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1、最新 料推荐第二十一周抓“不变量”解题专题简析 ：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。例 1437将 61 的分子与分母同时加上某数后得9，求所加的这个数。解法一 ：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了7一各简单的分数问题： “一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的9 ，由此可求出新分数的分子和分母。 ”7分母：（ 61-43 ）（ 1） 8197分子： 819 6381-61 20 或 63-43 204
2、377解法二 ： 61的分母比分子多18， 9的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将9的分子、分母同时扩大（ 182=） 9 倍。79 的分子、分母应扩大： （ 61-43 ）（ 9-7 ） 9（倍） 约分后所得的7在约分前是：77 963999 981 所加的数是81-61 20答：所加的数是20。练习 1：9721、分数 181的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是5 ，那么减去的数是多少？132、分数 13的分子、分母同加上一个数后得5 ，那么同加的这个数是多少？3、35，那么加上的数是多少？的分子、分母加上同一个数并约分后得7195824、这个分数的分子、分母都减去同
3、一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？将 793例 2：将一个分数的分母减去41，则得22 得 ，如果将它的分母加上，求这个分数。534解法一 ：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2 得 5 ”可知，分母比分子5倍还多 2。由“分母加 1 得2”可知，分母比分子的3的3倍少 1，从而将原题转化成一个盈亏问题。423 5分子：（ 2+1）（ 2 4 ） =123分母： 122 -1 17解法二 ：两个新分数在未约分时，分子相同。1最新 料推荐2412412 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。 3 6 18， 5 15 原分数的分母是：18-1
4、 17 或 15+2 1712答：这个分数为 17 。练习 2：731、将一个分数的分母加上2 得 9，分母加上3 得4 。原来的分数是多少？342、将一个分数的分母加上2 得 4，分母加上2 得5 。原来的分数是多少？343、将一个分数的分母加上5 得 7，分母加上4 得9 。原来的分数是多少？574、将一个分数的分母减去9 得 8，分母减去6 得4 。原来的分数是多少？例 3：51在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于7。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于2 ，求原来的最简分数是多少。51017解法一 ：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即7
5、=14， 2=14 。根据题意，2 的倍数，所以分别想1072。所以两个新分数分子的差应为14和14 的分子和分母再乘以5102017147 14 28， 214 2817故原来的最简分数是。28解法二： 根据题意，两个新分数的和等于原分数的2 倍。所以511717（ 7+2） 2 28答：原来的最简分数是28 。练习 3：1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于5。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就81等于 2 ，求这个分数。62、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就71等于 3 ，求这个分数。7这个分数就等于33
6、、 一个分数， 在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，95求这个分数。例 4：73将一个分数的分母加3 得 9 ，分母加5 得4 。原分数是多少？721321解法一 ：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即927， 428 。根据题意，2最新 料推荐2121721423两个新分数的分母应相差2，而现在只相差 1，所以分别将 27和28 的分子和分母再同乘以 2。则 9 27 54，4214242 28 56 。所以，原分数的分母是（54 3） 51。原分数是 51 。解法二 ：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子
7、的94，因此，原，分母加 5 后是分子的734942分数的分子是（ 5 3）（ 37 ） 42。原分数的分母是42 7 9-3=51 ，原分数是 51 。练习 4：541、一个分数，将它的分母加5 得 6，加 8 得5 ，原来的分数是多少？（用两种方法）67。原来的分数是多少？（用两种方法做）2、将一个分数的分母减去；若将它的分母减去 5，则得3，约分后得 78353、把一个分数的分母减去2，约分后等于 4。如果给原分数的分母加上9，约分后等于 7 。求原分数。例 5：11有一个分数，如果分子加1，这个分数等于 2 ；如果分母加1，这个分数就等于 3 ，这个分数是多少？11根据“分子加 1，这
8、个分数等于 2 ”可知，分母比分子的2 倍多 2；根据“分母加1 这个分数就等于 3 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2 ）（ 3-2） =3 ，分母是 32+2=8。所以，这个分数是3。8练习 5：11，这个分数等于11、一个分数，如果分子加3，这个分数等于 2，如果分母加上3 ，这个分数是多少？112、一个分数，如果分子加5，这个分数等于 2，如果分母减3，这个分数等于 3，这个 分数是多少？111，这个分数等于13、一个分数，如果分子减1，这个分数等于2 ；如果分母加3 ，这个分数是多少？答案 ：练 11、412、173、 374、 16练 21、212、
9、123、124 、2025132341练 3925311、 162、423、 45练 460841651、 672、1013、222练 57791、 202、243、 16第二十二周特殊工程问题3最新 料推荐专题简析 ：有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。例 1：修一条路，甲队每天修8 小时， 5 天完成；乙队每天修10 小时， 6 天完成。两队合作，每天工作6 小时，几天可以完成？把前两个条件综合为“甲队40 小时完成”，后两个条件综合为“乙队60 小时完成”。则111 5 8 + 10
10、 6 6=4（天）1 1或 1 （ 5 8 + 10 6 ） 6=4 （天）答： 4 天可以完成。练习 1：1、修一条路，甲队每天修6 小时， 4 天可以完成；乙队每天修8 小时， 5 天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？2、一项工作，甲组 3人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组2 人和乙组 7 人合作，多少天可以完成？3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成， 用 4 辆马车 5 天可以运完， 用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、 3 辆马车和7 辆小板车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。
11、问：后两天需要多少辆小板车？例 2：有两个同样的仓库A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10 小时，乙需要12 小时，丙需要15 小时。甲和丙在A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”三人同时搬运了1112（ 10 + 12 + 15 ） =8（小时）丙帮甲搬了11（ 1- 10 8） 15 =3 （小时） 丙帮乙搬了8-3=5（小时）答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了5 小时。练习 2：1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己
12、任务的1，徒弟每小时加工自己任务的1。师、徒1015同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？2、 有两个同样的仓库A 和 B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要18 小时，乙需要 12 小时，丙需要9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的5，乙每小时加工12 个零件，甲单独加工这8批零件要12 小时，这批零件有多少个？例 3：一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作先由甲做了若
13、干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作由甲先做了几天？解法一 ：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。4最新 料推荐解：设甲做了 x 天，则乙做了（14-x ）天。11X=5x+（ 14-x ） =12012111解法二： 假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是12 14，比总工作量多了12 14-1= 6 ，乙每天的能够11111做量比甲每天的工作两哦了12 - 20= 30 ，因此甲做了 6 30 =5 （天）练习 3：1、 一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，
14、这样前后共用了 6 天，甲先做了几天？2、一项工程，甲队单独做需30 天完成，乙队单独做需40 天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？3、一项工程，甲独做要50 天，乙独做要75 天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40 天完成。求乙休息的天数。例 4：甲、乙两人合作加工一批零件，8 天可以完成。中途甲因事停工3 天，因此，两人共用了10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？解法一： 先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。17甲、乙同时做的工作量为8 （ 10- 3） 87 1 乙单
15、独做的工作量为 1 8 811乙的工作效率为8 3=24111甲的工作效率为824121甲单独做需要的天数为1 12 12（天）解法二： 从题中得知，由于甲停工3 天，致使甲、乙两人多做了（10-8= ） 2 天。由此可知，甲3 天的工作量相当于这批零件的2 8=1/43 （10-8 ） 8=12 （天）或3 8 （ 10-8 ） =12 （天）答：甲单独做需要12 天完成。练习 4：1、 甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假 5 天，因此共用 15 天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？2、一段布，可以做30 件上衣，也可做48 条裤子。如果先做20
16、件上衣后，还可以做多少条裤子？3、一项工程，甲、乙合作6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5 小时，因此，经过7.5 小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？4、一项工程，甲先单独做2 天，然后与乙合作7 天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？例 5：放满一个水池的水，如果同时开放号阀门，15 小时放满；如果同时开放号阀门，12 小时可以放满；如果同时开放号阀门，8 小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？11从整体入手， 比较条件中各个阀门出现的次数可知，号阀门各出现3 次，号阀门各出现2
17、次。如果 15 + 105最新 料推荐111+12 + 8 再加一个 8，则是五个阀门各放3 小时的总水量。1111111 （15 + 10 + 12 + 8 + 8 ） 3=1 2 3=6 （小时）练习 5：1、完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12 小时，甲、丙合作需10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？112、一项工程，甲干3 天，乙干5 天可以完成 2 ，甲干 5 天、乙干3 天可完成 3 。甲、乙合干需几天完成？3、完成一件工作，甲、乙两人合作需20 小时，乙、丙两人合作需28 小时，丙、丁两人合作需30 小时。甲、丁两人合作需几小时？4、一项工程，由一、二
18、、三小队合干需18 天完成，由二、三、四小队合干需15 天完成，由一、二、四小队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需20 天完成。由第一小队单独干需要多少天？答案：练 1111、1（ 4 6 + 8 5 ） 2 7.5 小时112、1（ 3 8 2+4 7 7） 3 天11113、（ 1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的1（ 3 4 2+4 5 5+20 6 7） 2 41（1 2） 15 辆（ 2）后两天需要小板车：420 6练 21、11） 10 2 小时2（ +10151112、2（ 18 + 12 + 9） 8 小时11甲帮乙：（ 1 128） 18 6 小时11甲帮丙：（ 1 9
19、 8） 182 小时5153、解法一： 12（ 8 12 ）（ 1 8） 240 个解法二： 12（ 8 5） 512 240 个练 31111、（ 4 6 1）（ 4 12） 3天111） 15 天2、甲：（ 1 4035）（3040乙： 35 15 20 天3、11 25 天40（ 140）5075练 41、5【 12（ 15 12）】 20 天2、48 48 30 20 16 条6最新 料推荐3、2.5 【 6（ 7.5 6）】 10 小 练 51111、1【（ 15 + 12 + 10） 2】 8 小 2、111【（ +）（ 3+5）】 9.6 天231113、1（ 20 + 3028
20、） 21 小 111114、 1【（ 18 + 15 + 12 + 20） 315 】 54 天第二十三周周期工程问题 析 ：周期工程 中，工作 工作人 （或物体）是按一定 序 流交替工作的。解答 ，首先要弄清一个循 周期的工作量，利用周期性 律，使貌似复 的 迅速地化 易。其次要注意最后不 一个周期的部分所需的工作 ， 才能正确解答。例 1：一 工程，甲 独做需要 12 小 ，乙 独做需要 18 小 。若甲做 1 小 后乙接替甲做 1 小 ，再由甲接替乙做 1 小 两人如此交替工作， 完成任 需共用多少小 ？把 2 小 的工作量看做一个循 ，先求出循 的次数。1136 需循 的次数 ：1（
21、12 + 18 ） = 5 7（次） 7 个循 后剩下的工作量是：1+111- （18） 7=1236111 余下的工作两 需甲做的 ：36 12 = 3（小 ）11 完成任 共用的 ： 27+3=14 3（小 ）1答：完成任 需共用143 小 。练习 1：1、一 工程，甲 独做要6小 完成，乙 独做要10 小 完成。如果按甲、乙；甲、乙 的 序交替工作，每次1 小 ，需要多少小 才能完成？2、一部 稿，甲 独打字要14 小 ，乙 独打字要20 小 。如果先由甲打1 小 ，然后由乙接替甲打 1 小 ；再由甲接替乙打1 小 两人如此交替工作，打完 部 稿共需用多少小 ？3、一 工作，甲 独完成要
22、9 小 ，乙 独完成要12 小 。如果按照甲、乙；甲、乙 的 序 流工作，每人每次工作1 小 ，完成 工程的2/3 共要多少 ？2例 2：一 工程，甲、乙合作263 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做， 交替 流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做， 第二天甲做， 交替 流做， 比上次 流做要多半天才能完成。 工程由甲 独做要多少天才能完成？由 意可以推出“甲先”的 流方式，完成 所用的天数 奇数，否 不 “甲先” 是“乙先”，两种 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的 流方式 奇数，两种 流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙 甲乙甲1甲乙甲乙甲 乙甲乙2 左 做的天数 偶数， 先做没关系。
23、右 可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的27最新 料推荐倍。221甲每天能做 工程的 1 26=31+2401甲 独做完成的 1 40 =40 （天）答： 工程由甲 独做需要40 天才能完成。练习 2：1、一 工程，乙 独做 20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做， 流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做， 流交替做，比上次 流做要多半天才能完成。 工程由甲独做几天可以完成？2、一 工程，甲 独做6 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做， 流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做， 流交替做，比上次 流做要多1天才能完成。 工程由甲、乙3
24、合作合作几天可以完成？33、一 工程，甲、乙合作小 可以完成。如果第一小 甲做，第二小 乙做， 流交替做，1251也恰好用整数小 完成。 如果第一小 乙做， 第二小 甲做， 流交替做， 比上次 流做要多3 小 才能完成。 工程由甲独做几小 可以完成？4、蓄水池有一跟 水管和一跟排水管。 开 水管 5 小 灌 一池水， 开排水管3 小 排完一池水。 在池内有半池水，如果按 水、排水； 水、排水 的 序 流依次各开1 小 ，多少小 后水池的水 好排完？8最新 料推荐例 3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做， 交替 流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做， 交替 流做，做到上次 流
25、完成 所用的天数后， 剩60 个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？由 意可以推出“甲先”的 流方式，完成 所用的天数 奇数，否 不 “甲先” 是“乙先” ，两种 流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的 流方式 奇数，两种 流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙 甲乙甲乙甲乙甲 乙甲乙剩 60 个 左 做的天数 偶数， 先做没关系。 右 可以看出，剩下的60 个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数 ：60（ 5-3 ） 5=150（个）乙每天做的个数 ：60（ 5-3 ） 3=90（个）答：甲每天做150 个，乙每天做90 个。练习 3：1、一批零件如果第一天 傅
26、做，第二天徒弟做， 交替 流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天 傅做， 交替 流做，做到上次 流完成 所用的天数后， 剩84 个不能完成。已知 、徒工作效率的比是7： 4。 、徒二人每天各做多少个？2、一 工程，如果第一天甲做，第二天乙做， 交替 流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第25二天甲做， 交替 流做要多5 天才能完成。如果 甲、乙二人合作，只需28 天就可以完成。 在，由乙独做需要几天才能完成？3、 星机械厂有1080 个零件需要加工。如果第一小 傅做，第二小 徒弟做， 交替 流，恰好整数小 可以完成。如果第一小 徒弟做，第二小 傅做， 交替 流，做到上次 流完成 所用
27、的天数后， 剩 60 个不能完成。 如果 、 徒二人合作， 只需 3 小 36 分就能完成。 、徒每小 各能完成多少个？9最新 料推荐例 4：打印一部稿件，甲 独打要12 小 完成，乙 独打要15 小 完成。 在，甲、乙两人 流工作。甲工作1小 ，乙工作2 小 ；甲工作2 小 ，乙工作 1 小 ；甲工作 1 小 ，乙工作 2 小 如此 交替下去，打印 部 稿共要多少小 ？根据已知条件，我 可以把6 小 的工作 看做一个循 。在每一个循 中，甲、乙都工作了3 小 。每循 一次，他 共完成全部工程的（119+） 320121592 工作量里包含几个 9/20： 120 =2 991甲、乙工作两个循
28、 后，剩下全工程的1- 20 2 1011111由于 10 12，所以，求甲工作 1 小 后剩下的工作由乙完成 需的 （10 - 12 ） 151 41=131打印 部稿件共需的 ： 6 2+1+（小 ）441答：打印 部稿件共需134 小 。练习 4：1、一个水池安装了甲、乙两根 水管。 开甲管，24 分 能包空池灌 ； 开乙管，18分 能把空池灌 。 在，甲、乙两管 流开放，按照甲1 分 ，乙 2 分 ，甲2 分 ，乙 1 分 ，甲 1 分 ，乙 2 分 如此交替下去，灌 一池水共需几分 ？2、一件工作，甲 独做，需12 小 完成；乙 独做需15 小 完成。 在，甲、乙两人 流工作，甲工作 2 小 ，乙工作 1 小 ；甲工作1 小 ，乙工作2 小 ；