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1、.圆锥摆模型全透视一 . 圆锥摆模型1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力 FT 。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力Fn ，如图 1 所示。二 . 常规讨论图 11. 向心力和向心加速度设摆球的质量为m，摆线长为 l ，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为v ，角速度为，周期为 T ，频率为 f 。Fnman mg tanmv 2l sinm2lsinm 2)l sin2(m(2 f ) l sinTa ng tanv 22 l sinl sin(2) 2 l s
2、in( 2 f ) 2 l sinT2. 摆线的拉力有 两 种 基 本 思 路 ： 当角 已 知 时FTmg ； 当角 未 知 时cosFTFnm2l(22l2lsinT)m(2 f )3.周期的计算设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有Tl cosh，由此可知高22gg度相同的圆锥摆周期相同与m、l无关。4. 动态分析根据 mg tanml 2 si n有 cosg，当角速度增大时，向心力增大，回旋半l径增大，周期变小。三 . 典型实例【例 1】将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2 所示，求圆周
3、平面距碗底的高度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？.图 2.【解析】本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。mg tanmR2sin， 故cosg， 圆 周 平 面 距 碗 底 的 高 度 为2 Rh RR cosRg。若角速度增大，则有增大，高度 h 变大，回旋半径变大，向2心力变大。【点评】本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。【例 2】 一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度 做匀速转动，在圆锥筒内壁的 A 处有一质量为 m 的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图 3 所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高
4、度，回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg、 FN 作用，向心力mg cotm2 r ，角速度增大时，由图 3于角度不变，故向心力不变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变，本题动态分析的结论和例1 相反。例 3. 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60 ，如图 4 所示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为m 的小球，小球以速率v 绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（ 1）当 v1 gL 时，绳上的拉力多大？6（ 2）当
5、 v3时，绳上的拉力多大？gL2解析：当小球刚好对圆锥没有压力时图 42mg tan 30v0mL sin 30求得小球的线速度3gLv 06（ 1）当 v1v0，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5 所示，用正交分解gL6法解题，在竖直方向FT cos30FN sin 30mg在水平方向v2FT sin 30FN cos30mL sin30解得 FT1033.mg图 5.（ 2）当 vgL v0 ，小球做圆锥摆运动， 且30 ，设此时绳与竖直方向的夹角为，2则有mg tanv2mL sin解得60因此 FTmg2mgcos60点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界条件，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为v0 。当 vv0 时，小球做圆锥摆运动，vv0时，小球不做圆锥摆运动。.