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1、,名校名师推荐 ,课时训练 02分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用( 限时： 10 分钟 )1由 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成无重复数字的五位数中，小于50 000 的偶数有 ()A 60 个 B 48 个C 36 个 D 24 个解析： 分两类：第一类，末位数字为2，依次确定万位、千位、百位、十位上的选择方法，可得N13321 18( 个 ) N23321 18( 个 ) 第二类，末位数字为4，同第一类办法，可得所以，满足题目条件的数共有N N N 36( 个 ) 12答案： C2如图所示，一环形花坛分成A，B， C，D四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花
2、，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为()A 96 B 84C 60 D 48解析：按 A，B，C，D的顺序种花， 分两类： A，C种同一种花， 共有： 433 36( 种 ) ；A， C种不同种花，共有 4322 48( 种 ) ，共计 36 48 84( 种 ) 答案： B3如图，四边形中，若把顶点， ，D染上红、黄、绿三种颜色中的一种，ABCDABC使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有_ 种解析： 不妨从点 A 涂起，则 A， C可同色，也可不同色，故可分两类，第一类，若， 同色，涂A有 3 种方法，涂B有 2 种方法，涂D有 2 种方法，共计 322A C12( 种
3、) 方法；第二类，若，C不同色，涂A有 3 种方法，涂C有 2 种方法，涂B有 1 种方法，涂DA有 1 种方法，共计 3211 6( 种 ) 方法所以不同的染色方法共有12 618( 种 ) 答案： 184如图，要给地图上 A，B，C， D四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有_ 种解析： 按地图 A， B， C，D四个区域依次分四步完成，1,名校名师推荐 ,第一步涂 A，有 3 种涂色方法；第二步涂 B，有 2 种涂色方法；第三步涂 C，有 1 种涂色方法；第四步涂 D，有 1 种涂色方法所以根据分步乘法计数原理，得
4、到不同的涂色方案共有N3211 6( 种 ) 答案： 65将数字7,8,9与符号“”“”五个字符都填入下列表格的五个空格中，任意两个数字都不相邻，共有多少种不同的填法？12345解析：根据题意，分两步进行，第一步，填数字：数字只能填在1,3,5的位置，共有 321 6( 种 ) 方法；第二步，填符号，只能填在2,4 的位置，共有 21 2( 种) 方法，所以共有 N 62 12( 种 ) 不同的填法( 限时： 30 分钟 )一、选择题1甲、乙两人从 4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有()A 6 种B 12 种C 24 种 D 30 种解析： 分步完成首先甲、乙
5、两人从4 门课程中同选1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的 3 门课程中任选1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的2 门课程中任选1 门，有 2 种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法共有432 24( 种) 答案： C2现有 6 名同学去听同时进行的5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 ()A 56B65565432D 65432C.2解析： 要完成选择听讲座这件事，需要分六步完成，即6 名同学逐个选择要听的讲座，因为每名同学均有5 种讲座可选择， 由分步乘法计数原理，6 位同学共有 555555 56 种不同的选法答案： A3从 0,2 中
6、选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A 24B 18C 12D 6解析： (1) 当从 0,2 中选取 2 时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，只要2 不排在个位即可，先排2 再排 1,3,5中选出的两个奇数，共有232 12( 个) (2) 当从 0,2 中选取 0 时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0 必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数共有32 6( 个 ) 综上，由分类加法计数原理知共有12 6 18( 个 ) 答案： B4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4 种蔬菜品种中选出3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，
7、不同的种植方法有()A 24 种 B 18 种C 12 种 D 6 种解析： 方法一： ( 直接法 ) 若黄瓜种在第一块土地上，则有321 6 种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有321 6 种不同的种植方法故不同的2,名校名师推荐 ,种植方法共有63 18 种方法二： ( 间接法 ) 从 4 种蔬菜中选出3 种种在三块地上，有 432 24 种方法， 其中不种黄瓜有321 6 种方法，故共有不同的种植方法24 6 18 种答案： B5如图所示，用不同的五种颜色分别为A， B，C， D， E 五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色， 但同一种颜色可以反复使用，也可不使用， 则符
8、合这些要求的不同着色的方法共有 ()A.500 种B 520 种C 540 种 D 560 种解析：按照分步计数原理， 先为 A 着色共有 5 种，再为 B 着色共有 4 种 ( 不能与 A 相同 ) ，接着为 C着色有 3 种( 不与 A，B相同 ) ，同理依次为D，E 着色各有 3 种，所以不同着色的方法共有 N5433 540( 种 ) 答案： C二、填空题6湖北省 ( 鄂 ) 分别与湖南 ( 湘 ) 、安徽 ( 皖 ) 、陕西 ( 陕 ) 三省交界 ( 如图 ) ，且湘、皖、陕互不交界， 在地图上分别给各省地域涂色， 要求相邻省涂不同色， 现有五种不同颜色可供选用，则不同的涂色方法有_
9、种解析：由题意知本题是一个分步乘法计数问题，首先涂陕西， 有 5 种结果，再涂湖北省，有 4 种结果，第二步涂安徽，有4 种结果，再涂湖南有4 种，即 5444 320.答案： 3207某城市在中心广场建造了一个花园，花园分为6 个部分 ( 如图所示 ) ，现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种( 用数字作答 ) 解析： 根据 6 个部分的对称性，按同色、不同色进行分类：(1)4,6同色， 1 有四种颜色可选，5 有三种颜色可选，4 有两种颜色可选，2 有两种颜色可选， 3 只有一种颜色可选，共有43221 48( 种 ) (2)4,6不
10、同色， 1 有四种颜色可选，5 有三种颜色可选，4 有两种颜色可选，6 有一种颜色可选， 若 2 与 4 同色，则 3 有两种，若 2 与 4 不同色，则 3 有一种，共有 4321(2 1) 72( 种 ) 故共有 120 种不同的栽种方法答案： 120三、解答题8从 1 到 200 的自然数中，各个数位上都不含有数字8 的自然数有多少个？解析： 从整体看需分类完成，用分类计数原理从局部看需分步完成，用分步计数原理第一类：一位数中除8 外符合要求的有8 个 (0 除外 ) ；第二类：两位数中，十位上数字除0 和 8 外有 8 种情况， 而个位数字除8 外，有 9 种情3,名校名师推荐 ,况共
11、有 (8 9) 个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是1 的，十位和个位上数字除8 外均有 9 种情况， 共有(9 9) 种而百位数字上是2 的只有 200 符合所以总共有88999 1 162( 个 ) 9某人有 4 种颜色的灯泡 ( 每种颜色的灯泡足够多 ) ，要在如图所示的 6 个点 A，B， C，A1，B1， C1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？解析： 第一步，在点A1， B1， C1 上安装灯泡， A1 有 4 种方法，B 有 3 种方法， C 有 2 种方法，共有432 24( 种 ) 方法11第二步，从 A，
12、B， C中选一个点安装第4 种颜色的灯泡，有3 种方法第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3 种方法，由分步乘法计数原理可得，共有43233 216( 种 ) 方法10已知集合 a， ， ，集合 1,0,1 Ab cB(1) 从集合 A 到 B 能构造多少个不同的映射？(2) 满足 f ( a) f ( b) f ( c) 0 的映射有多少个？解析： (1) 每个元素a， b， c 都可以有3 个象和它对应，故从A 到 B 能构造 33327 个不同的映射(2) 列表如下：f ( a)00011 1 1f ( b)0110 110f ( c)0 11 1001从表中可知满足f ( a) f ( b) f ( c) 0 的映射有7 个11用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色.1 42 3(1) 共有多少种不同的涂色方法？(2) 若要求相邻 ( 有公共边 ) 的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解析： (1) 由于 1 至 4 号区域各有5 种不同的涂法，故依分步计数原理知，不同的涂色方法有 54 625( 种 ) (2) 第一类： 1 号区域与3 号区域同色时，有5414 80( 种 ) 涂法；第二类： 1 号区域与3 号区域异色时，有5433 180( 种 ) 涂法依据分类计数原理知，不同的涂色方法有80 180 260( 种 ).4