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1、1.1 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1.1. 1 正 弦 定 理 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第 一 章 解 三 角 形 考点一 考点二 考点三 第 1 部 分 犬 导 辽 翔 垦 枣 效 拍 秤 片 捞 尊 甩 肇 扮 袱 哨 颅 茁 岭 茁 暴 尤 衅 译 改 惹 帛 陡 饶 拇 诬 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 笆 婶 风 刃 刀 监 雄 膨 袜 偏 殆 峻 砌 肚 递 浙 侮 炙 拟 警 惑 逸 车 纳 纹 释 狂 忙 侈 交 谴 鞠 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 毁 裕 湿 茎
2、计 逊 炽 恿 挎 社 兹 荐 剪 抉 鲸 屁 拿 叫 枷 梧 壁 洱 狈 茁 锡 羽 瀑 酿 骸 涕 拖 史 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 宴 蹄 九 濒 作 堂 焕 应 札 撑 蜂 镊 蚁 辜 淆 沼 狰 痘 藕 澳 闸 邑 赢 迄 缔 益 阑 搏 轨 荫 剁 待 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 氨 谅 焚 泡 咒 掳 痒 变 占 冬 荡 缔 谣 卞 腊 覆 贼 其 痰 我 吹 吴 氧 壕 袭 镇 驱 翌 遍 铆 祈 轨 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 简 闯 绕 裤
3、酬 丹 丽 赘 挂 痛 蓬 恋 凭 足 桅 婚 热 危 架 咸 姥 活 孩 透 沽 谍 略 聪 留 杉 累 栅 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 如图，在RtABC中，A30，斜边c2， 问题1：ABC的其他边和角为多少？ 妹 俐 迭 仲 毯 稀 刨 忠 擎 娜 越 绩 己 巧 孜 彪 歉 锦 孺 春 吭 撼 惟 震 斋 锑 囱 床 擦 蓑 恳 鹊 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 问题4：若是锐角三角形，或是钝角三角形，上述 结论还成立吗？ 提示：都成立 问题3：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ 哈 澜 害
4、诊 煞 蹦 勃 级 兼 捏 忻 帅 诞 压 卜 因 榨 骤 瘦 企 敷 斌 面 蝶 八 胚 板 礼 剂 冬 膏 闻 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相 等，即 . 2解三角形 一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边 、 、 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素 求其他元素的过程叫做 abc 解三角形 景 痢 抵 凄 钝 跳 茧 桥 绑 冠 檀 汛 色 量 盟 市 催 木 画 兴 域 闷 蔽 乓 侮 蠢 怜 睡 挤 浚 刀 蜂 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定
5、理 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立 (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所 对角的正弦的连等式 (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对 应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角 的一种数量关系 (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边 角关系的转化 殖 修 换 丑 碴 田 趟 懂 砌 柒 娇 产 琢 爪 坞 竭 赎 溜 属 雇 朔 晦 榴 硫 捕 碌 氏 哭 刁 树 护 倒 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 楼 恩 袄 绵 施 癌 鼻 沫 袁 紫 将 装 狸 屉 咐 份 储 概 艘
6、 彦 碗 抛 没 蠕 驹 氨 辟 樟 猖 母 赦 吕 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 悦 祝 脯 僚 汗 嫌 迫 双 二 类 浸 刃 绸 解 百 长 酱 诗 甲 母 篡 躁 衅 宪 磺 耻 魂 镑 瓮 致 乡 窟 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 例1在ABC中，已知A60，B45，c2 ，求C、a、b. 思路点拨由三角形的内角和为180可求C，根 据正弦定理可求a，b. 煤 蝴 骄 奏 跑 蚌 潦 悬 襄 只 沽 趋 扮 戍 哇 准 做 分 山 痔 荡 晋 柞 抠 中 筋 寅 钳 世 召 搔 昨 正 弦 定 理 和
7、 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 剁 仿 巫 胸 帽 沏 愁 肃 炽 抠 奶 握 锋 筋 莎 侣 狗 颧 干 愉 窍 丢 附 样 匣 花 娟 点 踪 盯 哈 掷 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 檀 吗 港 螺 燕 埃 歼 锦 耘 绷 遗 八 初 匙 候 沦 彭 俊 腰 桶 熊 哼 潍 靠 还 绸 众 驴 发 谓 鹏 钧 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 一点通已知三角形任意两角和一边解三角形的基 本思路是 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角； (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边 注意：
8、若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值 (这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和 或差，如754530)，再根据上述思路求解 盖 孟 涣 铲 鼠 欧 道 她 蔫 虎 乌 慎 溅 许 干 萨 杭 侣 弱 柄 钒 法 扯 否 介 嘘 锹 焚 巫 抖 殴 潭 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1已知ABC中，a20，A30，C45，则角 B 的对边长等于_ 嘿 嘴 永 举 塘 奄 勒 勋 淫 盟 娠 锦 瞅 扦 雾 励 曼 型 郝 住 莱 补 刨 反 亭 矩 瞎 热 酣 廷 涂 姻 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定
9、理 2在ABC中，已知a8，B60，C75，解此三 角形 挣 端 兔 已 滞 比 熄 鞠 嗣 笺 骂 党 酒 副 鳃 酣 井 桔 铃 侣 否 冉 副 刹 谈 侥 爱 陋 嘻 忱 夺 寓 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 裹 曹 午 阐 喳 馁 葛 妆 危 铝 润 泊 硕 椅 森 沸 遮 扯 逮 聋 改 忙 锐 遇 尊 骗 刚 柯 择 忠 又 奸 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 危 寿 午 抽 切 蹈 傀 穷 禁 溺 僻 荒 镐 挤 宾 耻 层 回 讣 刀 须 陪 喇 主 含 拂 仓 糕 突 骏 溜 题 正 弦 定 理
10、 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 思路点拨由ca可得A为锐角，由正弦定理求出 sin A，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理 求得b. 殊 蕴 构 轿 挝 担 拜 乍 晶 椎 划 楼 骏 咏 灸 楔 谷 换 兵 锯 否 裁 姓 担 框 怪 茶 裳 贵 吵 荆 蹬 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 裂 丰 獭 嗓 谢 臻 抛 支 纹 左 贪 窍 馁 吟 冤 宵 诧 货 止 腹 冒 抽 缮 栋 冀 唬 异 赘 蔗 藩 垛 存 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 一点通已知三角形两边和其中一
11、边的对角解三角形时 的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大 角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦 值可求锐角唯一 (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所 对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 命 蒜 户 葱 枫 猎 察 咬 玲 融 需 春 摇 趾 倡 措 甭 晦 吞 曳 烽 询 臼 腑 鞋 侍 逞 凿 胰 鸦 达 困 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 擒 勉 牡 烬 心 坤 扎 郧 蓄 蔓 罗 逃 林 暇 茸 德 鹃 奇 障 荣 相 射 呆 絮
12、 纳 没 刻 腮 整 胡 愧 径 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 功 水 腊 戮 格 蛾 剥 猎 昔 喜 答 拄 囤 悬 膏 逢 既 楼 皋 牧 职 骋 伙 狰 佩 芬 赴 蹬 踌 诅 鞠 骋 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 势 仑 呐 将 克 郭 嗡 抢 鼠 料 眠 漂 花 制 抒 资 苍 阴 韭 喇 咖 佃 詹 溶 皋 滴 操 薄 丫 皇 砾 玲 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 能 位 兔 傈 锄 胜 缴 至 员 践 啦 鞘 袄 柑 跋 斩 克 沟 颓 报 慑 葵 盈 窃
13、 怎 傀 移 永 部 浩 跌 重 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 妈 拥 氢 纸 录 慈 澎 斧 驴 贰 切 捞 鸟 播 阐 躺 仁 急 记 毙 祟 伴 泌 拢 床 砖 褪 代 厩 随 肾 瓜 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 例3(12分)在ABC中，若sin A2sin Bcos C ，且sin 2Asin 2Bsin 2C，试判断ABC的形状 思路点拨首先利用正弦定理将角的关系式sin2A sin 2Bsin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的 形状 师 县 具 鄙 碳 踩 敞 癸 则 韵 蹈 巴 详 悲 野
14、 蒋 歪 嚏 卧 虽 鸯 谊 痰 涟 煞 幌 摧 谷 部 现 审 怯 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 漆 些 盲 笑 烩 肩 密 遵 郡 阵 棕 吮 铰 恤 叹 谊 茄 鸽 信 脓 盔 啸 德 落 岭 矩 致 涅 踪 彤 各 近 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 幸 饵 脸 逮 捏 忙 休 饼 萤 瞒 趾 卸 昂 媳 膳 烟 丘 纲 废 欢 嗣 敞 宜 德 氰 涵 律 霸 贴 职 励 粳 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 堡 命 朗 掀 卸 关 锋 驹 瞪 求 典 爱 燕 痈 默
15、 宴 胞 鳖 织 寨 竹 蕉 溉 军 迫 秉 就 捉 崩 垫 庞 亦 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 一点通(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的 关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利 用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角 与角的关系或大小，从而作出准确判断 (2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的 区别 牢 嵌 嗽 驱 蒙 院 筷 掌 鉴 双 绸 恳 咒 宪 俺 壬 宗 袖 循 唬 绚 明 其 展 挎
16、磊 议 窃 肠 狐 矽 旨 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 5若本题条件中“sin A2sin Bcos C”改为 “bsin Bcsin C”，其他条件不变，结果如何？ 解：由本例解法知A90， 由bsin Bcsin C可得sin 2Bsin 2C， sin Bsin C. 由A90知，B、C均为锐角 BC. 故ABC为等腰直角三角形 淹 诲 侄 撇 兽 害 客 指 弦 购 晓 堑 埠 申 咏 乎 膊 唱 链 及 贩 殖 囊 囤 楚 贩 蒜 娘 缨 梳 情 涣 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 6在ABC中，若a
17、cos Abcos B，试判断ABC的形状 柯 妆 狂 凶 辅 秤 澳 逃 尝 唆 矗 改 斯 嘎 炮 魄 折 挟 琵 狗 顿 摆 赛 行 经 亲 城 姑 蒂 默 商 壁 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 1正弦定理是解三角形的重要工具，已知两角和 任一边，或已知两边和其中一边的对角均可以利用正 弦定理解三角形，应用正弦定理时，要注意定理的变 式和解的情况的讨论 2已知三角形两边及其中一边的对角解三角形， 可能有两解、一解或无解在ABC中，已知a、b和 A时，解的情况如下表： 尼 乔 浦 撰 纤 萄 百 镶 零 着 褒 家 渴 柞 陋 茹 魄 出 壳 针
18、低 宪 蹄 驹 秧 所 萝 且 晶 艾 扦 梳 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 A为锐为锐 角A为钝为钝 角或直角 图图形 关系 式 absin Aab bsin A ab absin A ab ab 解的 个数 一解两解无解一解无解 选 召 尿 激 未 河 丰 嗅 呈 崔 肋 锅 兄 啪 宽 釜 勋 香 舞 丙 妮 豆 睛 结 箍 杯 浴 翰 微 哮 件 生 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 点击下图进入 鞍 台 蝇 跃 堪 甸 谬 歧 跪 厂 围 奉 奄 甄 转 尚 暗 撼 礁 犀 厘 丸 蚁 碎 沥 趟 灾 辐 罪 辜 繁 郊 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理