《高三数学教案：由递推关系求通项公式的类型与方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学教案：由递推关系求通项公式的类型与方法.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、由递推关系求通项公式的类型与方法递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008 年高考数学 19 份理科试卷，共19 道数列部分的解答题，其中有17 道涉及递推数列， （福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。 不能不感受到高考数学试题中“递推” 之风的强劲。 为此本文主要以2008年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。一、递推关系形如： an 1anf (n) 的数列利用迭加或迭代法得：ana1f (1)f (2) Lf (n1) ，（ n2）例 1（ 08 天津文 20）在
2、数列 a 中，a1，a22 ，且 an 1(1q) aqa（n 2, q 0）n1nn 1（）设 bn an 1 an （ nN *），证明 bn 是等比数列；（）求数列 an 的通项公式；（）略（）证明：由题设an 1(1q) anqan 1 （ n2 ），得an 1anq(anan 1 ) ，即 bnqbn 1 ， n2又 b1a2a11 ， q0 ，所以 bn 是首项为 1，公比为 q 的等比数列（）解法：由（）a2a11， a3a2q ，an a1 ( a2 a1) (a3 a2 ) L (an an 1) 1 1 q q2 L qn 2 ，（ n2 ）1 qn 1所以当 n2 时，
3、an11 q,q1,1 显然成立上式对 nn,q1.二、递推关系形如：an 1an f (n) 的数列利用迭乘或迭代法可得：ana1 f (1)f (2) L f (n1) ，（ n 2 ）例 2 （2008天津理22）在数列an 与 bn 中， a11,b14 ，数列 an的前 n 项和 Sn 满足 nSn 1n3 Sn0 , 2an 1 为 bn 与 bn1 的等比中项， nN * .（）求 a2 ,b2 的值；（）求数列a n与 bn 的通项公式；解：（）易得 a23 ， b29 （）由题设nSn 1( n 3) Sn第- 1 -页共 6页（ n 2 ）时 (n 1)Sn (n 2) S
4、n 1 式减去式，整理得nan 1(n 2)an ，即 an 1n 2， n2所以annn 3 时， anan an 1a3a2n1nn 143n(n 1)an 1 an2a2n1n 2 n 322n(n1)此式对 n1,2也成立an2由题设有 bn 1bn4an 12 ，所以 bn1bn (n2) 2 (n1)2 ，即bnbn11， nN *( n1)2(n2) 2令 xnbn，则 xn xn 11，即 xn 111 得 xn1， n1所以bn1，(n1)2由 x1(n 1)2xn即 bn (n1)2，n1三、递推关系形如：an 1panq （ p,q 为常数且 p1 ， q0 ）的数列（线
5、性递推关系）利用不动点求出xpxq 的根 xpq ，递推关系可化为an1q1p( anq) ，1pp1利用等比数列求出anq的表达式，进而求出anp1例 3（ 2008 安徽文21）设数列 an满足 a1a, an1can 1 c, cN * , 其中 a, c 为实数，且c 0（）求数列an 的通项公式解 ：Q an 1can1 c, c N * ,an1 1 c(an1)当 a1时，an1 是首项为 a1，公比为 c 的等比数列。 an 1(a 1)cn 1 ，即 an( a1)cn 11 。当 a 1时， an1仍满足上式。数列an的通项公式为an(a1)cn 11 (nN * ) 。四
6、、递推关系形如：an 1pananb （ p ,a 为常数且p 1, p 0 ， a 0）的数列令 an 1 x(n 1)yp( anxny) 与 an 1pananb 比较解出系数x，y 构造等比数列第- 2 -页共 6页例 4（ 08湖 北 理 21） 已 知 数 列 an 和 bn满 足 a1,2n其中为实数， n 为正整数，求数列 an 、 bnan 13ann4,bn( 1) (an3n21),的通项公式（稍加改编）解： Q an 12an n4,令 an1 x(n1)2anxny , 整理后与式比较3y31 x12对 应 项 系 数 得3x3, y21an 13(n1)2121 ,
7、1an 3nx43y32n 12n 1an3n21 （ a1318,21)33an 3n 212183n 1n 1, bn2183五、递推关系形如： an 1panqn 的数列（ p、 q 为常数且 q 0 ）常化为 an 1p an1，利用第三种类型求出an 后解出 an ；qn 1q qnqqn例 5 （2008 四川理 20 ）设数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 ban 2nb 1 Sn（）证明：当b 2时，ann2n 1是等比数列；（）求an 的通项公式解：由题意知a12 ，且ban2nb 1 Snban 12n 1b 1 Sn 1两式相减得 b an 1an 2nb1 an 1
8、即 an 1 ban2n（）略（）当 b2时，由（）知ann 2n12n 1 ，即 an n 1 2n 1当 b2an1ban1时，由得22n22n1第- 3 -页共 6页因此an 11ban1)an1（11bn 12n 1b 2 2(nb 22nb 2）( )2b 2 2得 an212n2 2b bn 1n 1b六、 推关系形如：an1 anpan 1an （ p 常数且 p0 ）的数列可化 11= p 求出1的表达式，再求 ananan1an例 6（ 2008 年山 理 19）将数列 an 中的所有 按每一行比上一行多一 的 排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10 表中的
9、第一列数a1， a2， a4， a7，L构成的数列 bn，b1a11 Sn 数列 bn的前 n 和，且 足2bn1(n 2) Sn2bn Sn（） 明数列1成等差数列，并求数列bn的通 公式；Sn解：（） 明：由已知，当n 2 ，2bn1 ，又 Snb1b2L bn ，Sn2bnSn所以2( SnSn 1)12( SnSn 1 )1111Sn 1 )SnSn2Sn 1 SnSnSn 1，(Sn2又 S1 b1a11 所以数列1是首 1，公差 1 的等差数列Sn2由上可知 111 (n 1)n1，Sn2Sn22n1所以当 n 2 ， bnSnSn1222因此n1nn(n 1)第- 4 -页共 6
10、页，n，11bn2，n n(n1)2七、递推关系形如：anman或 anf ( n) an的数列1panq1h(n)g( n)an可采用取倒数方法转化成为1m 1manq an形式利用前面的第三类方法解决。1p例 7（2008年高考陕西理22）已知数列 an 的首项 a133an， n1，2，L ， an12an51（）求 an 的通项公式；解：（） Q an 13an，12111111 ，2an1an 1，3 an3 3a nan 1又 112，11是以 2 为首项， 1 为公比的等比数列a13an3312123n13 3n 13n ，anan3n 2八、Sn 法求与前 n 项和 Sn 有关
11、的数列通项时， 通常用公式 anS1Sn 1(n1)作为桥梁，Sn(n2)将 Sn 转化为 an 的关系式求 a n 或将 an 转化为 Sn 的关系式先求Sn 进而求得 an 。例 8、（ 2008 年全国 20）设数列ann*的前 n 项和为 Sn 已知 a1 a ，aS3 ，Nn 1nn（）设 bnSn3n ，求数列bn的通项公式；解：（）依题意，Sn 1Sn an 1Sn3n ，即 Sn 12Sn3n ，由此得 Sn13n12( Sn3n ) 因此，所求通项公式为bnSn3n( a3)2n 1 ， nN * 九：数学归纳法例 9、（ 2008辽宁理21）在数列an, bn 中 ,a12
12、, b14 , 且 an , bn , an1 成等差数列 ,bn ,an 1, bn 1 成等比数列 .求 a2 , a3, a4 及 b2 , b3 ,b4 , 由此猜测an , bn 的通项公式 , 并证明你的结论 ;解析：（）由条件得 2bnanan1，an21bnbn 1由此可得第- 5 -页共 6页a26， b2 9， a3 12， b316， a4 20， b425 猜测 ann(n 1)，bn(n 1)2 用数学归纳法证明：当 n=1 时，由上可得结论成立假设当 n=k 时，结论成立，即akk( k1)， bk(k 1)2 ，那么当n=k+1时，ak 12bk ak 2(k 1)2k(k1)(k1)(k2)，bk 1 ak22(k 2)2 bk所以当 n=k+1 时，结论也成立 由， 可知 ann(n 1)， bn (n1)2 对一切正整数都成立第- 6 -页共 6页