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1、.函数对称性和周期性的几个重要结论【中图分类号】 G632 【文献标识码】 A 【文章编号】2095-3089（ 2015） 15-00-03函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质，而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中，在我们的日常生活中也能经常遇见，而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决，对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。一、函数的对称性（一）函数对称性的
2、定义函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称（中心对称或轴对称） ，图像是其本身；互对称是指两个函数图像上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称） 。函数对称还有轴对称和点对称。（二）函数自对称的相关结论结论 1：函数的图像关于点A （ a，b）对称的充要条件.是。上述关系式也可以写成或。简证：设点在上，即，通过可知， ，所以，所以点也在上，而点与关于点对称。得证。特别地：函数的图像关于原点（0， 0）对称的充要条件是 f （x ）+f （ -x） =0。即： a=b=0推论 1：如果函数满足，则函数的图象关于点对称推论 2：若，即：，则的图像关于点对称。推论 3：
3、若，则的图像关于点对称。 （注：当 a=b=c=0 时，函数为奇函数。 ）证明：在函数上任取一点，则。点关于点（， ）的对称点为（， c-），当时，即点（， c-）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知，函数的图象关于点（，）对称。结论 2：函数的图像关于直线x=a 对称的充要条件是或或。（即：可以改写成或。 ）特别地：函数的图像关于y 轴（ x=0 ）对称的充要条件是 f （x ）=f （ -x）。即： a=0。推论：函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。（注：当 a=b=0 时，该函数为偶函数。 ）注：假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定
4、义，故函数自身不可能.关于对称。但在曲线 c（ x， y） =0，则有可能会出现关于对称。比如：圆它会关于 y=0 对称。（三）函数互对称的相关结论结论 1.函数与关于 x 轴对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。结论 2.函数与关于y 轴对称。换种说法： 函数与若满足，则它们关于对称。结论 3.函数与的图像关于直线x=y 成轴对称图形。结论 4.函数与的图像关于直线x=a 成轴对称。换种说法：函数与若满足，则它们关于对称。结论 5.函数与关于直线对称。换种说法：与若满足，则它们关于对称。结论 6.函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于直线对称点（， ）。由于，
5、故点（， ）在函数上。由点是函数图象上任一点，因此与关于直线对称。结论 7.函数与函数的图像关于直线对称。结论 8.函数与关于直线对称。结论 9.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则函数它们关于点对称 .结论 10.函数与的图象关于点对称。换种说法，函数与若满足，则它们关于点对称 .结论 11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法，函数与函数若满足，则它们的图像关于点对称。结论 12.函数与的图像关于点 A（ a，b）成中心对称。换种说法：与若满足，则它们关于点（ a， b）对称。下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解：结论 13.曲线与曲线关于直线对称。结论 14.
6、曲线与曲线关于直线对称。结论 15.曲线与曲线关于直线对称。结论 16.曲线与曲线关于点对称。二、函数的周期性（一）周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数， 不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。（二）周期性的相关结论结论 1：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周期为 2T。证明：函数的一个周期为2T。结论 2：对于非零常数T，若函数，则函数必有一个周.期为 2T。结论 3：对于非零常数 T，若函数满足，则函数必有一个周期为 2T。结论 4：对于
7、非零常数 T，若函数满足或，则函数的一个周期为 2T。结论： 5：若函数满足（） ，则是以为一个周期的周期函数。结论： 6：函数对任意实数，都有（） ，则 4T 是 f （ x）的一个周期 .三、函数对称性和周期性的联系（一）奇偶函数对称性和周期性的联系1.如果奇函数满足（ a0）（即关于 x=a 成轴对称），则函数是以 4a 为周期的周期函数。2.如果偶函数满足（a0）（即关于直线x=a 成轴对称），则函数是以2a 为周期的周期函数。3.如果奇函数满足，则可以推出其周期为2T，且可以推出对称轴为；又根据可以找出其对称中心为（以上）。4.如果偶函数满足，则亦可以推出周期为2T，且对称中心为；又
8、根据可以推出对称轴为（以上）。（二）其它函数对称性和周期性的联系1.如果函数同时关于直线x=a 和 x=b 对称，即函数满足且（其中）同时成立，则可推出函数是以2|a-b|为周期的周期函数。.因为有：。2.若函数关于直线x=a 成轴对称，同时关于点成中心对称，即在 R 上同时满足，且（其中） ，则函数是以4|a-b|为周期的周期函数。3.若函数在 R 上有两个对称中心点（ a， c）和（ b， c），即函数在 R 上满足，且（其中） ，则函数是以 2|a-b|为周期的周期函数。特别地：若的图像有两个对称中心和（），即函数在R上满足，且（其中） ，则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。以上三个
9、结论可归纳出以下总结：如果函数在定义域内有两条垂直于x 轴的对称轴或纵坐标相等的两个对称中心点或一条垂直于x 轴的对称轴和一个对称中心点，则该函数一定是周期函数。（三）运用以上总结时应注意的两点：1.以上归纳出的结论一不小心就容易简化为： “若一个函数有两个对称性（不管是轴对称还是中心对称） ，则它一定为周期函数。 ”如果有一个判断题是如此讲述，那就是大错特错，函数有两条对称轴，不一定就具有周期性，除非加上这两条对称轴都垂直于x 轴，也就是形如x=a 这样的对称轴；一个函数有两个对称点，那也不一定就具有周期性，除非这两个对称.点的纵坐标都相等。 有一个最简单不过的例子就是函数y=x ，如图：很
10、容易知道，图象上的每一个点都是函数的对称点，显然，该函数没有周期性。该图象的任何一条法线（即垂直于y=x 的直线）都是函数的对称轴，该函数没有周期性。这是我们在理解对称性与周期性时需要注意的。2.注意变化后的对称性和周期性条件永远把握住“同号看周期，异号看对称”这一句话，结合前面的结论， 便可以解决这一类问题。只要题目当中给出，那基本上都是间接告诉你该函数的周期；若给出，那基本上也是间接告诉你函数对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简，使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在与中的x 同时加上 |a-b|，多化简几步，自然就能化简出来。如：函数对任意 x 满足。这条件是同号的，
11、和周期有关。我们对括号里同时加上 |2-0|=2 得到：，将带入化简得到： ，还是没有得到我们想要的结果，那就进一步对括号里的同时加上 |4-0|=4，得到：。说明该函数是以8 为周期的周期函数。又如：函数对任意，满足。这条件是异号的，和对称有关。直接可得到函数是关于x=3 对称的对称性函数。又如：函数满足。这条件是异号的，和对称有关。可得到函数是关于点（1，0）（即：关于（，0）对称的对称性.函数。四、函数对称性和周期性的应用举例1.设函数在（，）上满足，且在闭区间 0 ，7 上，只有。（ 1）试判断函数的奇偶性；（ 2）试求方程在闭区间 -2005 ， 2005 上的根的个数，并证明你的结
12、论。解：（ 1）由，得函数的对称轴为， 。由前面的知识可知函数的一个周期为 2|a-b|，即： T=10 。因为函数在 0 ， 7上只有，可知，又而且，则可得， 。因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。（ 2）由，可得，故函数在 0，10和 -10 ，0 上均有两个解（ 1，3 和 -7，-9）满足；从而可知函数在 0 ，2005 上有 402个解，在 -2005 ，0上有 400 个解。所以，函数在 -2005 ，2005上共有 802 个解。2.定义在 R 上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（）（ A ）是偶函数，也是周期函数（ B ）是偶函数，但不是周期函数（ C）是奇函数，也是周期函数.（ D ）是奇函数，但不是周期函数解：为偶函数，。又有。有两条对称轴 x=5 与 x=10 ，因此是以 2|10-5|=10为一个周期的周期函数，x=0 ，即 y 轴也是的一个对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A ）。3.已知函数是定义在上的周期函数，周期T=5 ，函数是奇函数。又知在 0 ，1上是一次函数， 在 1，4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值-5.（ 1）求证：；（ 2）求的解析式；（ 3）求在 4 ，9 上的解析式。.