1、刘敬喜，刘敬喜，2011第二章第二章 单跨梁的弯曲理论单跨梁的弯曲理论BendingBending Theory of Single-Span Beam Theory of Single-Span Beam 刘敬喜，刘敬喜，2011几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆几何特性：受外荷作用而发生弯曲的杆件叫作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫件叫作梁，仅在梁的两端有支座的梁叫单跨梁。悬臂梁是单跨梁的一种特殊情单跨梁。悬臂梁是单跨梁的一种特殊情形。形。船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成船体骨架是复杂的空间杆件系统，组成骨架的每一根杆件都可看作梁。以后在骨架的每一根杆件都可看作梁。以后在分析杆件系统时，总是
2、根据一定的法则分析杆件系统时，总是根据一定的法则把他们拆开为一根一根杆件进行分析。把他们拆开为一根一根杆件进行分析。每一根杆件都是单跨梁。每一根杆件都是单跨梁。刘敬喜，刘敬喜，2011一般一般为斜为斜直线直线水平线水平线抛物抛物 线下线下凸凸有有极极值值为为零零处处有尖有尖角角(向向下）下）有突有突变变(突突变值变值=F FP)有有极极值值变变号号无变化无变化 有突变有突变（突变（突变 值值=M）剪力图剪力图弯矩图弯矩图 梁上梁上 情况情况无外力无外力均布力作用均布力作用 (q向下向下)集中力作用集中力作用处处(F FP向下向下)集中力集中力 偶偶M作作用处用处铰处铰处 无无影影响响为零为零斜
3、斜直直线线 剪力图与弯矩图之间的关系剪力图与弯矩图之间的关系刘敬喜，刘敬喜，20112-1 梁的弯曲微分方程式及其通解梁的弯曲微分方程式及其通解1.1.梁的弯曲微分方程式梁的弯曲微分方程式现考虑一单跨直梁现考虑一单跨直梁:规定规定:梁的载荷梁的载荷q向下为正；向下为正；梁的挠度梁的挠度v向下为正向下为正;梁的转角梁的转角顺时针方向为正顺时针方向为正;图图2.1图图2.2梁的弯矩梁的弯矩M左逆右顺为正；左逆右顺为正；梁的剪力梁的剪力N左下右上为正左下右上为正;c刘敬喜，刘敬喜，2011根据微段的平衡条件得到：根据微段的平衡条件得到：有下式：有下式：（21）（24）（23）（22）刘敬喜，刘敬喜，
4、2011 利用式（利用式（21）（）（24），就可得到梁的），就可得到梁的弯曲微分方程式：弯曲微分方程式：（25）（26）（27）式（式（27）就是等截面直梁的弯曲微分方程）就是等截面直梁的弯曲微分方程式。式。刘敬喜，刘敬喜，20112.2.梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法梁的弯曲微分方程式的通解，初参数法 式（式（27）是简单的常微分方程，逐次积分）是简单的常微分方程，逐次积分可得到：可得到：（a）（d）（b）（c）刘敬喜，刘敬喜，2011 梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简梁左端的弯曲要素称为初始弯曲要素，或简称为初参数。称为初参数。式（式（d）就是微分方程式（）就是微分方程式（27
5、的通解）的通解可见，积分常数可见，积分常数 就是梁的初参数。就是梁的初参数。于是通解式（于是通解式（d）可用梁的初参数表示为：）可用梁的初参数表示为：（e）由初参数引起的挠度由初参数引起的挠度由分布载荷由分布载荷刘敬喜，刘敬喜，2011 如果没有分布载荷项，上式变为：如果没有分布载荷项，上式变为：（2-8）这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。讨论：讨论：（1）集中力作用下的梁）集中力作用下的梁。pblxyx刘敬喜，刘敬喜，2011pblxyx将梁分成两段：将梁分成两段：由边界条件由边界条件确定确定由连续性条由连续性条件确定件确定由连续性条件：由连续性条件
6、刘敬喜，刘敬喜，2011布勃诺夫将函数断子符号布勃诺夫将函数断子符号b b引入船舶结构力学，引入船舶结构力学，从而梁全长的挠曲线可以表示为从而梁全长的挠曲线可以表示为断子函数断子函数刘敬喜，刘敬喜，2011 将梁分成两段：将梁分成两段：为第一段，为第一段，为第二段，并把集中力为第二段，并把集中力 看作是作用在第二段看作是作用在第二段的初始点。于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：的初始点。于是对于第一段，梁的挠曲线可写为：第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集第二段相对与第一段来说，它在端点多了一个集中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，中力，这个集中力相当于第二段的一个初始剪力，且为
7、正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时且为正。所以梁的挠度在第一段过渡到第二段时仅增加一项与仅增加一项与P有关的项：有关的项：此处此处 为自第二段开始算起的坐标为自第二段开始算起的坐标 再在再在 加符号加符号 ，表示此项在，表示此项在时才起作用，于是得到梁的挠曲线为时才起作用，于是得到梁的挠曲线为:刘敬喜，刘敬喜，2011 同理：同理：（2）在集中弯距作用下的梁）在集中弯距作用下的梁。blxyxm图图2.3（2-9）（2-10）刘敬喜，刘敬喜，2011 同理：同理：（3）在任意分布载荷作用下的梁）在任意分布载荷作用下的梁。blxyxq(x)图图2.4（2-11）刘敬喜，刘敬喜，2011 综上所
8、述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方综上所述，在任意载荷作用下梁的挠曲线方方程为：方程为：blxyxq(x)caPm图图2.5（2-12）通用方程式通用方程式刘敬喜，刘敬喜，20112-2 梁的支座和边界条件梁的支座和边界条件1.1.梁的支座及相应的边界条件梁的支座及相应的边界条件 （1）自由支持在刚性支座上）自由支持在刚性支座上边界条件为边界条件为:图图2.6活动铰支座活动铰支座固定铰固定铰支座支座刘敬喜，刘敬喜，2011 （2）刚性固定在刚性支座上，刚固端）刚性固定在刚性支座上，刚固端边界条件为边界条件为:图图2.7刘敬喜，刘敬喜，2011 （3）弹性支座）弹性支座弹性支座，弹性支座，vP刚性
9、系数刚性系数自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为自由支持在弹性支座上梁端的边界条件为:vvEIxyP图图2.8柔性系数柔性系数刘敬喜，刘敬喜，2011 讨论：刚性系数为讨论：刚性系数为0 0时，时，和柔性系数为和柔性系数为0 0时各代表哪时各代表哪种边界条件？种边界条件？刘敬喜，刘敬喜，2011 （4）弹性固定端）弹性固定端 所谓弹性固定端。所谓弹性固定端。xyA A EIMM图图2.9梁端力矩梁端力矩柔性系数柔性系数刚性系数刚性系数刘敬喜，刘敬喜，2011 梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根梁两端受到的支座反力矩即梁端弯距，根据上节弯距正负号的规定，他们均为正。由转据上节弯距正负号的规定，
10、他们均为正。由转角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯角的正负号规定，左端为正，右端为负。由弯距与挠度之间的微分关系：距与挠度之间的微分关系：EIvEIv,将其将其代入式（代入式（2-142-14）得）得 这就是弹性固定端得边界条件。由此可这就是弹性固定端得边界条件。由此可得得弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：弹性固定在刚性支座上梁端的边界条件：刘敬喜，刘敬喜，2011 讨论：刚性系数为讨论：刚性系数为0 0时，和柔性系数为时，和柔性系数为0 0时时各代表哪种边界条件？各代表哪种边界条件？xyA A EIy图图2.10图图2.11刘敬喜，刘敬喜，20112.2.挠曲线通用方程式的应用挠曲线
11、通用方程式的应用例例1:1:求图求图2.122.12所示的挠曲线方程及左右端处的所示的挠曲线方程及左右端处的转角。转角。xyA EIm图图2.12l 当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边当梁端有集中力或弯距作用时，梁端的边界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知界条件都应当把他们考虑在内。对于给定已知挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考挠度或转角，在写边界条件时，也应把他们考虑在内。虑在内。有了边界条件，就可以应用挠曲线通用有了边界条件，就可以应用挠曲线通用方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要方程式确定单跨梁的挠曲线方程和其它弯曲要素。素。刘敬喜，刘敬喜，2011 解：从图中可以看出，
12、除了在梁的右端有解：从图中可以看出，除了在梁的右端有一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（一集中弯距外，梁上没有任何载荷。由式（2-2-8 8）得：）得：根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件：将两端的边界条件代入到上式得：将两端的边界条件代入到上式得：4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个平衡方程：个平衡方程：根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：（a）刘敬喜，刘敬喜，2011 从而解得：从而解得：将其带入到通用挠曲线方程式（将其带入到通用挠曲线方程式（a a）从而得到）从而得到梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。梁的挠曲线方程，继而可以得到梁的转角方程。从而可以计算梁左
13、端和右端的转角。从而可以计算梁左端和右端的转角。刘敬喜，刘敬喜，2011 梁的挠曲线方程为：梁的挠曲线方程为：梁的转角方程为：梁的转角方程为：刘敬喜，刘敬喜，2011 梁的左端转角为：梁的左端转角为：梁的右端转角为：梁的右端转角为：刘敬喜，刘敬喜，2011 当当A A 时，实际上就是固定铰支座时，实际上就是固定铰支座mx图图2.13myEIl刘敬喜，刘敬喜，2011当当A A 0 0时，就是固定端时，就是固定端。mxyEI图图2.14l刘敬喜，刘敬喜，2011例例2:2:求图求图2.152.15所示的梁的挠曲线方程所示的梁的挠曲线方程xy 解：从图中可以看出，本梁只受到均布载解：从图中可以看出
14、本梁只受到均布载荷荷q q的作用。由式（的作用。由式（2-112-11）得：）得：图图2.15刘敬喜，刘敬喜，2011 4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个平衡方程：个平衡方程：根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件：将两端的边界条件代入到上式得：将两端的边界条件代入到上式得：根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：又：又：刘敬喜，刘敬喜，2011 从而解得：从而解得：例例3:3:求图求图2.162.16所示的梁的挠曲线方程所示的梁的挠曲线方程xyA EIm图图2.16l/2l/2P刘敬喜，刘敬喜，2011 左端弹性固定端柔性系数左端弹性固定端柔性系数，右端右端弹性支座柔性系数
15、弹性支座柔性系数 解：从图中可以看出，本梁只受到集中载解：从图中可以看出，本梁只受到集中载荷荷P P的作用。由式（的作用。由式（2-92-9）得：）得：4 4个未知数，要列个未知数，要列4 4个平衡方程：个平衡方程：根据梁右端的边界条件：根据梁右端的边界条件：根据梁左端的边界条件：根据梁左端的边界条件：刘敬喜，刘敬喜，2011 解得：解得：刘敬喜，刘敬喜，20112-3 梁的弯曲要素表及其应用梁的弯曲要素表及其应用 从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及从上节看出，利用梁的挠曲线通用方程式及边界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从边界条件可以确定各种单跨梁的挠曲线方程，从而进一步确定梁的弯曲
16、要素。在教材附录而进一步确定梁的弯曲要素。在教材附录A A中给中给出了各种边界条件下梁的弯曲要素表。出了各种边界条件下梁的弯曲要素表。目前我们考虑的弯曲公式是在小变形及材料目前我们考虑的弯曲公式是在小变形及材料符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要符合虎克定律的前提下推导的，所以梁的弯曲要素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加素与梁上的外力成线性关系，从而可以采用叠加原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用原理计算单跨梁上同时受到几种不同外载荷作用下的弯曲要素。下的弯曲要素。刘敬喜，刘敬喜，2011 由附录由附录A A可见，各种弯曲要素表的详细程度可见，各种弯曲要素表的详细程度不相同
17、其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详不相同，其中两端自由支持梁的弯曲要素表最详细。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽细。此外，各种弯曲要素表中的载荷种类也不尽相同。因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理相同。因此，当利用这些弯曲要素表及叠加原理来确定某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一来确定某一特定单跨梁的弯曲要素时，还存在一些技巧。下面举例进行说明。些技巧。下面举例进行说明。刘敬喜，刘敬喜，2011例例1:1:求图求图2.172.17所示的梁的中点挠度，右端转角，所示的梁的中点挠度，右端转角，并作出梁的剪力图和弯距图。并作出梁的剪力图和弯距图。图图2.17 解：使用叠加法，将受到分布载荷和
18、集中解：使用叠加法，将受到分布载荷和集中载荷的单跨梁载荷的单跨梁ABAB，拆开为单独受到均布载荷和，拆开为单独受到均布载荷和集中载荷的两根单跨梁，如图（集中载荷的两根单跨梁，如图（a a）和（）和（b b）所）所示：示：刘敬喜，刘敬喜，2011图图2.17a图图2.17b刘敬喜，刘敬喜，2011 (1)(1)计算中点挠度。从附录表计算中点挠度。从附录表A A3 3中的中的1 1和和2 2很容易计算得到每根梁中点的挠度得：很容易计算得到每根梁中点的挠度得：从附录表从附录表A-3A-3中，利用叠加原理可以得到中，利用叠加原理可以得到右支座反力和固定端弯距的大小。右支座反力和固定端弯距的大小。刘敬喜
19、刘敬喜，2011 (2)(2)计算右端转角。附录表计算右端转角。附录表A-3A-3中并没有给中并没有给出右端转角。但是附录表出右端转角。但是附录表A-2A-2给出了两端自由给出了两端自由支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们支持梁在各种载荷下的弯曲要素。这样，我们就可以将图就可以将图2-172-17等效为两端自由支持梁分别受等效为两端自由支持梁分别受到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。到集中力、分布载荷和集中力矩来处理。MRb=5P/16+3ql/8=23ql/48Ma=ql2/8+3pl/16=ql2/8+ql2/16=3ql2/16图图2.17c刘敬喜，刘敬喜，2011MM图图2.17
20、d图图2.17e图图2.17f刘敬喜，刘敬喜，2011 查附录表查附录表A-2A-2，应用叠加原理很容易就算得，应用叠加原理很容易就算得到梁右端的转角为；到梁右端的转角为；刘敬喜，刘敬喜，2011 (3)(3)画弯距图和剪力图。有两种途径，一种画弯距图和剪力图。有两种途径，一种是根据附录表是根据附录表A-3A-3中的弯距图和剪力图直接叠中的弯距图和剪力图直接叠加；另外一种是根据图加；另外一种是根据图2-17d2-17d、2-17e2-17e、2-17f2-17f采用附录表采用附录表A-2A-2中的弯距剪力图叠加得到。中的弯距剪力图叠加得到。剪力和弯距为剪力和弯距为0 0时的时的x x坐坐标值一
21、定要计算准确；标值一定要计算准确；刘敬喜，刘敬喜，2011注意注意:是竖标相加是竖标相加,不是不是图形的简单拼合图形的简单拼合.刘敬喜，刘敬喜，2011例例2:2:计算下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要计算下图所示的两端刚性固定梁的弯曲要素素xy l/2l/2Pyl/2l/2mx例例3:3:计算下图所示的一端弹性固定，另一端弹计算下图所示的一端弹性固定，另一端弹性支座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和性支座梁的中点挠度、端点转角并画弯矩图和剪力图剪力图.=l/3EI,=l3/48EI,刘敬喜，刘敬喜，2011xyl/2l/2mm1m2xyl/2l/2P刘敬喜，刘敬喜，20112-4 梁的复杂弯曲
22、梁的复杂弯曲如图如图2-18所示。所示。EI较小，轴向力很大，那么轴向较小，轴向力很大，那么轴向力所引起的弯曲要素就不能忽略。梁的复杂弯曲力所引起的弯曲要素就不能忽略。梁的复杂弯曲同时考虑横向和轴向这两种载荷作用梁的弯同时考虑横向和轴向这两种载荷作用梁的弯曲曲xyTT图图 2-18 在梁的任一截面上除了有弯距、剪力外还有在梁的任一截面上除了有弯距、剪力外还有轴向力。轴向力。刘敬喜，刘敬喜，20111.1.梁的复杂弯曲微分方程推导梁的复杂弯曲微分方程推导 梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材梁在复杂弯曲时，我们仍认为梁截面符合材料力学中的平断面假定，材料仍然服从虎克定律，料力学中的平断面假定，
23、材料仍然服从虎克定律，刘敬喜，刘敬喜，2011MTqM+dMNN+dNTdxdv图图 2-19 列出微段的平衡方程式：列出微段的平衡方程式：yx刘敬喜，刘敬喜，2011 略去高阶微量后，得：略去高阶微量后，得：(2-13)将式（将式（2-132-13）再微分一次，并将关系式：带）再微分一次，并将关系式：带 入后，得到：入后，得到：刘敬喜，刘敬喜，2011 对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：对于等截面和轴向力沿梁长不变的情况，得：(2-15)(2-14)这就是梁在复杂弯曲（轴向力为拉力）时的这就是梁在复杂弯曲（轴向力为拉力）时的弯曲微分方程式。弯曲微分方程式。如果轴向力为压力，只要在上式中
24、用（如果轴向力为压力，只要在上式中用（-T-T）代替（代替（T T）即可。为了表达清晰起见，令轴向压）即可。为了表达清晰起见，令轴向压力的绝对值为力的绝对值为T T，这样用（这样用（-T）代替上式）代替上式中的中的T T，便可得到梁在复杂弯曲（轴向力为压力），便可得到梁在复杂弯曲（轴向力为压力）时的弯曲微分方程式：时的弯曲微分方程式：(2-16)刘敬喜，刘敬喜，20112.2.微分方程式的解，初参数法微分方程式的解，初参数法 微分方程式（微分方程式（2-152-15）的解分为相应的齐次方）的解分为相应的齐次方程式的通解和非齐次方程式的特解两部分。先程式的通解和非齐次方程式的特解两部分。先考虑轴
25、向拉力的情况，即方程式（考虑轴向拉力的情况，即方程式（2-152-15），其），其齐次方程式为：齐次方程式为：此式可改写为：此式可改写为：式中：式中：(2-17)(2-18)刘敬喜，刘敬喜，2011 于是，可将方程式（于是，可将方程式（2-182-18）的解写作：）的解写作：(2-19)将式（将式（2-192-19）代入到（）代入到（2-182-18）中得特征方程）中得特征方程为：为：(2-20)此特征方程有此特征方程有4 4个根，分别为：个根，分别为：刘敬喜，刘敬喜，2011 所以方程式（所以方程式（2-182-18）的解为：）的解为：式中式中 为积分常数为积分常数 仿照仿照2-12-1中的
26、方法，直接将此解推广到梁中的方法，直接将此解推广到梁上受任意横向载荷的情况而无须求其特解，为上受任意横向载荷的情况而无须求其特解，为此将上式逐次积分：此将上式逐次积分：(2-21)刘敬喜，刘敬喜，2011并利用式（并利用式（2-132-13），有：），有：设设为为x x0 0时梁的四个初始弯曲要素时梁的四个初始弯曲要素 从而解得：从而解得：代入式（代入式（2-212-21）得：）得：刘敬喜，刘敬喜，2011 仿照（仿照（2-122-12）式，就可以将（）式，就可以将（2-212-21）推广到）推广到梁上受任意横向载荷得一般情形：梁上受任意横向载荷得一般情形：(2-22)bdTyxq(x)caP
27、mxT(2-23)图图 2-20刘敬喜，刘敬喜，2011 当当xd时，积分上限为时，积分上限为d。如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得如果是轴向压力，只要将轴向拉力公是中得T用（用（-T）代替，或）代替，或k用（用（ik）代替即可，其）代替即可，其中：中：(2-24)刘敬喜，刘敬喜，2011 当当xdxd时，积分上限为时，积分上限为d d。利用挠曲线通用方程式（利用挠曲线通用方程式（2-242-24）及梁端的边）及梁端的边界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲界条件，就可以确定相应梁复杂弯曲时的挠曲线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距线方程，从而由弯距与挠度的关系式确定弯距方程。进一步
28、可以确定梁在复杂弯曲时任一横方程。进一步可以确定梁在复杂弯曲时任一横截面上的剪力。截面上的剪力。（1 1）轴向力为拉力时）轴向力为拉力时 （2 2）轴向力为压力时）轴向力为压力时(2-26)(2-25)刘敬喜，刘敬喜，2011由式（由式（2-252-25）和（）和（2-262-26）可见，梁复杂弯曲时）可见，梁复杂弯曲时剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并剪力与挠度的微分关系式和梁在横力弯曲时并不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，不相同。当求得梁复杂弯曲时的挠曲线方程后，应由式（应由式（2-252-25）和（）和（2-262-26）确定剪力方程。）确定剪力方程。在在写梁端边界条件时也
29、应注意式（写梁端边界条件时也应注意式（2-252-25）和（）和（2-2-2626），及对于复杂弯曲），及对于复杂弯曲 ,从而弹性支座从而弹性支座的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向的边界条件就与横力弯曲时的不同，对于轴向力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件力为拉力或压力的梁，其弹性支座的边界条件为：为：式中，符号的取法：左端取式中，符号的取法：左端取(-)(-)，右端取，右端取(+)(+)刘敬喜，刘敬喜，2011复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条复杂弯曲时的弹性固定在弹性支座上的边界条件也与横力弯曲时不同。写为：件也与横力弯曲时不同。写为：轴向拉力轴向拉力轴向压力轴向压力式中，
30、符号的取法：上面的符号适用于左端，式中，符号的取法：上面的符号适用于左端，下面的符号适用于右端下面的符号适用于右端刘敬喜，刘敬喜，2011边界条件为：边界条件为：yTT图图 2-21刘敬喜，刘敬喜，2011边界条件为：边界条件为：yTT图图 2-21刘敬喜，刘敬喜，2011例例1:1:如图如图2-222-22所示，受均布载荷所示，受均布载荷q q，两端自由支持，两端自由支持并受轴向拉力的并受轴向拉力的T T作用的梁，计算其弯曲要素。作用的梁，计算其弯曲要素。3.3.例题例题图图 2-22TxyTqEIl刘敬喜，刘敬喜，2011解：先应用式解：先应用式(2-23)(2-23)计算梁的挠曲线方程式
31、计算梁的挠曲线方程式。梁左端的边界条件：梁左端的边界条件：(a)刘敬喜，刘敬喜，2011将边界条件代入到将边界条件代入到(a)(a)式得：式得：为了算出上式中的积分，利用变量代换方为了算出上式中的积分，利用变量代换方法。法。积分上下限为积分上下限为0 0和和x x。(b)刘敬喜，刘敬喜，2011将积分结果代入到将积分结果代入到(b)(b)式得：式得：梁右端的边界条件：梁右端的边界条件：代入到代入到(c)(c)式得：式得：(c)(d)刘敬喜，刘敬喜，2011将将(d)(d)式代入到式代入到(c)(c)式整理后得：式整理后得：式中式中 有了挠曲线方程后，我们就不难求得梁的有了挠曲线方程后，我们就
32、不难求得梁的弯曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端弯曲要素。现将通常所需的梁的中点挠度、端点转角及中点弯距的公式写出如下：点转角及中点弯距的公式写出如下：(e)(f)刘敬喜，刘敬喜，2011式中式中(g)(g)(g)称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值称为复杂弯曲的辅助函数，他们的数值取决于取决于，即取决于轴向力，即取决于轴向力T T，梁的抗弯刚度，梁的抗弯刚度EIEI和梁长和梁长l l。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表。复杂弯曲梁的辅助函数和弯曲要素表见附录见附录B B。现讨论现讨论 的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：响：刘敬喜，刘敬喜，2011(2)(2)0，
33、即，即T0，(g)式中的函数随着式中的函数随着 的增加的增加而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。而减少，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素减少。(1)(1)=0，即，即T=0，(g)式中的函数均为式中的函数均为1，这时，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式的公式 如果所讨论的梁受到的是轴向压力如果所讨论的梁受到的是轴向压力T T，则，则在以上公式中将在以上公式中将(-T)代代T，ik代代k,i 代代。此处：此处：即可得到相应的公式如下：即可得到相应的公式如下：刘敬喜，刘敬喜，2011 及：及：式中：式中：(h)(i)(j)刘敬喜，刘敬喜，2
34、011同样为复杂弯曲的辅助函数。同样为复杂弯曲的辅助函数。现讨论现讨论 的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的的取值对复杂弯曲梁弯曲要素的影响：影响：(2)(2)0，(h)式中的函数随着式中的函数随着 的增加而增的增加而增大，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素增大。当大，说明轴向拉力使得梁的弯曲要素增大。当=/2，即，即(1)(1)=0，即，即T=0，(g)式中的函数均为式中的函数均为1，这，这时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时所得到的公式就是以前推导的仅受横向荷重时的公式时的公式刘敬喜，刘敬喜，2011时，时，这说明当轴向压力，这说明当轴向压力 即使梁受到非常微小的载荷，梁都会丧失其稳即使梁受到非常
35、微小的载荷，梁都会丧失其稳定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋定性。因而也可以把复杂弯曲中使弯曲变形趋向无穷大的轴向压力定义为临界压力。我们在向无穷大的轴向压力定义为临界压力。我们在材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细材料力学压杆的稳定性一章中，两端铰支的细长压杆的欧拉临界载荷也是长压杆的欧拉临界载荷也是 综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷综上，我们可以指出：当梁受任何横向荷重及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲重及轴向拉力或轴向压力作用而发生复杂弯曲时，不论两端固定情况如何，总归是轴向拉力时，不论两端固定情况如何，总归是轴向拉力使得梁的弯曲要素减小；轴向压力使得梁的弯使得梁的弯曲
36、要素减小；轴向压力使得梁的弯曲要素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向曲要素增大。使得弯曲变形趋向无穷大的轴向压力就是压杆的临界压力。压力就是压杆的临界压力。刘敬喜，刘敬喜，20114.4.复杂弯曲梁的弯曲要素及叠加原理复杂弯曲梁的弯曲要素及叠加原理 对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单对于受其他荷重作用和其他支撑情况的单跨复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲跨复杂弯曲梁，用同样的方法可以求出其挠曲线方程式和弯曲要素，其结果列在附录线方程式和弯曲要素，其结果列在附录B B中：这中：这就是复杂弯曲梁的弯曲要素表。就是复杂弯曲梁的弯曲要素表。由复杂弯曲梁的通用挠曲线方程式由复杂弯曲梁的通用挠曲线方
37、程式(2-23)(2-23)和和(2-24)(2-24)知，挠度知，挠度v与参数与参数k或或k不成线性关系，不成线性关系，但是当但是当k或或k为常数时，即轴向拉力为常数时，即轴向拉力T或压力或压力T 保持不变，挠度保持不变，挠度v与横向载荷之间成线性关系。与横向载荷之间成线性关系。故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同故梁在一定的轴向力作用下，梁上受到不同横向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即横向载荷时的弯曲要素仍可用叠加原理求解，即可分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作可分别求得在该轴向力作用下的各个横向载荷作用时的弯曲要素，然后叠加。用时的弯曲要素，然后叠加。刘敬喜，刘敬喜，201
38、1例例1:1:如图如图2-232-23所示的梁，两端受到集中力矩的所示的梁，两端受到集中力矩的作用，求梁两端面的转角。作用，求梁两端面的转角。图图2.23xyEIl解：根据附录表解：根据附录表B-2B-2m1m2xyEIlm1xyEIlm2刘敬喜，刘敬喜，2011叠加后得到梁两端的转角分别为：叠加后得到梁两端的转角分别为：函数值见附表函数值见附表B-3B-3和和B-4B-4刘敬喜，刘敬喜，2011例例2:2:求求如图如图2-242-24所示的梁固定端弯距所示的梁固定端弯距xyEITTxyEITTM解：附录表解：附录表B-2B-2并没有提供这种支座形式，我们并没有提供这种支座形式，我们将其等效为
39、图将其等效为图2-252-25形式的梁。形式的梁。图图 2-24图图 2-25刘敬喜，刘敬喜，2011利用附录表利用附录表B-2B-2提供的均布载荷下梁左端的转角提供的均布载荷下梁左端的转角和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原和集中力矩作用下梁左端的转角，利用叠加原理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，理。再根据固定端处，转角为零的边界条件，就可以求得端面弯距。就可以求得端面弯距。叠加后利用梁左端转角为零，得到叠加后利用梁左端转角为零，得到端面弯距为：端面弯距为：刘敬喜，刘敬喜，20115.5.轴向力对梁弯曲要素的影响轴向力对梁弯曲要素的影响 由附录表由附录表B B提供复杂弯曲的弯曲要素
40、表可见，提供复杂弯曲的弯曲要素表可见，轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅轴向力对弯曲要素的影响取决于辅助函数，而辅助函数值的大小又由参数助函数值的大小又由参数 和（和（）决定）决定。因。因所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向所以，轴向力对弯曲要素的影响程度取决于轴向力与梁抗弯因子力与梁抗弯因子4 4EI/l2 2之比值。而不仅仅取决于之比值。而不仅仅取决于轴向力的大小。由附录表轴向力的大小。由附录表B B可见当可见当 或（或（）0.5时，各辅助函数的值接近于时，各辅助函数的值接近于1，说明在此范，说明在此范围内，轴向力对弯曲要素的影响很小，可以忽略围内，轴向力对弯曲要素的影响很小
41、可以忽略刘敬喜，刘敬喜，2011 在船体骨架的强度计算中，一般来说参数在船体骨架的强度计算中，一般来说参数 或或（）之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力）之值不大，因而习惯上都不考虑轴向力对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴对弯曲要素的影响。于是在计算受横向载荷和轴向力同时作用的向力同时作用的骨架骨架横截面上的正应力时，可以横截面上的正应力时，可以简单地使用材料力学中给出的公式。简单地使用材料力学中给出的公式。式中，式中，M由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；由横向载荷引起的梁横截面上的弯距；I、A横截面的惯性距和横截面面积。横截面的惯性距和横截面面积。但是，对船体结构中的板来说，情况就不
42、同了，但是，对船体结构中的板来说，情况就不同了，由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中由于板的抗弯能力远比骨架小，故必须考虑板中面力对板弯曲应力的影响。面力对板弯曲应力的影响。刘敬喜，刘敬喜，20112-5 弹性基础梁的弯曲弹性基础梁的弯曲 支撑于弹性基础上的梁叫弹性基础梁。弹性支撑于弹性基础上的梁叫弹性基础梁。弹性基础梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性基础基础梁在受到横向载荷而发生挠度时，弹性基础会给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为会给梁一个正比于挠度的反力。设梁的挠度为v，则弹性基础给梁的单位长度上的反力为，则弹性基础给梁的单位长度上的反力为Kv，其，其中中K是比例系数，简称为弹性
43、基础的刚性系数。是比例系数，简称为弹性基础的刚性系数。在对某些工程结构物进行强度计算时，有时在对某些工程结构物进行强度计算时，有时可将其简化为弹性基础梁的弯曲计算。例如铁轨可将其简化为弹性基础梁的弯曲计算。例如铁轨和枕木的计算，房屋建筑中的钢筋混凝土条形基和枕木的计算，房屋建筑中的钢筋混凝土条形基础的计算。船体结构中板架纵桁的计算以及潜艇础的计算。船体结构中板架纵桁的计算以及潜艇耐压壳体强度计算都可以归结为弹性基础梁的弯耐压壳体强度计算都可以归结为弹性基础梁的弯曲计算。曲计算。刘敬喜，刘敬喜，2011 对于有横向分布载荷对于有横向分布载荷q q作用的弹性基础梁，作用的弹性基础梁，若把弹性基础给
44、梁的单位长度上的反力若把弹性基础给梁的单位长度上的反力Kv看作是看作是分布载荷（分布载荷（-Kv），则将（），则将（q-Kv）代替普通梁的）代替普通梁的弯曲微分方程式中的弯曲微分方程式中的q：1.1.等截面弹性基础梁的弯曲微分方程式及等截面弹性基础梁的弯曲微分方程式及其解其解(2-27)刘敬喜，刘敬喜，2011 式中弹性基础的刚性系数式中弹性基础的刚性系数K不随坐标不随坐标x变化，变化，即再整个梁长范围内即再整个梁长范围内K是常数是常数 弹性基础梁的截面转角、弯矩、剪力与挠弹性基础梁的截面转角、弯矩、剪力与挠度的微分关系仍和普通梁一样，即：度的微分关系仍和普通梁一样，即：对于微分方程式（对于微
45、分方程式（2-272-27），可用初参数法求），可用初参数法求解。即先求出（解。即先求出（2-272-27）的齐次方程的通解，然后）的齐次方程的通解，然后推广到受任意载荷作用时弹性基础梁的解。推广到受任意载荷作用时弹性基础梁的解。将式（将式（2-272-27）的齐次方程式改写为：）的齐次方程式改写为：(2-28)(2-29)刘敬喜，刘敬喜，2011 式中式中 对于齐次微分方程式（对于齐次微分方程式（2-292-29）的解，根据高）的解，根据高等数学微分方程的解法，其通解为：等数学微分方程的解法，其通解为：(2-30)式中式中C1C1C4C4为积分常数。需要找出这为积分常数。需要找出这4 4个积
46、个积分常数与梁端截面的弯曲要素之间的关系，为此，分常数与梁端截面的弯曲要素之间的关系，为此，将式（将式（2-302-30）逐次微分，得：）逐次微分，得：刘敬喜，刘敬喜，2011 由式（由式（2-302-30）及上面三式，当）及上面三式，当x=0时，根据时，根据式式（2-28），可得：），可得：(2-31)刘敬喜，刘敬喜，2011 将他们代入通解式（将他们代入通解式（2-302-30）得：）得：(2-32)式中式中v0、0、M0、N0梁截面的挠度、转梁截面的挠度、转角、弯矩、剪力。由上式可解得：角、弯矩、剪力。由上式可解得：刘敬喜，刘敬喜，2011 他们称为普日列夫斯基函数。于是式他们称为普日列
47、夫斯基函数。于是式(2-32)(2-32)就可写成：就可写成：(2-33)令函数：令函数：(2-34)刘敬喜，刘敬喜，2011 普日列夫斯基函数之间有下面的循环微分关普日列夫斯基函数之间有下面的循环微分关系和一些特殊数值：系和一些特殊数值：(2-35)刘敬喜，刘敬喜，2011(2-36)现将式（现将式（2-342-34）推广到受任意载荷作用的弹）推广到受任意载荷作用的弹性基础梁（图性基础梁（图2-262-26）。由）。由2-12-1所述初参数法，所述初参数法，仿照式（仿照式（2-82-8），由式（），由式（2-342-34）可写出）可写出刘敬喜，刘敬喜，2011yxmPqabcdK图图 2-2
48、6(2-37)刘敬喜，刘敬喜，2011 现将式（现将式（2-382-38）称为弹性基础梁的挠曲线通）称为弹性基础梁的挠曲线通用方程式。有了该方程式和边界条件就能求出相用方程式。有了该方程式和边界条件就能求出相应的弹性基础梁的挠曲线方程，继而根据（应的弹性基础梁的挠曲线方程，继而根据（2-2-2828）可以求出其他弯曲要素。）可以求出其他弯曲要素。刘敬喜，刘敬喜，2011例例3:3:对于受均布载荷对于受均布载荷q作用的两端刚性固定的作用的两端刚性固定的弹性基础梁（图弹性基础梁（图2-272-27），求梁的挠曲线方程、），求梁的挠曲线方程、转角、弯矩和剪力。转角、弯矩和剪力。xqKyl/2l/2解
49、由于梁的结构和载荷都对称于跨中，故取解：由于梁的结构和载荷都对称于跨中，故取跨度中点为坐标原点。这样，在跨度中点为坐标原点。这样，在x=0 0处，处，0 0=0=0，N0=0=0。由式（。由式（2-372-37）可知，梁的挠曲线方程为：）可知，梁的挠曲线方程为：刘敬喜，刘敬喜，2011上式等号右边最后项的积分，利用函数上式等号右边最后项的积分，利用函数V3与与V0之间的微分关系（式之间的微分关系（式2-352-35），可以得到：），可以得到：刘敬喜，刘敬喜，2011从而梁的挠曲线方程式可以写成：从而梁的挠曲线方程式可以写成：由式（由式（2-502-50）可知）可知4 44 4EI=K,再将上
50、式中的同类再将上式中的同类项合并，得到：项合并，得到：上式的积分常数上式的积分常数D0和和D1根据边界条件确定：根据边界条件确定：(2-38)刘敬喜，刘敬喜，2011式中式中,求解上述方程组得到：求解上述方程组得到：将积分常数将积分常数D0和和D1的表达式代入到（的表达式代入到（2-2-3838），得到梁的挠曲线方程为），得到梁的挠曲线方程为(2-39)刘敬喜，刘敬喜，2011 根据式（根据式（2-282-28）及（）及（2-352-35），可求出梁的），可求出梁的转角、弯矩和剪力的表达式：转角、弯矩和剪力的表达式：(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)刘敬喜，刘敬喜，2011 由式
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