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1、1,定理3 设 W 是 V 的一个子空间, V 关于模 W 同余这个等价 关系的的商集定义为 V / W = W | V 显然 V / W 是 一个非空集合, 在这个商集中定义加法和数乘: ( W) + ( + W) = ( + ) + W k( W) = k W. 易证上述加法和数乘是良定义的.,定义2 设 是 V 上的线性变换, W 是 不变子空间, 在 V/W 上定义变换: : V/WV/W, (+W) = +W 因为 W 是 不变子空间, 所以上述定义是合理的, 称 为 的诱导变换.,定理3 设 是复数域 C 上的有限维线性空间 V 上的线性变 换, 则 V 存在一组基, 使 在这组基
2、的矩阵是上三角矩阵.,推论1 任意复方阵 A 相似于上三角矩阵.,2,推论2 设 AMn(C),其,中,为 A 的极小多,项式, 则,证明 由推论1可知复方阵 A 相似于上三角矩阵, 即,3,由书上P.5推论3可知,4,例2 设 A 和 B 是两个复方阵, 已证 AB 和 BA 的特征多 项式相等, 它们的极小多项式是否相等? 答 否! 例如,5,第八讲 幂零变换与循环变换,定义1 设 是复线性空间 V 的线性变换,若存在正整数 m 使得 m = 0, 则称 为幂零变换, 满足上式的最小正整数 m 称为 的幂零次数, 非零幂零变换的幂零次数大于1, 此 时 m-1 0. V 的任意一个幂零变换
3、在 V 的任意一组基下 的矩阵称为幂零矩阵. 定理1 幂零变换 的所有特征值全为0, 所以非零的幂零变 换 不可对角化.,例1 设,则,(A-I)2 = 0, A-I 为幂零矩阵.,6,定义2 设 是复线性空间 V 的线性变换, 若 V 中存在非 零向量 使得 n-1, (), 为 V 的一组基, 且 n() = 0, 则称 为循环变换, n-1(), (), 称为 V 的一组 循环基, 循环变换 在循环基 n-1(), (), 下的矩 阵 N 称为循环矩阵, 这里,显然循环变换是幂零变换, 且幂零次数等于 n, 这是因为 V 中任意元素 为 n-1(), (), 的线性组合, 故 n() =
4、 0, 所以 n = 0, 又因为 n-1() 0, 故 n-1 0, 所以循环变 换 是幂零变换, 且幂零次数等于 n.,7,例2 设,则,记 P = (2e1-e2, e1), 则 P 是可逆矩阵, 且,A 相似于,J-I 为循环矩阵.,8,定义3 设 是复线性空间 V 的线性变换, W 是 不变子 空间, 若 |W 是循环变换, 则称 W 为 V 的循环子空间.,例3 设,则,显然 L(Be2, e2) 和 L(e1) 均为 C3 的循环子空间.,易证 Be2, e2, e1 是 C3 的一组基, 且 B(Be2, e2, e1) = (0, Be2, 0),B 相似于,A 相似于 J+
5、2I.,9,一般地, 设 是复线性空间 V 的幂零变换, 幂零次数为 2,则 Im 为 ker 的一个子空间, 设,是 Im 的一,组基, 则,为 V 中的向量,在 中作用下,的象, 由习题9.24可知,线性无关, 把它们扩充,扩充为 V 的一组基,用,代替,并仍记为,这里,则此时,10,例4 设,则,显然 L(A2e3, Ae3, e3) 和 L(e4) 均为 C4 的循环子空间.,易证 A2e3 = e1-2e3, Ae3 = e2-2e4, e3, e4线性无关, 且,A(A2e3, Ae3, e3, e4) = (0, A2e3, Ae3, 0).,A 相似于,11,一般地, 设 是复
6、线性空间 V 的幂零变换, 幂零次数为 m,m 2, 则 Imm-1 为 ker 的一个子空间, 设,是 Imm-1 的一组基,为 Imm-2 中的向量,在 中作用下的象, 由习题9.24可知,线性无关, 把,扩充为 Imm-2 的一组基,用,代替,并仍记为,这里,则此时,12,现设 2 j m-1,为Im m-j+1 的一组基, 则,为 Imm-j 中的向量,在 中作,用下的象, 易证,线性无关, 把它们扩充为Imm-j 的一组基,13,用,代替,并仍记为,这里,则此时,当 j = m-1 时, 即得 Im 的一组基,其中,为 V 中的向量,在 中作用下的象, 易证,14,线性无关, 把它们
7、扩充为 V 的一组基,且同上调整可设,15,为Imm-j 的一组基, 所以,这里 1 j m-1, 且,这里 1 j m-1, 且,16,因为(1)为 V 的一组基, 这个基表的每一列生成 V 的一个 循环子空间, 记为 Ti, 将基表先按列自上而下, 再按行由 左到右的顺序重排为一组基, 则 在该组基下的方阵表,示为,这里,Ni 的阶数等于 dim Ti.,上面的方阵 J 中 i 阶块的个数为 Pi-1Pi = 2dimkeridimkeri+1dimkeri-1个, i = 2, m.,一阶块的个数为 P0P1 = 2dimkerdimker2.,17,例5 设,则,(A-I)2 = 0,
8、 A-I 的Jordan标准型 J 中二阶块的个数为,2dimN(A-I)2)dimN(A-I)3)dimN(A-I) = 1个.,例6 设,则,A2 = 0, A 的Jordan标准型 J 中二阶块的个数为,2dimN(A2)dimN(A3)dimN(A) = 1个. 一阶块的个数为,2dimN(A)dimN(A2) = 1个,A 相似于 J+I.,18,例7 设,则,A 的Jordan标准型 J 中三阶块的个数为,2dimN(A3)dimN(A4)dimN(A2) = 1个. 一阶块的个数为,2dimN(A)dimN(A2) = 1个,19,例8 设,则,A2 = 0, A 的Jordan标准型 J 中二阶块的个数为,2dimN(A2)dimN(A3)dimN(A) = 2个,A 的Jordan标准型为,20,第八讲 作业,习题九(PP.57-60): 12, 13, 14, 24, 25,