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1、第四讲 线性方程组一、线性方程组1. 基本概念线性方程组 由线性函数方程构成的方程组，其一般形式为 （4.1）非齐次线性方程组 不全为零齐次线性方程组 全为零线性方程组的解（解向量） 线性方程组的初等变换 1）互换两个方程的位置；2）用一个不为零的数乘某个方程；3）将某个方程的倍数加到另一个方程. P53系数矩阵增广矩阵2. 线性方程组的几种表示方法(1)代数形式 （4.1）(2)矩阵形式 (3)向量形式 3. 基本结论定理1（P68） 线性方程组经初等变换得到的是同解方程组.一般地，有 （*）据此，若，则方程组有解，否则方程组无解.定理2（P69 定理4.1） 线性方程组有解.* 显然，定理
2、表明：若，则无解.定理3（P69 定理4.2） 若元线性方程组有解, 则当系数矩阵的秩时有唯一解, 当时有无穷多个解.当时，（*）式为得同解方程组，所以.当时，（*）式为得同解方程组，所以，称为自由变量，称为固定变量.二、齐次线性方程组齐次线性方程组总有解* 齐次线性方程组总有零解定理1（P70 定理4.3） 齐次线性方程组有非零解的充要条件是.（定理4.3实质上是定理4.2的推论）记解集合.解的性质：1)如果，那么；2)如果为任意常数，那么.推论 齐次线性方程组的一些解的线性组合仍然是它的解. P70推论 是线性空间.齐次线性方程组的基础解系 解空间中的极大线性无关组定理2（P71 定理4.
3、5） 对于元齐次线性方程组, 若, 则它有基础解系, 且其中含有个解向量.这是因为当时，有同解方程组，而令分别等于维标准单位向量，并解出，则由此得到的个解即为的一个基础解系.齐次线性方程组的通解为, 是任意常数其中是的一个基础解系.例1（P72 例4.3）例2（P72 例4.5）三、非齐次线性方程组导出组 称为的导出组记解集合(非线性空间)解的性质：1)如果，那么；2)如果，那么；3)如果，那么的任一解都可以表示为,其中.非齐次线性方程组的通解（定理4.7）为, 是任意常数其中是的一个解(称为特解)，是的一个基础解系.例1（P75 例4.6）例2（P75 例4.7）四、习题解答1. P78 3
4、.提示: 2. P78 4. 5. P79 2.提示：方法一 运用Cramer法则令系数行列式=0. 方法二 同P76 例4.73. P78 6.提示：初等变换法4. P78 7.提示：是解，且，所以也是基础解系.5. P79 9.提示： 是解是基础解系，通解为是任意实数.6. P79 10.提示： 的各列都是解7. P79 3.提示：(1) 时，; (2) 时，；时，.8. P79 4.提示：是齐次方程组的一个基础解系附：9. P79 5.提示: 的各列都是解10. P79 6.提示: 构造矩阵, 使得的列向量组里含有的基础解系, 那么, 且是矩阵11. P79 7.提示：可视为特解，是导出
5、组的解. 另，所以通解为是任意实数12. P80 8.提示：故的通解为 .12. P80 10.提示：五、知识展开1. 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组(A)当时仅有零解； (B)当必有非零解；(C)当时仅有零解； (D)当时必有非零解. （2002 数三）提示：是矩阵2. 设是矩阵，是的导出组，则下列结论正确的是(A)若仅有零解，则有唯一解；(B)若有非零解，则有无穷多个解；(C)若有无穷多个解，则仅有零解；(D)若有无穷多个解，则有非零解.提示：由(A)、(B)推不出；由(C)、(D)可推出，故选(D).3. 非齐次线性方程组中未知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则(A) 当时, 则有
6、解； (B) 当时, 则有唯一解；(C) 当时, 则有唯一解； (D) 当时, 则有无穷多个解. （1997 数四）提示：由(B)、(C)、(D)推不出，而由(A)可推出，故选(A).4. 设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次方程组的互不相等的解，则对应的齐次方程组的基础解系（A）不存在； （B）仅含一个非零解向量；（C）含有两个线性无关的解向量； （D）含有三个线性无关的解向量.提示：，是非齐次方程组的互不相等的解从而仅含一个非零解向量，故选（D）.5. 设是实正交矩阵, 且, 则线性方程组的解是.提示：设 则由另因，得. 所以是解.6. 已知齐次线性方程组 和 同解，求的值. （2005 数四）
7、提示：因为同解，且，所以. 由此必有.解出的一个基础解系：，代入中得当时，表明同解.当时，表明不可能同解.7. 已知四元齐次线性方程组和另一个四元齐次线性方程组的一个基础解系，(1)求方程组的一个基础解系；(2)当为何值时，方程组有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解. （2002 数四）提示：(1) 的一个基础解系为(2) 设方程组有非零公共解，于是将的通解代入中，得当时，则无非零公共解；当时，任意，故此时有非零公共解，且全部非零公共解为，为不全为零的任意实数8. 已知三阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解. （2005 数一）提示：不全为零. 又,
8、所以.(1)若, 这时是方程组的一个基础解系，于是通解为(是任意实数).(2)若.而，这时是方程组的一个基础解系，于是通解为, 是任意实数.而, 这时的列向量不能构成方程组的一个基础解系. 由是方程组的一个基础解系，于是通解为, 是任意实数.9. 已知向量组与向量组具有相同的秩, 且可由线性表示, 求的值. (2000 数二） (答案: )提示：因可由线性表示, 故 即.因为，故.10. 设是实方阵，证明：线性方程组与是同解方程组. （2000数三）提示：显然的解是的解；反之，若是的解，则，故也是的解.11. 设向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，即. 证明: 向量组线性无关.提示：方法一向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，可知线性无关. 令即 , 故向量组线性无关.方法二向量组是齐次线性方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，可知线性无关. 另有而可逆，故线性无关.12. 设是阶矩阵，是列维向量，若秩，则线性方程组(A)必有无穷多个解； (B) 必有唯一解；(C)仅有零解；(D) 必有非零解. （2001 数三）提示： , , 故选(D).13. 设, 其中是的转置, 求解方程.提示：