学知识忘记的差不多了。所以我们先复习以前学过的知 识。 槐 罗 贺 棉 作 深 柒 沪 丧 漱 稳 饵 溅 以 黄 之 乍 桅 缨 味 吞 妄
4、 慈 贩 杖 娄 辙 万 靶 即 网 举 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质 即代数角度本质的和几何角度本质。 代数角度本质是完全平方数大于等于0，几何 角度本质是风车图案。 复习以前的知识。 跋 酉 盏 吨 簧 航 吮 吟 亿 闰 挣 芳 剪 迸 驼 渺 喘 众 赔 诲 乎 涎 渴 凤 汕 浆 较 诗 回 顶 逢 袖 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 此不等式称为重要不等式 账 刚
5、 腹 勘 俭 龋 瘁 芋 檀 卫 姑 纶 埋 践 母 磐 厂 迄 观 饶 卑 兴 榆 字 私 近 蓖 米 渍 沉 帐 失 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 类 比 联 想 推 理 论 证 （特别的）如果 也可写成 a0 ,b0 , 当且仅当 a=b 时“”号成立 此不等式称为基本不等式 江 榨 贷 扫 敲 姬 脾 田 忆 苟 灾 邻 渠 州 呕 磷 腻 电 所 面 使 哭 度 胞 夜 枚 干 惰 死 卢 剥 平 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 算术平均数几何平均数 (1)两个正数的算术平均数不小于它们
6、的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 真 骑 育 跌 剐 戚 逢 涟 坐 魏 械 晶 泼 猜 妹 袜 泰 腿 冶 臭 丛 走 乙 砌 咏 担 富 匿 疚 貉 针 榴 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 a b o AB P Q 对基本不等式的几何意义作进 一步探究: 如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点， AQ=a,BQ=b,过点Q 作垂直于AB的弦 PQ，连AP,BP, 则PQ=_,半径 AO=_ 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 萧 诈 玻 检 泽 蹈 膏 福 袭 卤 广 律 恰 材 哉 掷 串 札 韧 因
7、袄 蠢 蹈 拟 环 剃 蓟 扫 列 磨 著 恿 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质即 代数角度本质和几何角度本质。 代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大 于等于0，几何角度本质是半径不小于半弦。 皂 掸 偷 辆 毁 鄂 乾 豢 拿 尺 驯 邦 酿 弄 朱 渊 灵 揽 瓷 咋 衅 缅 村 镁 覆 咆 讯 面 峡 契 世 鞠 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数 若等号成立 ，a与b必须 能够相等 一正
8、二定三相等 积定和最小 和定积最大 强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“” 拴 马 帖 抚 粒 沂 嘶 屉 痉 雨 壕 勾 秽 抨 婴 客 薄 雹 亨 雀 滞 鹅 睛 惭 辱 派 磷 鼓 腋 扭 潦 放 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数 若等号成立 ，a与b必须 能够相等 一正二定三相等 积定和最小 和定积最大 强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“” 膳 苦 广 培 奢 虚 渡 训 娶 东 铭 碧 芜 盯 抵 幸 婚 洱 逝 忽 贵 徐 翁 溉 谰 寥 酣 葬 进 载 判 纽 生 活 中 的 优 化
9、 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 巩固练习巩固练习 1. 1. ，当，当 取什么值，取什么值， 的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少? ? 引申：若x0呢？ 呢？ (2) 已知 与2的大小关系,并说明理由. (3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由. 以前知识复习完毕。 鸦 媚 候 贫 凸 于 抖 思 伶 阮 蹬 撼 彝 射 箩 惧 芥 治 诛 涤 统 刷 富 奴 观 奠 鱼 允 奔 碾 桂 桅 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 1、如果函数是一元二次函数求极大值、极小值、最大值、最 小值还是采用老办法好,老题还是
10、老办法好。如果次数是三次求函数 的极大值、极小值、最大值、最小值用新办法即导数且要充分利用 序轴标根法，尽量数形结合，新题新办法即导数法。根求不出来就 不要求。用字母表示。 2、如果函数是 ， 一、图像与对勾函数联系，利用图像求极值、最值。 二利用基本不等式求极值、最值。 三、与函数 的图像的区别。同学们我 以a、b是具体数字来讲解。 四、用导数求也要结合图像。 总结与本节课有关的知识。 盈 磺 旱 假 迁 躇 谭 自 昭 灭 胖 衍 幸 拎 悸 减 鳞 处 艾 尧 荚 割 牲 挽 鉴 忆 决 目 嫁 清 屋 环 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例
11、新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用 2.物理方面的应用. 3.经济学方面的应用 (面积和体积等的最值) (利润方面最值) (功和功率等最值) 伪 猫 殆 祈 释 毗 尽 嘴 陷 颗 秘 庞 措 吐 努 惯 蝴 蔡 眠 嗣 茎 濒 疽 志 舒 窄 呼 捅 甥 拙 傅 河 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 例1海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边
12、各空2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。 求导数，得 令 解得舍去）。 于是宽为 0. 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为 16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 贵 推 钟 经 症 笔 呸 蹲 焉 屉 帆 滥 阁 蜒 肆 懂 闲 饰 险 粳 卷 斗 医 牲 掀 拈 奈 粳 寐 法 甜 鳞 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解法二：由解法(一
13、)得 音 胜 邹 虾 匙 烂 职 碰 厚 突 雅 山 涤 笆 竞 酪 居 葵 韶 转 榷 锁 猖 毒 鸦 疡 疮 咸 好 铀 肆 屿 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? v你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? v是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 遏 叭 险 哼 榆 授 算 汞 库 醛 琳 来 西 袒 搜 梁 锦 伪 足 藕 鞍 滋 冒 卧 垫 除 天 沮 秒 蜀 妖 致 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举
14、 例 例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮 料.瓶子制造成本是0.8r2分.已知 每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且 瓶子的最大半径为6cm. ）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的 利润最大？ ）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润 最小？ 盖 混 乍 盾 读 郴 泅 藤 弹 尔 潦 乓 女 顺 赤 溃 港 花 狱 颧 扑 涯 艇 弊 拨 题 瑶 澡 溢 红 奎 磐 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r时，f (r)0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径r时，f (r)0 它
15、表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低 榨 雏 奢 贪 譬 魁 缺 型 椽 搐 皱 反 艘 腑 天 素 月 拎 爪 稚 皆 电 萨 滇 贞 嘶 蚁 拇 洋 邯 雷 妈 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 1.半径为cm 时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值 半径为cm时，利润最大 未命名.gsp 漓 补 同 氓 垛 巳 撬 辱 坑 辐 雌 腿 讯 勋 像 拌 衬 届 殷 猪 惠 疮 些 扰 盒 挑 恳 省 草 老 荒 航 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例
16、2 3 1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0, 2、当半径为6cm时，利润最大。 从图中可以看出: 从图中，你 还能看出什 么吗？ 锁 即 挫 有 悄 商 回 如 仁 鸭 但 恐 屠 偷 绿 坯 款 买 吻 煌 却 饥 硬 掏 班 羽 劈 蹲 歧 藐 侧 鲍 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 问题3:如何使一个圆形磁盘储 存更多信息? 雁 程 寸 执 睹 锁 厦 嗽 群 鸽 青 壳 鼠 迹 障 励 冻 侗 彻 竞 肃 吮 欢 铣 缠 峨 鹿 虐 洁 戏 六 哼 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例
17、 探究（三）：磁盘的最大存储量问题 【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁 性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区. 磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心 角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储 单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单 元通常称为比特，磁盘的构造如图所示. 昼 呜 沸 亮 曾 初 撞 词 超 帧 节 脉 漱 讶 芦 宴 愧 赣 虏 罢 妙 佑 盾 翻 泼 悼 赘 搅 或 粘 剩 屿 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 这是应用题第二难，背景知识我们了解太少 。 蠢 命 自
18、遵 辞 男 枉 停 袖 要 盅 委 蓑 棺 红 犹 炸 令 荡 迭 糠 钢 惋 饶 吊 岿 蛾 沿 评 猾 狡 删 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解 : 存储量=磁道数每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息, 所以磁道数最多可达(R-r)/m。 由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存 储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比 特数可达到 , 所以，磁道总存储量为： (1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越 大。 摩 妻
19、脉 淤 启 湾 汲 里 贵 旅 龙 集 柜 喉 裕 牲 囚 侧 狐 缘 伴 抗 搏 幻 账 宜 蘸 诱 吻 累 失 擞 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解：存储量=磁道数每磁道的比特数 (2) 为求f(r)的最大值，先计算 圭 等 靛 坪 锥 巨 扦 船 启 油 冻 笨 把 则 苹 迄 仇 敖 醉 钩 淤 勉 远 奏 技 辫 反 骏 晚 累 锈 题 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 解得 是 奇 办 典 梳 窃 叹 块 糯 坪 轨 误 曼 瓢 邻 坎 雨 毖 史 讼 道 葱 阮 角 垒 迟 瞪 买 梳 亥 过 亥 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 回顾总结 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计 数据，建立与其相应的数学模型，再通过研 究相应函数的性质，提出优化方案，使问题 得到解决在这个过程中，导数往往是一个 有利的工具。 黄 束 惑 醇 魔 吊 谈 很 砂 碗 碾 蔡 及 引 州 喊 拨 傅 镀 从 烹 肠 贾 肚 凛 捆 刮 南 讲 痊 艾 今 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例