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1、;. 常微分方程期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩题号一二三总分分数.一、填空（每格3 分，共 30 分）1 、 方 程M ( x, y) d xN( ,x )y d yx有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件有 只 与是。2 、 若 x1(t ), x2 ( t), xn (t ) 为 n 阶 齐 线 性 方 程 的 n 个 解 ， 则 它 们 线 性无 关 的 充 要 条 件是。3 、 若(t ) 和(t ) 都 是 xA(t) x 的 基 解 矩 阵 ， 则(t ) 和(t ) 具 有 的 关 系 是_ 。4 、 函 数 f ( x, y)称 为 在 矩 形 域 上 关 于y 满
2、 足 利 普 希 兹 条 件 ， 如果。5、当时，方程 M ( x, y)dxN ( x, y)dy0 称为恰当方程，或称全微分方程。6、若(t ) 是 xA(t )x 的基解矩阵，则xA(t )xf (t ) 满足 x(t 0 )的解。7、若 xi (t )(i1,2,n) 为 n 阶齐线性方程x( n)a1 (t ) x(n )an (t )x0 的 n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。8、求 dy =f(x,y) 满足 y( x0 )y0 的解等价于求积分方程的解。dxdy9、如果 f (x, y) 在 R 上且关于 y 满足李普希兹条件，则方程f (x, y) 存在唯一dx
3、的 解 y(x) ， 定 义 于 区 间 xx0h 上 ， 连 续 且 满 足 初 始 条 件( x0 ) y0 ， 其 中h， Mmaxf (x, y) 。( x, y) R;.;.得分二、计算题 (每题 10 分 ,共 50 分)dy1 y210、求方程xy的解。dxx2 y11、求方程 dyxy2 通过点 (1,0) 的第二次近似解。dx12、求非齐线性方程xx sin t 的特解。13、求解恰当方程( y3x2 )dx (4 y x)dy 0 。14、 求伯努利 方程 dy6 yxy2的通解。dxx得分三、证明 .（20 分）21x ， (0)1的 解 为 :15 、 1) 试 验 证
4、 初 值 问 题 x412(t ) e3t1 t (12 );2 t ( 12 )2）求该微分方程组的expAt 。试卷（ 1）答案一、填空（每格3 分，共 30 分）1、方程M ( x, y)dxN (x, y)dy 0 有只与 x 有关的积分因子的充要条件MNyx(x) 。是N2、若 x1( t), x2 (t ), xn ( t) 为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是 w x (t ), x (t ), x(t ) 0。12n;.;.3 、 若(t )和(t )都 是 xA(t) x 的 基 解 矩 阵 ， 则(t )和(t ) 具 有 的 关 系 是( t)( t
5、 )C ， ( at b) C 为非奇异常数矩阵。4、函数 f (x, y) 称为在矩形域上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数 0，对于所有( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) R 都有使得不等式f ( x1 , y1 )f (x2, y2 )L y1y2 成立。5、当MN 时，方程 M ( x, y)dxN ( x, y)dy0 称为恰当方程，或称全微分方程。yx6、若(t ) 是 xA(t )x 的基解矩阵，则xA(t )xf (t ) 满足 x(t 0 )的解 x(t)(t )1(t0 )(t )t1 (s) f (s)ds 。t07、若xi()(i1,2, ,n) 为n
6、阶齐线性方程x( n)a (t ) x(n )a (t )x0 的 n 个线性无关解，t1n()n( ) ，其中 c c则这一齐线性方程的通解可表为2, c是任意常数。x tci xi t1,ni18、求 dy =f(x,y) 满足 y( x0 )xy0 的解等价于求积分方程y=y 0 +f (x, y)dx 的解。dxx09、如果 f (x, y) 在 R 上连续且关于 y 满足李普希兹条件，则方程dyf ( x, y) 存在唯一的dx解 y( x) ， 定 义 于 区 间 x x0h 上 ， 连 续 且 满 足 初 始 条 件( x0 ) y0 ， 其 中hmin( a,b ) ， Mma
7、xf ( x, y) 。M( x, y) R二、计算题 (每题 10 分 ,共 50 分)dy1y2的解。10、求方程xyx2 ydxdy1y2解：原式可化为dxy( xx2 )分离变量得y d yd xy 2x( 1x )1;.;.两边积分后1 ln 1y2lnx ln 1xc12y 2 )(1x) 2cx 2即 (1故原方程的通解为( 1 y 2) ( 1 x 2)c x211、求方程 dyxy2 通过点(1,0)的第二次近似解。dx解：令0 ( x) 01 x2则1 (x)y0( x y02 )dxxdx1xx11222 ( x)y0x x12 ( x)dx x( 1x21)2 dx1
8、x21x51 x31 x11x1122220643012、求非齐线性方程xxsin t 的特解。解：线性方程xx0的特征方程210 ，故特征根i 。又 f (t )sin t ，i 是特征单根，所以原方程有特解xt (AcostBsin t ) ，将其代入原方程得 A1x1t cost 。， B=0 。故原方程的特解为2213、求解恰当方程 ( y3x2 ) dx(4 yx)dy0 。解：M1 ， N1 .yx则 MN .yx所以此方程为恰当方程。凑微分， ydxxdy3x2 dx4 ydy0得x3xy2 y2C14、求伯努利方程dy6 yxy 2的通解。dxx,算得 dzy 2 dy解：这是
9、 n=2 时的伯努利不等式，令z= y1dxdx;.;.代入原方程得到dz6 zx ，这是线性方程，求得它的通解为z= cx2dxxx68带回原来的变量y，得到 1=cx 2或者 x 6x8c ，这就是原方程的解。yx68y8此外方程还有解y=0.三、证明 .（ 20 分）15 、1) 试 验证 初 值问 题x21x ， (0)1的 解 为 :142(t )e3t1 t (12 );2 t ( 12 )2）求该微分方程组的expAt 。21269 03此时 k=1 n 21）证明： p( )解得1,21411v (t)3t1 t i( A3E)i13t1t (12 )ei 0 i!et (2)22212）解：由公式 expAt= e tn 1 t iE)i 得( Ai 0 i !3t3t10113t 1 ttexp At e E t (A 3E)e1t1e1 t01t;.