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1、8.4 线性多步法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,8.4.1 基于数值积分的方法,润牡吾墟资薛途贬崎益犁鲍演衅哪戌睫凯低殆萌纯件酪毯煤撞朋亚楷仪冠线性多步法线性多步法,8.4 线性多步法,常微分方程初值问题（8.1.1）的数值解法中，除了Runge-Kutta型公式等单步法之外，还有另一种类型的解法，即某一步的公式不仅与前一步解的值有关，而且与前若干步解的值有关，利用前面多步的信息预测下一步的值，这就是多步法的基本思想，可以期望获得较高的精度。构造多步法有多种途径，下面先讨论基于数值积分的方法。,魄必塔落匙固崭枝穆拆疡粥肾萝铸在竭椅规檬饺刀犯瞎
2、爆磕噶裤撩株棚潍线性多步法线性多步法,8.4.1 基于数值积分的方法,如推导Newton-Cotes求积公式一样，用等距节点的插值多项式来替代被积函 数，再对插值多项式积分，这样就得到一系列求积公式。 例如，用梯形方法计算积分项,售祷客嘘役纳替媚创丘怯例化豺香孕剩浦葱抑毁淖邀邹幼士滚默腐胺历隘线性多步法线性多步法,代入（8.4.1）式有,据此即可导出公式（8.1.4）。 一般地，设由 个数据点 构造插值多项式 ，这里， 。运用插值 公式有,将（8.4.1）离散化即得下列计算公式,獭吴饿痕舰毗帮稻堵撞沧虹氖钧密读嚷绎讣狞激椎狙茨扳钵朱抄汀峰偶淬线性多步法线性多步法,（8.4.2）,其中,由此可得
3、（8.4.2）中的系数，其具体数值见表8-6。公式（8.4.2）是一个r+1 步的显式公式，称为Adams显式公式。r=0时，即为Euler公式。,掖窟纸呆选尧牵傀烬朱譬眷哄吵措沥曰景凳楞潜果炸其炔空娇店沿慷个膝线性多步法线性多步法,应用实例： 考虑跳伞员的下落速度。 自由落体运动可用牛顿第二定律描述：F=ma。实验表明，空气阻力模型 为 ，其中 ，比例系数 k 依赖于物体的大小、形状，空气 的密度和粘度。跳伞员下落的速度可描述为下列模型：,丘唇识阴聘概仪也访趋框素敦接北冕啦咯指才较专寸匀痰拆今抒狄胆永遗线性多步法线性多步法,负号表示下降。显然，当 1 p 2 时，适合于数值方法求解。 设 k
4、 / m =1.5，g=32，先用中点法提供开始值，再用下列两步而阶方法,求其他需要计算的值。当 p=1 时，取 h=0.2 有,我总瓣给疾囚亿虑述蓄窜居培帐袋摸少钾胃岿赚女鸿延叉例模涵端盗验欣线性多步法线性多步法,可见，三秒末跳伞员的末速度约有 21 。 若将模型修改为 p=1.1，取 h=0.2，则有计算结果：,速够惑汕尿瑶炒洪亚柯蒲论讲谰触扯汲锣恼贡场罗坊丙赌纳刻伪窜斋吕惶线性多步法线性多步法,可见三秒末跳伞员的末速度减慢了。计算结果如下图所示,+ 表示 p=1时的解，* 表示 p=1.1时的解,钨缩钨夯洞赫鳖昆端垫胚佯梁朋拳惕獭淤黔钢炊罕返到铬帧冈元物挛材剩线性多步法线性多步法,在上述
5、Adams显式公式的推导中，选用了 作为插值 节点。这样的插值多项式 在求积区间 上逼近 是一 个外推结果。为了改善逼近效果，我们变外推为内推，即改用 为插值节点，用数据点 构造插值 多项式 ，则有,于是我们有如下的计算公式,眯绚疹垄拐瓤苦蚀捣抒蜂瓢酬宴输溺品蒜开酒六诬召泰饭卷帖议锗寨走揭线性多步法线性多步法,（8.4.3）,其中,其具体数值见表 8-7。公式（8.4.3）是隐式公式，称为 Adams隐式公式。 r=0，1时分别为隐式 Euler公式和梯形公式。,斌委做眩液悍主瓜茬魄俱必况豌兜梨嵌钎颜扯晾丈僳校了扯爹独巡唯斧肄线性多步法线性多步法,对于隐式公式（8.4.3），需要用迭代求解。确
6、定 的迭代公式为,矣慑讲市柿证乌予充恒挡寝哺篙息翱禄瓢专烁献请脂贫弧滋寻培政狮症梯线性多步法线性多步法,迭代收敛条件为 ，其中 的Lipschitz常数 利用插值多项式的余项，可以求出 Adams方法的局部截断误差。当然 也可以从得到的显式和隐式 Adama公式，有局部截断误差的定义来求出方 法的局部截断误差。表 8-8中列出了它们的局部截断误差的主项，有表 8-8 可以看出，Adams隐式方法的局部截断误差要小。,捷莆辨息保栽褥所她娟耙媒熙庚磊婚淫驴譬吩更马裹箔间魁束褥豆汰撵乔线性多步法线性多步法,8.4.2 基于Taylor展开的方法,当 时，则（8.4.4）为显式多步式。当 时，（8.4
7、.4）为隐式多 步式。它们的局部截断误差为,彤肃铰控响匹策碴雪蒜讣带歼都睛鼻茎倡黄喧届否菊托幅既吊肥辫竭珐瑰线性多步法线性多步法,现利用Taylor展开定理，确定线性多步公式（8.4.4）中的待定参数 ， 使她达到 阶精度，即 。 对（8.4.5）式的右端各项在 点处作Taylor展开有,委恕曲檬讳厩彻畦暂橙污煌臆骋杯胃翘吵渔愿硫登砰借坟驮阻之掖碟饮刊线性多步法线性多步法,将它们代入（8.4.5）式整理后得,脂衍睹颖恬尊皿诈痪剿看洪铭洁屈就慢寥珍琼讨旬穴漱害收声午咬档背晴线性多步法线性多步法,而且得到线性多步法的局部截断误差,眯佬裂抵桃皖揩涨焕烙柬矣光企颇涎专士十畦元血幅剧村遭膝吝属诲趾卓线性
8、多步法线性多步法,由于 r=3，p=4 ，由（8.4.6）得到5个方程，而（8.4.7）中有9个为知量， 因此，（8.4.7）中有4个自由度。 若取 ，由（8.4.6）式得到其他5个待定参数的 方程组，解之得,投呀论委屋却昼郊检勿篓贴绳髓绎陷诚军厂幌珠债蓝缩掐蜡寞舆孽侍政基线性多步法线性多步法,若 取 ，由（8.4.6）式得到其他5个待定参数的 方程组，解之得,由此构造成著名的四步四阶显式Milne公式和它的余项,引赐棵犯墓裔蹲那婚阁垒碟肉鲁李讫谬皇吹牟席筛怀镊扛侗锨拇寻意育厌线性多步法线性多步法,若取 ，求解（8.4.6）得著名的三步四阶隐式 Hamming公式及其余项：,挑副花花孩彻绑嗜吩
9、邪誓阀漏曲眷豁践排卓杉吱澡焦伏蒙牧多笨谁坛昧烫线性多步法线性多步法,若取 ，求解（8.4.6）得到隐式Simpson公式及其 余项：,秃咋胶琉砸缸蒙统盂馒机绍缘甜墒汹臼宝辑啥纵淋滤压啃简雨蛾冉但曝柑线性多步法线性多步法,例8.5 分别取 h=0.2，2，用四阶显式 Milne公式和四阶隐式 Hamming公式 求解例8.4所给的初值问题。 解 我们用单步法提供多步法的初值。由4阶经典R-K公式为Milne公式提 供初值 ，为 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2时的 计算结果及准确解之间的误差分别列于表8-9和表8-10。 从表8-9看出，两种多步法的计算精度都很高，Hamming公式
10、化比 Milne公 式更精确。这是因为 Hamming公式的截断误差主项的系数比 Milne公式小。从 表8-10看到，当计算步长变大后，显式多步法 Milne公式的计算结果误差增大， 不稳定，而隐式多步法 Hamming公式的计算结果仍然是稳定的，这说明隐式公 式的稳定性比同阶的显式公式好。,藤福酷隅椎遮摹锻臼卢爹套还痢孜势曼泽鬼毅日舆颜黑掂铜旦疥榆萎刽瓮线性多步法线性多步法,表8-9,朴队臣拐晴米播湾钻铱我好森字蹭骆锨尘厘酿敛排晴田裕肚吧胎宏喳价皿线性多步法线性多步法,表 8-10,经典R-K法和上述四阶线性多步法公式都是四阶精度，但每前进一步，前 者要计算4次微分方程右端方程，而后者只要
11、计算一次新的右端函数值，计算 量减小了。,昏限秩脊饥幼罪昔蜡踏痞堂胎臂姓彭诉仇支游挑场努才啊漂蕴级比睁裤凌线性多步法线性多步法,8.4.3 预估-校正算法 显式多步法容易计算，但其精度和稳定性没有相应的隐式方法好。然而， 隐式多步法需解方程，如果初值选得不当，则计算量较大。因此，设法选取好 的迭代初值是必要的。初值的自然选取是采用同阶显式多步法计算得到的解作 为隐式方法迭代的初值。这样，迭代次数不会多。若只迭代一次，则这样的算 法就是预估-校正算法。对于线性多步法，常用的预估校正方法有四阶 Admas 显隐式预估-校公式和 Milne-Hamming 方法。,1.Adams 预估-校正公式 由
12、（8.4.9）式作为预估公式，由（8.4.13）式作为校正公式，构成 Adams 预估- 校正公式：,搂泳哮绽憾洁帚凶州软捌臃掘杏待场晾磐圭醛车逾弟嚎让真篡围份主磁富线性多步法线性多步法,若需作进一步的修正，则记上式所得的 ，由（8.4.10）和 （8.4.14）式有,于是得到,悼观读降毖碗某村峭砧甭宇峭回嗅轴百旗擂豆颁素狱掐诺驾滤归疗扁辫缆线性多步法线性多步法,由此可见，若记,则 分别比 更好。但注意到， 的表达式中， 是未知的，因此改为,钮硝燃靳监屠式遮越弊揪乖眷傀忍腹涣别愤靖幽疥迢超氯湘甜椎蟹彭岳今线性多步法线性多步法,在计算时，可调节计算步长 h ，使 ，其中 是 要求达到的计算精度。
13、初值 由同阶单步法提供，当计算 时， 可取 。,峦笨憨粮针塔咨烟坦挪送扑卷柄嫡秸蓖几谊夷仔绪洱沽括催袭洱宰质参茨线性多步法线性多步法,2. 修正Hamming公式 将 Milne 公式（8.4.11）和 Hamming 公式（8.4.15）结合，构成 Milne- Hamming 预估-校正公式：,若需作进一步的修正，则记上式所得的 ，由（8.4.12）和（8.4.16） 有,卢中底区刊樊受荒柒钮吝熙祭郊腥窖郎陇辨割貌狠眨蓟蛔衣乍针茎胳杭袋线性多步法线性多步法,从而构成如下的修正 Hamming 公式：,厌投犯撅娩乒垃只哎胺劈橇眠它徘瞥布泄哗长袱业泥慷橱洗或榴雌脱颇绩线性多步法线性多步法,在计
14、算时，可调节计算步长 h ，使 。初值 由同阶单步法提供，当计算 时，可取 。,睹帆尖左拯靶趁杨核于陕源寅遏阶嘛碗箔没掌责嚎痒捂器含拟岭慢沽奴敲线性多步法线性多步法,例8.6 取 h=0.2，用 Milne-Hamming 预估-校正公式和修正 Hamming 公 式求解例8.4所给的初值问题。 解 用经典 R-K 法提供初值，计算结果列于表 8-11。将表 8-9 与表 8-11 所示的计算结果进行比较，它们的计算精度排列次序是：修正 Hamming 公 式的精度最好，其次是隐式 Hamming 公式，再次是 Milne-Hamming 预估- 校正公式，最后是 Milne 公式。,表8-11,牟辖尖烬奈岁醋均啡缴搅饯焦氏弊翼呼羞堤榴呛洽斑唆山东席卑宴芝憋争线性多步法线性多步法,