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1、名校名 推荐三年级数阵图 ( 一)在神奇的数学王国中， 有一类非常有趣的数学问题， 它变化多端， 引人入胜， 奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，19 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。上面两个图就是数阵图。 准确地说，
2、 数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例 1 把 1 5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解： 中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加
3、了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于 9，所以(1+2+3+4+5)+ 重叠数 =9+9，重叠数 =(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了( 见右上图 ) 。1名校名 推荐例 2 把 1 5 这五个数填入下页左上图中的里( 已填入 5) ，使两条直线上的三个数之和相等。分析与解： 与例 1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于(1+2+3+4+5)+5 2=10
4、。因此，两条直线上另两个数( 非“重叠数” ) 的和等于10-5=5 。在剩下的四个数1， 2 ，3， 4 中，只有1+4=2+ 3=5 。故有右上图的填法。例 3 把 1 5 这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。分析与解： 例 1 是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2 是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例 2 的分析知道，(1+2+3+4+5)+ 重叠数=每条直线上三数之和2，所以，每条直线上三数之和等于(15+ 重叠数 ) 2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1， 3 或 5。若“重叠数” =1，则
5、两条直线上三数之和为(15+1) 2=8。填法见左下图；若“重叠数” =3，则两条直线上三数之和为(15+3) 2=9。填法见下中图；若“重叠数” =5，则两条直线上三数之和为2名校名 推荐(15+5) 2=10。填法 右下 。由以上几例看出，求出重叠数是解决数 的关 。 了 一步学会掌握 种解 方法，我 再看两例。例 4 将 1 7 七个自然数填入左下 的七个内，使得每条 上的三个数之和都等于10。分析与解： 与例 1 似，知道每条 上的三数之和，但不知道重叠数。因 有3 条 ，所以中 的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+ +7)+ 重叠数 2=103。由此得出重叠数 10 3-(1+2+
6、 +7) 2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9 的有 2， 7；3， 6； 4， 5。可得右上 的填法。如果把例4 中“每条 上的三个数之和都等于10”改 “每条 上的三个数之和都相等”，其他不 ，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎 填？例 5 将 10 20 填入左下 的内，其中 15 已填好， 使得每条 上的三个数字之和都相等。解： 与例 2 似，中 内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条 上的三个数字之和等于(10+11+ +20)+15 4 5=45。3名校名 推荐剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的有 10， 20； 11， 19； 12， 18； 13， 1
7、7；14， 16。于是得到右上图的填法。例 15 都具有中心数是重叠数，并且每边的数字之和都相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例4 的图中有三条边，每边有三个数，称为辐射型3 3 图；例 5 有五条边每边有三个数，称为辐射型5 3 图。一般地，有m条边，每边有n 个数的形如下图的图形称为辐射型m n 图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数” -1 ，即 m-1。对于辐射型数阵图，有已知各数之和 +重叠数重叠次数=直线上各数之和直线条数。由此得到：(1) 若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于( 直线上各数之和直线条数- 已知各数之和 ) 重叠次数。如例 1、例 4。(2) 若已
8、知重叠数，则直线上各数之和等于 ( 已知各数之和 +重叠数重叠次数 ) 直线条数。如例 2、例 5。(3) 若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3。练习1. 将 1 7 这七个数分别填入左下图中的里，使每条直线上的三个数之和都等于12。如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？4名校名 推荐2. 将 1 9 这九个数分别填入右上图中的里( 其中 9 已填好 ) ，使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5，那么又该如何填？3. 将 1 9 这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。( 至少找出两种本质上不同的填法)4. 将 3 9 这七个数分别填入左下图的里，使每条直线上的三个数之和等于20。5. 将 1 11 这十一个数分别填入右上图的里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。6. 将 1 7 这七个数分别填入下图的里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。5