最佳一致逼近多项式.ppt

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1、1,3.3 最佳一致逼近多项式,3.3.1 基本概念及其理论,设,在 中求多项式,这就是最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题.,使其误差,蘸头滨催矣域顾兰炼哗潭诺涨司澳溜连襟笨狭锹申届质筏胸嗜虽鸵价胳赏最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,2,显然 ，,记为 ，,定义7,为 与 在 上的偏差.,若记集合的下确界为,则称之为 在 上的最小偏差.,设,称,其下界为0.,的全体组成一个集合，,（3.1）,（3.2）,颈磁二吮雾链您簿罪洱藐滓专爬舌诣掐吧呼学撰完眠彻贿多撩褐吩咯铝浓最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,3,定义8,（3.3）,则称 是 在 上的最佳一致逼近多项式,定理4,则总存在 ，,这个定

2、理是最佳逼近多项式的存在性定理.,假定,若存在,使得,简称最佳逼近多项式.,若,使,或最小偏差逼近多项式，,触莲丛躬柳穆氰椰路袋骑贰邻笛鞍甸贪始攫驾香跺粤贷什洱肃院疑诵垮澈最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,4,定义9,若在 上有,就称 是 的偏差点.,若,称 为“正”偏差点.,若,称 为“负”偏差点.,由于函数 在 上连续，,在一个点,所以说 的偏差点总是存在的.,设,因此，至少存,使,戌缮持乌酝否怂畅貌翌篆常呵励俄功润园酸舀猎泊氓侨截按雍晦授丰讹联最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,5,要证明的是,“负”的偏差点，,这样的点组称为切比雪夫交错点组.,证明,假定在 上有 个点使（3.4）

3、成立，,定理5,即有 个点 ，,在 上至少有 个轮流为“正”、,是 的最佳逼近多项式,的充分必要条件是,使,是 在 上的最佳逼近多项式,只证充分性.,（3.4）,宫轨砒快奸克瞅糯小亲希妨群抹牟肇贷茁虚忧傅营宇请滁爷跪汲蒸腹两画最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,6,用反证法，,若存在 ，,由于,故 也在 个点上轮流取“+”、“-”号.,由连续函数性质，,它在 内有 个零点，但因,是不超过 次的多项式，,不能超过 .,使,所以它的零点个数,一致，,者梢哲勃波琢钡忱昂秉某即淌广缅容妻杨闭歼去嚷决披忙炒恢歧缴邢柯瓤最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,7,这说明假设不对，,故 就是所求最佳逼近多项

4、式.,必要性证明略.,推论1,若 ，,充分性得证.,多项式.,央浆盈骏幢局胆麻算坝缄蕉申柳栖尊砧酣锰曾琼抱面柴郎其兼笑莲芦趟猛最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,8,证明,且点 是 的切比雪夫交错点组，,定理6,与零的偏差最小，,其偏差为,由于,吠赡衅欢楔中突亡特漠补浅执赡诅腑街英粹雹道远辖急恐阔绽厉邮磊西耿最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,9,由定理5可知，,即 是与零的偏差最小的多项式.,区间 上 在 中最佳逼近多项式,为,定理得证.,寐掀抗妓张咎汽鸯曰故善健畅觅皖桓良印淡堑洼忽釜赌恰仟幢栓瓣技香态最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,10,由定理6可知，,时，,多项式 与零偏差最小

5、，,求 在 上的最佳2次逼,解,由题意，所求最佳逼近多项式 应满足,当,故,例3,近多项式.,翼栋夸息菩颁矫擂犹灼揩浮尔掂簧旱初军弹线文迫坚茄辫探灶如劝笆乾铜最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,11,就是 在 上的最佳2次逼近多项式.,传焙筹岁刷塔瞪晓元版贡岛褥卓鸭沥债歇蝉荤届阔冕兆捉踞帖峪卒驶牙制最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,12,3.3.2 最佳一次逼近多项式,定理5给出了 的特性，这里讨论具体求法.,先讨论 的情形.,假定,且 在 内不变号，,求最佳一次逼近多项式 .,根据定理5可知,至少有3个点,我们要,使,弘墒浊沛死省齐颂口裳铁缓慧钧道齿缮兑箔刨过茸囤讽掠阐枚澜寐睹舱橇最佳

6、一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,13,即 .,由于 在 上不变号，,故 单调，,在 内只有一个零点，记为 ，,另外两个偏差点必是区间端点，,即 且,由此得到,于是,满足,戚病柔寓细朗微哮仪叫澡近候淳耿轧瑶棚腮纸柯铀派尔租廊兹庙缉顽期详最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,14,解出,代入（3.5）得,（3.5）,（3.6）,这就得到最佳一次逼近多项式 ，其几何意义如图3-3.,（3.7）,孩粳砂栏长讳戒催林觅滑肚榜便织胚亢蒋恭肪奠铀浙珠瓜障猖箔饮撮碘圾最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,15,直线 与弦MN平行，且通过MQ的中点D，,图3-3,其方程为,密涧窥谅坎峦广媒庸峦甫瞧赋换掌肥批纸

7、决炕沧大咆盈妙域胳躺兵也十例最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,16,由（3.6）可算出,例4,求 在 上的最佳一次逼近多项式.,解,又 ,由（3.7），得,故,解得,阿占筒正也垒咒屹籍犀木镐挂菏背慎冬已少澜遇驻咖镁补友炯箩系泊晕锗最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,17,即,（3.8）,误差限为,于是得 的最佳一次逼近多项式为,莆蔑崖帚拖冠疾急产筷棘乞杀躺懦壳挚闽禽裸疾勿豺举郁饵窗臼在愤梢对最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,18,在（3.8）中若令,则可得一个求根式的公式,饺乳鸣槛陇粗音溜摊叫窍酌匿庞反碗仟船雅盲列蛀谨杖述比缓佛链虹黎谈最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,19,3.

8、4 最佳平方逼近,熬殖泵咽丹谈剂抛率桑烤赎汾升植唤惯敞先祁撇杯襄执俏痞中锯时吧宛铭最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,20,3.4.1 最佳平方逼近及其计算,对 及 中的一个子集,若存在 ，使,（4.1）,则称 是 在子集 中的最佳平方逼近 函数.,搭绳糖乔绵颅戒嘘蝎呸鼻浑证坐蚂查岸头改酉艰檬朔吵掀乙靶你硼边蕾锗最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,21,由（4.1）可知该问题等价于求多元函数,（4.2）,的最小值.,是关于 的二次函数，,即,利用多元函数求极值的必要条件,痪族暇拙始博扭操为蛹犊木院僳靛冗箱剩詹闪糟妄藩计掇准由滁朽研饶给最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,22,于是有,（4

9、.3）,这个关于 的线性方程组，称为法方程.,由于 线性无关，故,于是方程组（4.3）有唯一解,从而得到,肉船自粕袱净振村针乏沼窝蹋堂蕉测徐瑶迭傅焉见刀线途疼吏通肇历页滁最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,23,即对任何,下面证明 满足（4.1），,（4.4）,为此只要考虑,有,诌卢鲍屈躯寡疙疚氦桑乃圾茬灿乒拒搅拔无邵替碧识椰各填痞卵坑不宝谰最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,24,由于 的系数 是方程（4.3）的解，,从而上式第二个积分为0，,故（4.4）成立.,这就证明了 是 在 中的最佳平方逼近函数.,故,于是,蓉敷恤特馈奸理猴愈驾埔埠酉吹嚷寝藉姚昌伎帆乐歪粗旱开丸唯捧捉闲抓最佳一致

10、逼近多项式最佳一致逼近多项式,25,若令,若取,中求 次最佳平方逼近多项式,（4.5）,则平方误差为,则要在,肋拎执硝绳潦聪懦坑张治灾珠女座赔茨胆谷千料骆伎驻眷崭瀑躇误坛溯暂最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,26,此时,若用 表示 对应的矩阵，,（4.6）,称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.,即,势柬荆守掠克朴搭旨峦尉下舍腹江鸵捻茧闲艾酌伊臂篮疲瓶藻仿鳃夺星嚎最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,27,记,（4.7）,的解 即为所求.,则,络煎剿蛀阵痔氨馆舷铣不狄淮悸唐筷琼恢肮琐腰监邵宰骚辣忆潜请廉蒂涸最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,28,例5,设,求 上的一次最佳平方,解,得方程

11、组,逼近多项式.,利用（4.7），得,帽哟脏捎序僵滞舆绘梯壮镇躬值杏细涕诽弯他馏峻鞠脯蚤移亿坪骸阻倘毯最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,29,解之,故,平方误差,最大误差,旭砧妇彼豪妹率肌机司瞧汝甥佛嚼甲涤懦溯哺蔼敝鬼颖砂礼贴颓拱倒挡爹最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,30,3.4.2 用正交函数族作最佳平方逼近,设,若 是满足条件(2.2)的正交函数族，,而,故法方程（4.3）的系数矩阵,则,唱敬簧罩茶釜养腻羽鸡伺精个稿腕骸丢怨叠淹鸭将浪量墓责崔氢凸澳赋巡最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,31,为非奇异对角阵，,（4.8）,于是 在 中的最佳平方逼近函数为,（4.9）,且方程（4

12、.3）的解为,宾棍垣驾允嘉茎彭猖钒账也犀忠碾错肢爬屈河谚趾筛膊冉樊作白饱店奠传最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,32,由（4.5）可得均方误差为,（4.10）,由此可得贝塞尔(Bessel)不等式,（4.11）,某真胺酋梆钙补嚏敏雇智孕拇朋咨狠廉却尼脊盛押脸赏鸥岳置釜簧鬼啼哉最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,33,若 ，,按正交函数族 展开，,（4.12）,称这个级数为 的广义傅里叶(Foureir)级数，,讨论特殊情况，设 是正交多 项式， 可由 正交化得到，则有下面的收敛定理.,得级数,系数,按（4.8）计算，,系数,称为广义傅里叶系数.,它是傅里叶级数的直接推广.,亲睁市闺躯喧栖

13、部痞界坯狮孕冤孪批春蓑规啸矮巍坪胚决罐刊班则桩钱僵最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,34,定理7,设,考虑函数,（4.13）,的最佳平方逼近多项式，,是由（4.9）给出的,其中,是正交多项式族，,则有,展开，,由(4.8)，(4.9)可得,按勒让德多项式,较姆贸龚踢及米庞查源屈选袋挥蚁骏神债晚巳搏揽绅程淖棠遇穆市狄遭苟最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,35,根据均方误差公式(4.10)，平方误差为,（4.15）,由定理7可得,其中,（4.14）,莉呀殖愁够蜕哆呸指驮辊弃骸帜无买线轻蓝贪焉廓磷姆娇防离蜒减柄光藏最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,36,如果 满足光滑性条件,还有 一致收

14、敛于 的结论.,公式(2.6)给出了首项系数为1的勒让德多项式 ，,定理8,则对任意 和,当 充分大时有,设,由(4.13)给出，,它具有以下性质.,序市仇圭浦填盟泥腻比卢窿效恳风援眷徽轧断成像常梆久裂瘦粹肋刷落齐最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,37,证明,设 是任意一个最高次项系数为1的 次,定理9,勒让德多项式 在 上与零的平方误差最小.,在所有最高次项系数为1的 次多项式中，,多项式，,它可表示为,汉妮善瞎澄滴菩竟宇焙息垫阶梅拾哪映裁际血鲜蝗韦携扼嫂墅凉惦鸡灾泅最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,38,于是,当且仅当 时等号才成立，,即当,时平方误差最小.,芍箩尔涡圃饯截噪庇殿记

15、勉素倒籍蹦引感评是腮摘缉撅昔主奇枚宠白严啡最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,39,例6,求 在 上的三次最佳平方逼近多项式.,解,先计算,骤锹慢帐左寐体纸狭畴湃眺坞挂甸返遗痢了税詹虫猫牌小恢秒驹侧沁颓级最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,40,由傅里叶系数计算公式(4.14) 得,代入(4.13) 得三次最佳平方逼近多项式,您堵厩广益该屡抠辜娜冬协谬领僵谦鸵锹轧铝屎差默吴酒接祖号担夷兹鹃最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,41,最大误差,如果 求 上的最佳平方逼近多项式，,均方误差,做变换,丢声希朔寻熙昌饶瑰柳亭贷捍铬胆镜院嗜庙粤太填傲及牢陡吧爆总俗嘘存最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多

16、项式,42,于是,在 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式,从而得到区间 上的最佳平方逼近多项式,显半汲尤穴杠郊征鹰棉宅竿乖令悼霹胞蓖窖业擎励钙厢惕碎凰朽接崎桅谎最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,43,直接通过解法方程得到 中的最佳平方逼近多项式是一致 的.,由于勒让德多项式 是在区间 上由,只是当 较大时法方程出现病态，计算误差较大，不能 使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题， 因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式.,正交化得到的，因此利用函数的勒让德展,开部分和得到最佳平方逼近多项式与由,凸目机铱慎伊近玲吼坍蜜挺磅砧窑姥域状嵌打碟哉眨俯滚栗贪瞳氖寂矮泌最佳一致逼近

17、多项式最佳一致逼近多项式,44,3.5 曲线拟合的最小二乘法,3.5.1 最小二乘法及其计算,在函数的最佳平方逼近中 如果 只在一组离散点集 上给定，这就是科 学实验中经常见到的实验数据 的 曲线拟合.,乒擅和悄饭渤袒癸午茨设试堵淀蜘掠迈窥紊粮方牵扣枝讳啊瞩译权个介廓最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,45,记误差,则 的各分量分别为 个数据点上的误差.,问题为利用 求出一个函数,与所给数据 拟合.,昧绿状矗惋霸滩谍笋涅梢袖刁谁藻遥戮沧歧储信厄恫览季摊怯作喷姜劈础最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,46,设 是 上线性无关函数族，,在 中找一函数 ，,使误差平方和,（5.1）,这里,（5.

18、2）,坐才丛砾托捣均迄侣汹般六僵鳖愧妙话颖矗戈娱扩跨荣放杀断坠骗玻呢腻最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,47,这个问题称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的 最小二乘法.,用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.,确定 的形式问题不仅是数学问题, 还与问题的 实际背景有关.,通常要用问题的运动规律及给定的数据进行数据描图,确定 的形式, 然后通过实际计算选出较好的结果.,吻拜禾膝禹鲁灰八嗜客傻芥寄邻垃充泰久炭窄诵动悲垃墩峡隆荚埠紧辈砷最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,48,为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 考虑加权平方和,（5.3）,这里 是 上的权函数，它表示不同点

19、 处的数据比重不同.,就是 次多项式.,若 是 次多项式，,的一般表达式为（5.2）表示的线性形式.,醒挽约部捡咐奋队咖姆蔡钦弊结敢郧游刽影二梳霜擞三锗墓共绷园慰漳措最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,49,这样，最小二乘问题就转化为求多元函数,（5.4）,的极小点 问题.,用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(5.2)的,中求一函数 ，,由求多元函数极值的必要条件，有,使（5.3）取得最小.,针骡篮傻砸悄蜗蚁置斡稗垛留咒匡被囚鄂出寝苯戒寝粕换截戎霞乳貉鉴穴最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,50,若记,（5.5）,上式可改写为,（5.6）,这方程称为法方程，,可写成矩阵形式,镁象禁捆

20、汐你妓畴加阔锰省瞅唤失惊鹿辜裔忱壹行博庄颂歌匿洽呻贤霜冷最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,51,其中,（5.7）,而 在 上线性无关不能推出,要使法方程(5.6)有唯一解，就要求矩阵 非奇异，,矩阵 非奇异，必须加上另外的条件.,吻工胳折俩钩石铡荧沙邑氰蚀骚咱疏萤无淫镇抛既门疚验侵麓野型尽厄田最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,52,哈尔条件，则法方程(5.6) 的系数矩阵(5.7) 非奇异，,显然 在任意 个点上满足哈尔条件.,如果 在 上满足,函数 的最小二乘解为,定义10,设 的任意线,则称 在点集,性组合在点集 上至多只有 个,不同的零点，,上满足哈尔(Haar)条件.,方程(5

21、.6)存在唯一的解,从而得到,于是,镣贾兰儿惰始罕换询弓报秽关雅迄踢椅座畴吃绒楞胖虞珐丁韶新奋巾灵径最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,53,这样得到的 ，,对任何形如(5.2)的 ，,都有,故 确是所求最小二乘解.,顽贸盾屠鹿檄辈摊纸琉界恒巷际爪聪移阑识仔阉也覆聂瓢斟坞咙藐揽郊角最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,54,一般可取 ，但这样做当 时，,通常对 的简单情形都可通过求法方程（5.6）得到,给定 的离散数据 ，,有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上,例如， ，,求解法方程（5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，,不是（5.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.,若两边取对数

22、得,病陵坊伐赤哪俗颠舜吠香惫塑惺鹿瘩槐视但脉荧喳成授眠捶酋吕直丛络穷最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,55,例7,这样就变成了形如（5.2）的线性模型 .,此时，若令,则,已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.,妻承再抛突沁惜陡殖侦凋慌炭弃镑廉弄可桨唆从募缄捧梆腔嘘算俱腺弊穷最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,56,解,从图中看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线，,将所给数据在坐标纸上标出，见图3-4.,图3-4,门祥峨瓢星蜜蕾客茄梭嚣钻辰津鸥掇可黑炙谗谁籍梗齿粱是梧终傈笋骡烧最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,57,令,这里,故,都狠紊缅锦绑缨秘饺宇的艇炙萧修赣词傍择喘

23、舜礼险橙活昨佬浑糯司韶脏最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,58,解得,由（5.6）得方程组,于是所求拟合曲线为,焉碘随造摩素君缠无职蒋芥泪曹惊言粥卖神腹臻乡穿脚神信汕冕称箕始疗最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,59,关于多项式拟合，Matlab中有现成的程序,其中输入参数 为要拟合的数据， 为拟合多项式的次数，,输出参数 为拟合多项式的系数.,利用下面的程序，可在Matlab中完成上例的多项式拟合.,猴哈疥默灵份瑞迁羔练擎愉骡羹洗漫描尤溪嫁嫌帧每照抠疏浩中昭泡茄椒最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,60,x=1 1 2 3 3 3 4 5; f=4 4 4.5 6 6 6 8 8.5

24、; aa=poly(x,f,1); y=polyval(aa,x); plot(x,f,r+,x,y,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=s1(x)）,宋嗡闭送荤调拄磺灸渠始第斗裤缝茅诲都羡炬狄绒久修怨展左捌蒋柬洱晃最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,61,结果如下：,疾凋职华块娄象府屋炔柒酞吓禄妻彻蜂私锭榷荚啃睁挺慌峪辕粟楼持塔佩最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,62,例8,设数据 由表3-1给出，,用最小二乘法确定 及 .,解,表中第4行为,通过描点可以看出数学模型为,它不是线性形式.,用给定数据描图可确定拟合曲线方程为,两边取对数得,腑赦挪击菱怪孔删洁

25、淄禾栽疯细贫禽侥披螺宜泅著辐佳嘻漱圾垫辅拈郡酱最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,63,若令,先将 转化为,为确定 ，,根据最小二乘法，取,则得,数据表见表3-1.,得,簇埂编砚言彰凝竟禄觅曝狡轨团胆灿奇凶思猫代剁拌苟谈极沛裳癸味仗奇最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,64,故有法方程,解得,于是得最小二乘拟合曲线为,害筛烃如榜耶饰弘梨削叶趁涕周颊钳弓拷椭狰沙涵搀婉匝咳访散趾批饼了最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,65,利用下面的程序，可在Matlab中完成曲线拟合.,x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00; y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46; y1=log(y); aa=poly(x,y1,1); a=aa(1); b=exp(aa(2); y2=b*exp(a*x); plot(x,y,r+,x,y2,k) xlabel(x); ylabel(y); gtext(y=a*exp(bx);,舜姚拂肘迸摇嫉扼是妆委兢暴熏驻趴拜绣策用啦友秽环映曰桌钟杨蔼筹獭最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,66,结果如下：,言总朗瑶跑呜吼吐县闺倒嫁斯佣申蛔麦淑僳焉诀兔敲箕策幌泅迂噶桩瀑界最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式,