1、目录 上页 下页 返回 结束 第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数傅里叶级数 目录 上页 下页 返回 结束 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 1.组成三角级数的函数系证证:同理可证:正交,上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在目录 上页
2、 下页 返回 结束 上的积分不等于 0.且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证证:由定理条件,对在逐项积分,得目录 上页 下页 返回 结束(利用正交性)类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得目录 上页 下页 返回 结束 叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数;由公式 确定的以的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数 简介 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设
3、 f(x)是周期为2 的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中(证明略证明略)为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点注意注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解解:先求傅里叶系数将 f(x)展成傅里叶级数.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和
4、逼近说明说明:f(x)的情况见右图.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,上的表达式为将 f(x)展成傅里叶级数.解解:它在 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:当时,级数收敛于目录 上页 下页 返回 结束 周期延拓傅里里叶展开上的傅里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它目录 上页 下页 返回 结束 例例3.将函数则解解:将 f(x)延拓成以 展成傅里叶级数.2为周期的函数 F(x),目录 上页 下页 返回 结束 当 x=0 时,f(0)=0,得说明说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.目录 上页 下
5、页 返回 结束 设已知又目录 上页 下页 返回 结束 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里里叶级数.f(x)是周期为2 的周期函数,它在解解:若不计周期为 2 的奇函数,因此目录 上页 下页 返回 结束 n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 逼近 f(x)的情况见右图
6、n2n3n4n5目录 上页 下页 返回 结束 例例5.将周期函数展成傅里里叶级数,其中E 为正常数.解解:是周期为2 的周期偶函数,因此 为便于计算,将周期取为2 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.定义在定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦级上的函数展成正弦级数与余弦级数数周期延拓 F(x)f(x)在 0,上展成周期延拓 F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f(x)在 0,上展成目录 上页 下页 返回 结束 例例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解解:先求正弦级数.去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:在端点 x=0,
7、级数的和为0,与给定函数因此得 f(x)=x+1 的值不同.目录 上页 下页 返回 结束 再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:令 x=0 可得即目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若为间断点,则级数收敛于目录 上页 下页 返回 结束 2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在 0,上的函数的傅里里叶展开法唯一吗?答答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习
8、思考与练习目录 上页 下页 返回 结束 ,处收敛于2.则它的傅里里叶级数在在处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为目录 上页 下页 返回 结束 3.设又设求当的表达式.解解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,在 f(x)的定义域 内时目录 上页 下页 返回 结束 4.写出函数傅氏级数的和函数.答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 P313 1(1),(3);2(1),(2);5;6;7(2)第八节 作业作业 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.叶级数展式为则其中系数提示提示:利用“偶倍奇零”(1993 考研)的傅里 函数目录 上页 下页 返回 结束 2.设是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示提示:令类似可得利用周期函数性质
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