1、第第5 5章章 哈密顿力学哈密顿力学5-1 5-1 哈密顿原理哈密顿原理5-2 5-2 哈密顿函数哈密顿函数5-3 5-3 正则方程正则方程5-4 5-4 正则变换正则变换拉拉格格朗朗日日表表述述拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数完整完整完整完整,理想理想理想理想,保守系保守系保守系保守系系统特性函数系统特性函数系统特性函数系统特性函数广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标(s(s(s(s个个个个)独立变量独立变量独立变量独立变量(运动学运动学运动学运动学)广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标广义速度广义速度广义速度广义速度独立变量独立变量独立变量独立变量(动力学动力学动力学动力学)运动方
2、程是广义坐标的二运动方程是广义坐标的二运动方程是广义坐标的二运动方程是广义坐标的二阶微分方程组阶微分方程组阶微分方程组阶微分方程组拉格朗日变量拉格朗日变量拉格朗日变量拉格朗日变量哈哈密密顿顿表表述述哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数完整完整完整完整,理想理想理想理想,保守系保守系保守系保守系系统特性函数系统特性函数系统特性函数系统特性函数独立变量独立变量独立变量独立变量广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标广义动量广义动量广义动量广义动量(共共共共 2s 2s 2s 2s 个个个个)推广至统计力学和量子力学推广至统计力学和量子力学推广至统计力学和量子力学推广至统计力学和量子力学运动方程是广义坐
3、标和广义动量运动方程是广义坐标和广义动量运动方程是广义坐标和广义动量运动方程是广义坐标和广义动量的一阶微分方程组的一阶微分方程组的一阶微分方程组的一阶微分方程组(共共共共 2s 2s 2s 2s 个个个个)哈密顿正则变量哈密顿正则变量哈密顿正则变量哈密顿正则变量哈密顿力学哈密顿力学哈密顿力学哈密顿力学可进行更广泛的可进行更广泛的可进行更广泛的可进行更广泛的“坐标坐标坐标坐标”变换变换变换变换从哈密顿原理出发从哈密顿原理出发从哈密顿原理出发从哈密顿原理出发,也完全可以导出拉格朗日方程和正则也完全可以导出拉格朗日方程和正则也完全可以导出拉格朗日方程和正则也完全可以导出拉格朗日方程和正则方程方程方程
4、方程,并建立整个分析力学的体系并建立整个分析力学的体系并建立整个分析力学的体系并建立整个分析力学的体系.自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运自然界的许多物理现象服从某些极值原理，这些取极值的运算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函算方法属于数学中的变分方法，因此首先了解数学上的泛函和变分问题和变分问题和变分问题和变分问题.从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程从
5、动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程从动力学普遍方程出发得到拉格朗日方程,实际上还是以牛实际上还是以牛实际上还是以牛实际上还是以牛顿定理为基础的顿定理为基础的顿定理为基础的顿定理为基础的,是一种与牛顿力学完全等价的表达方式是一种与牛顿力学完全等价的表达方式是一种与牛顿力学完全等价的表达方式是一种与牛顿力学完全等价的表达方式.哈密顿原理是更普遍的原理哈密顿原理是更普遍的原理哈密顿原理是更普遍的原理哈密顿原理是更普遍的原理 ，这种方法具有公理性的特点，这种方法具有公理性的特点，这种方法具有公理性的特点，这种方法具有公理性的特点，这也说明科学的统一和和谐这也说明科学
6、的统一和和谐这也说明科学的统一和和谐这也说明科学的统一和和谐.5-1 5-1 哈密顿原理哈密顿原理oxyAB一一一一.变分问题的欧勒方程变分问题的欧勒方程变分问题的欧勒方程变分问题的欧勒方程二二二二.“.“最小最小最小最小”作用原理作用原理作用原理作用原理t1,qAt2,qBq(t)真实轨道真实轨道三三三三.哈密顿原理哈密顿原理哈密顿原理哈密顿原理下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保下面应用哈密顿原理导出拉格朗日方程，假设系统为完整保守力系，守力系，守力系，守力系，拉格朗日函
7、数可以形式地假设为拉格朗日函数可以形式地假设为拉格朗日函数可以形式地假设为拉格朗日函数可以形式地假设为 哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义哈密顿原理在理论上具有特别重要的意义,它是建立在描述它是建立在描述它是建立在描述它是建立在描述体系运动总体效果体系运动总体效果体系运动总体效果体系运动总体效果-积分形式的基础之上，与采用什么样的积分形式的基础之上，与采用什么样的积分形式的基础之上，与采用什么样的积分形式的基础之上，与采用什么样的广义坐标（坐标系）无关，广义坐标（坐标系）无关，广义坐标（坐标系）无关，广义坐标（坐标系）无
8、关，因此只要适当引进拉格朗日函数因此只要适当引进拉格朗日函数因此只要适当引进拉格朗日函数因此只要适当引进拉格朗日函数（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉（对相互作用需要建立模型得到势函数或力函数，进而得到拉格朗日函数）格朗日函数）格朗日函数）格朗日函数）,就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程就容易推广应用拉格朗日方程和正则方程,并建并建并建并建立整个分析力学的体系立整个分析力学的体系立整个分析力学的
9、体系立整个分析力学的体系.三三三三.哈密顿原理的意义哈密顿原理的意义哈密顿原理的意义哈密顿原理的意义哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势哈密顿原理在解决实际问题时并没有什么优势.哈密顿原理是作为公理提出的哈密顿原理是作为公理提出的哈密顿原理是作为公理提出的哈密顿原理是作为公理提出的,是基于这样一种信念：大自是基于这样一种信念：大自是基于这样一种信念：大自是基于这样一种信念：大自然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由然总是使某些重要的物理量取极值，
10、当然它的正确性最终由然总是使某些重要的物理量取极值，当然它的正确性最终由原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。原理演绎出的推论在实践中检验而得到证实。1.1.1.1.背景背景背景背景通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难通过拉格朗日方程很容易得到体系的运动方程，但求解难度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将度各不相同，即使对同一问题由于广
11、义坐标的不同选择，将度各不相同，即使对同一问题由于广义坐标的不同选择，将导致求解难度大不相同。导致求解难度大不相同。导致求解难度大不相同。导致求解难度大不相同。5-2 5-2 广义动量和相空间广义动量和相空间如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是如果方程出现循环坐标，求解容易得多。循环坐标的本质是系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它系统的一种对称性，而对称性一般要通过变换来发现，因为它系统的一种对称性，而对
12、称性一般要通过变换来发现，因为它就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能就是一种变换不变性。如果能够找到尽量多的变换不变性就能发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特发现更多的对称性，这不仅有利于求解，也是对系统的本质特征进行把握的理论上的要求所在。征进行把握的理论上的要求所在。征进行把握的理论上的要求所在。征进行把握的理论上的要求所在。另外，不论拉氏方
13、程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之另外，不论拉氏方程还是牛顿方程，都有一个共同的不足之处，就是没有充分表达出处，就是没有充分表达出处，就是没有充分表达出处，就是没有充分表达出 在因果关系上的独立性。作为初在因果关系上的独立性。作为初在因果关系上的独立性。作为初在因果关系上的独立性。作为初始条件，始条件，始条件，始条件，总是可以独立给定的，可是在方程中总是可以独立给定的，可是在方程中总是可以独立给定的，可是在方程中总是可以独立给定的，可是在方程中 是是是是作为作为作为作为q q的衍生变数出现
14、的，然而由于运动中的每个时刻都可以的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以的衍生变数出现的，然而由于运动中的每个时刻都可以取代取代取代取代“初始时刻初始时刻初始时刻初始时刻”，这种方程中的主从关系显然是对现实的一，这种方程中的主从关系显然是对现实的一，这种方程中的主从关系显然是对现实的一，这种方程中的主从关系显然是对现实的一种扭曲表达。种扭曲表达。种扭曲表达。种扭曲表达。如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称如何进一步发展拉氏方程，使之更容易呈现其内在的对称如何进一步发展拉氏方
15、程，使之更容易呈现其内在的对称性，自然成为人们的焦点。性，自然成为人们的焦点。性，自然成为人们的焦点。性，自然成为人们的焦点。因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何因果关系和二阶方程的不协调还导致位形空间缺乏几何物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可物理内涵：位形空间中两个相距很近的点，甚至同一点，可以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就以在物理上极不相同（因
16、为广义速度不同，动量和能量等就以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就以在物理上极不相同（因为广义速度不同，动量和能量等就可以有任意大的差别）。可以有任意大的差别）。可以有任意大的差别）。可以有任意大的差别）。这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，这样，所有的分析都指向一点：将方程降阶，这看起来简单，但是难点在于保持新方程组的对称性。但是难点在于保持新方程组的对称性。但是难点在于保持新方程组的对称性。但是难点在于保持新方程组的对称性。哈密顿方程组（正则哈密顿方
17、程组（正则哈密顿方程组（正则哈密顿方程组（正则方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办方程）不仅使理论结构更加严谨，而且在进行实际计算上办法更多法更多法更多法更多(当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子当然不是针对几个简单的便于积分的演示例子)。定义广义动量定义广义动量定义广义动量定义广义动量由由由由q q 和和和和 p p 组成的空间称作组成的空间称作组成的空间称作组成的空间称作相空间相空间相空间
18、相空间,因而相空间是因而相空间是因而相空间是因而相空间是2s2s维空间维空间维空间维空间,q q 和和和和 p p 称作共轭变量称作共轭变量称作共轭变量称作共轭变量利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普利用广义动量来代替广义速度描述物体运动状态更具有普遍物理意义。遍物理意义。遍物理意义。遍物理意义。2.2.2.2.广义动量广义动量广义动量广义动量3.3.3.3.哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数在拉格朗日力学中曾定义在拉格朗日力学中曾定义在拉格朗日力学中曾定义在拉格朗日力学中曾
19、定义:但那里但那里但那里但那里 H H 是作为是作为是作为是作为 L L 在不显含在不显含在不显含在不显含 t t 时的能量积分（守恒量）引进时的能量积分（守恒量）引进时的能量积分（守恒量）引进时的能量积分（守恒量）引进的。现在的。现在的。现在的。现在进一步地把进一步地把进一步地把进一步地把 H H 定义为定义为定义为定义为(选择广义坐标和广义动量作为选择广义坐标和广义动量作为选择广义坐标和广义动量作为选择广义坐标和广义动量作为独立变量独立变量独立变量独立变量)系统的特性函数系统的特性函数系统的特性函数系统的特性函数-哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数注意只有在把广义速度换成广义动量后注
20、意只有在把广义速度换成广义动量后注意只有在把广义速度换成广义动量后注意只有在把广义速度换成广义动量后,H,H 才能被称为才能被称为才能被称为才能被称为哈密哈密哈密哈密顿函数顿函数顿函数顿函数，就物理意义来讲它是能量的含义，就物理意义来讲它是能量的含义，就物理意义来讲它是能量的含义，就物理意义来讲它是能量的含义，特别是作为系统特别是作为系统特别是作为系统特别是作为系统力学信息的集中载体而称之为哈密顿量力学信息的集中载体而称之为哈密顿量力学信息的集中载体而称之为哈密顿量力学信息的集中载体而称之为哈密顿量。*4.*4.*4.*4.勒让德变换勒让德变换勒让德变换勒让德变换旧系统旧系统旧系统旧系统新系统
21、新系统新系统新系统勒让德变换勒让德变换勒让德变换勒让德变换假定由假定由假定由假定由 F F F F 对对对对 u u u ui i i i 的二阶偏微商组成的行列式不等于零的二阶偏微商组成的行列式不等于零的二阶偏微商组成的行列式不等于零的二阶偏微商组成的行列式不等于零,这时才可以解出这时才可以解出这时才可以解出这时才可以解出 u u u ui i i i 作为作为作为作为 v v v vi i i i 的函数的函数的函数的函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数可以看出从拉格朗日函数到哈密顿函数可以看出从拉格朗日函数到哈密顿函数可以看出从拉格
22、朗日函数到哈密顿函数可以看出从拉格朗日函数到哈密顿函数,也可以通过一个也可以通过一个也可以通过一个也可以通过一个勒让德变换实现勒让德变换实现勒让德变换实现勒让德变换实现勒让德变换勒让德变换勒让德变换勒让德变换5-3 5-3 正则方程正则方程统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的统计物理、电动力学和量子力学等理论物理学科中对力学的描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。描述更多的是采用哈密顿正则方程的形式。
23、根据哈密顿函数的定义根据哈密顿函数的定义根据哈密顿函数的定义根据哈密顿函数的定义1.1.从拉格朗日方程到从拉格朗日方程到从拉格朗日方程到从拉格朗日方程到正则方程正则方程正则方程正则方程比较上述二式比较上述二式比较上述二式比较上述二式,由于都是由于都是由于都是由于都是 dqdq 和和和和 dpdp 独立的独立的独立的独立的,于是有于是有于是有于是有:另外根据哈密顿函数是另外根据哈密顿函数是另外根据哈密顿函数是另外根据哈密顿函数是 q q,p p,t ,t 的函数的函数的函数的函数:哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程这是这是这是这是2 2s s个一阶常微分方程的方程组个一阶常
24、微分方程的方程组个一阶常微分方程的方程组个一阶常微分方程的方程组,结合初始条件求解结合初始条件求解结合初始条件求解结合初始条件求解,从而完从而完从而完从而完全确定力学系的运动状态。全确定力学系的运动状态。全确定力学系的运动状态。全确定力学系的运动状态。形式优美、简洁对称！形式优美、简洁对称！形式优美、简洁对称！形式优美、简洁对称！同时由上面的推导还可得到：同时由上面的推导还可得到：同时由上面的推导还可得到：同时由上面的推导还可得到：*2.*2.由哈密顿原理导出正则方程由哈密顿原理导出正则方程由哈密顿原理导出正则方程由哈密顿原理导出正则方程4.4.能量积分能量积分能量积分能量积分与拉氏方法一样，
25、哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量与拉氏方法一样，哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量与拉氏方法一样，哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量与拉氏方法一样，哈密顿方法同样存在一些守恒量，如能量 若若若若H H不中不显含不中不显含不中不显含不中不显含t t ：H H中不显含中不显含中不显含中不显含t t，表明体系具有时间上的均匀性，表明体系具有时间上的均匀性，表明体系具有时间上的均匀性，表明体系具有时间上的均匀性,能量守恒能量守恒能量守恒能量守恒.根据根据根据根据约束稳定与否分别讨论。约束稳定与否分别讨论。约束稳定与否分别讨论。约束稳定与否分别讨论。(a)(a)稳定约束稳定约束稳定约束稳定约束(
26、b)(b)不稳定约束不稳定约束不稳定约束不稳定约束5.5.循环坐标循环坐标循环坐标循环坐标如果如果如果如果 H H=H H（q q1 1，q qs s；p p1 1，p ps s；t t）中不显含某个）中不显含某个）中不显含某个）中不显含某个q qi i 或某个或某个或某个或某个p pi i，则该广义坐标或广义动量称为，则该广义坐标或广义动量称为，则该广义坐标或广义动量称为，则该广义坐标或广义动量称为循环坐标循环坐标循环坐标循环坐标，因为根，因为根，因为根，因为根据哈密顿正则方程，与循环坐标对应的共轭变量为守恒量据哈密顿正则方程，与循环坐标对应的共轭变量为守恒量据哈密顿正则方程，与循环坐标对应
27、的共轭变量为守恒量据哈密顿正则方程，与循环坐标对应的共轭变量为守恒量：qi=const，pi为循环坐标为循环坐标 pi=const，qi为循环坐标为循环坐标 实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有实际上，拉格朗日函数的守恒量和哈密顿函数的守恒量具有密切关系密切关系密切关系密切关系:如果拉格朗日函数不显含如果拉格朗日函数不显含如果拉格朗日函数不显含如果拉格朗日函数不显含t t t t或有循环坐标或有循环坐标或有循环坐标或有循环坐标q q q qi i i i,哈密顿哈密顿哈密顿哈
28、密顿函数也同样有函数也同样有函数也同样有函数也同样有.但二者也有区别但二者也有区别但二者也有区别但二者也有区别:拉格朗日函数的的循环坐标对应一个广拉格朗日函数的的循环坐标对应一个广拉格朗日函数的的循环坐标对应一个广拉格朗日函数的的循环坐标对应一个广义动量守恒义动量守恒义动量守恒义动量守恒,体系自由度体系自由度体系自由度体系自由度 s s s s 不变不变不变不变;而哈密顿函数的的循环而哈密顿函数的的循环而哈密顿函数的的循环而哈密顿函数的的循环坐标导致其共轭广义动量为常数坐标导致其共轭广义动量为常数坐标导致其共轭广义动量为常数坐标导致其共轭广义动量为常数,因而减少一对独立变量因而减少一对独立变量
29、因而减少一对独立变量因而减少一对独立变量,自由度减少自由度减少自由度减少自由度减少 s s s s s-1s-1s-1s-1，即真正的可遗坐标。，即真正的可遗坐标。，即真正的可遗坐标。，即真正的可遗坐标。对于简单问题对于简单问题对于简单问题对于简单问题,应用正则方程可能没有优势应用正则方程可能没有优势应用正则方程可能没有优势应用正则方程可能没有优势;但正则方程但正则方程但正则方程但正则方程具有理论的普适性，并且适合数值计算。具有理论的普适性，并且适合数值计算。具有理论的普适性，并且适合数值计算。具有理论的普适性，并且适合数值计算。进一步思考进一步思考进一步思考进一步思考正则方程似乎表明正则方程
30、似乎表明正则方程似乎表明正则方程似乎表明:只要写出系统哈密顿函数只要写出系统哈密顿函数只要写出系统哈密顿函数只要写出系统哈密顿函数H,H,就可以通过就可以通过就可以通过就可以通过简单的积分方法就能完全确定力学系统的运动状态简单的积分方法就能完全确定力学系统的运动状态简单的积分方法就能完全确定力学系统的运动状态简单的积分方法就能完全确定力学系统的运动状态(所谓经典所谓经典所谓经典所谓经典力学确定论力学确定论力学确定论力学确定论););但我们也应该看到但我们也应该看到但我们也应该看到但我们也应该看到,对一些系统写出对一些系统写出对一些系统写出对一些系统写出H H有困难有困难有困难有困难,即使给出也
31、不即使给出也不即使给出也不即使给出也不一定可以积分一定可以积分一定可以积分一定可以积分,对那些不可积系统对那些不可积系统对那些不可积系统对那些不可积系统,可能出现随机混沌现象可能出现随机混沌现象可能出现随机混沌现象可能出现随机混沌现象;*6.*6.泊松括号泊松括号泊松括号泊松括号前面讲过运用正则方程可由循环坐标很容易求出初积分，下前面讲过运用正则方程可由循环坐标很容易求出初积分，下前面讲过运用正则方程可由循环坐标很容易求出初积分，下前面讲过运用正则方程可由循环坐标很容易求出初积分，下面介绍的面介绍的面介绍的面介绍的泊松定理可以借助两个运动积分求出新的运动积分泊松定理可以借助两个运动积分求出新的
32、运动积分泊松定理可以借助两个运动积分求出新的运动积分泊松定理可以借助两个运动积分求出新的运动积分设体系的某一力学量设体系的某一力学量设体系的某一力学量设体系的某一力学量 是广义坐标和广义动量的函数是广义坐标和广义动量的函数是广义坐标和广义动量的函数是广义坐标和广义动量的函数泊松括号泊松括号泊松括号泊松括号上式说明上式说明上式说明上式说明:力学量力学量力学量力学量 F F 对时间的导数与哈密顿函数对时间的导数与哈密顿函数对时间的导数与哈密顿函数对时间的导数与哈密顿函数H H有密切有密切有密切有密切的关系的关系的关系的关系如果力学量如果力学量如果力学量如果力学量 F F 守恒的充要条件是守恒的充要
33、条件是守恒的充要条件是守恒的充要条件是:更进一步更进一步更进一步更进一步,如果力学量如果力学量如果力学量如果力学量 F F 不显含时间不显含时间不显含时间不显含时间,并且与哈密顿函数并且与哈密顿函数并且与哈密顿函数并且与哈密顿函数的的的的泊松括号泊松括号泊松括号泊松括号为零为零为零为零,则该力学量就是一个运动的守恒量则该力学量就是一个运动的守恒量则该力学量就是一个运动的守恒量则该力学量就是一个运动的守恒量注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立注意在上式中广义坐标和广义动量是体系的独立(正则正则正则正则)变变
34、变变量量量量,与时间与时间与时间与时间 t t 也是相互独立的也是相互独立的也是相互独立的也是相互独立的.哈密顿正则方程也可以写成哈密顿正则方程也可以写成哈密顿正则方程也可以写成哈密顿正则方程也可以写成泊松括号表示的形式泊松括号表示的形式泊松括号表示的形式泊松括号表示的形式:此方程具有更明显的对称性此方程具有更明显的对称性此方程具有更明显的对称性此方程具有更明显的对称性,而且和量子力学的运动方程形而且和量子力学的运动方程形而且和量子力学的运动方程形而且和量子力学的运动方程形式一致式一致式一致式一致.定义任意两个力学量定义任意两个力学量定义任意两个力学量定义任意两个力学量F F和和和和GG的的的
35、的泊松括号泊松括号泊松括号泊松括号:正则变量满足正则变量满足正则变量满足正则变量满足:泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理:若若若若F F和和和和GG分别是正则方程的初积分分别是正则方程的初积分分别是正则方程的初积分分别是正则方程的初积分(守恒量守恒量守恒量守恒量),),则则则则F,G F,G 也是正则方程的初积分也是正则方程的初积分也是正则方程的初积分也是正则方程的初积分(可能是新的可能是新的可能是新的可能是新的).).解解解解:体系为自由质点，无约束体系为自由质点，无约束体系为自由质点，无约束体系为自由质点，无约束,自由度数自由度数自由度数自由度数s s3,3,选择球坐标系选择球坐标系选择球坐
36、标系选择球坐标系(即为本题的广义坐标即为本题的广义坐标即为本题的广义坐标即为本题的广义坐标)7.7.7.7.应用举例应用举例应用举例应用举例例例例例1 1 在在在在球坐球坐球坐球坐标标系系系系写出一个自由写出一个自由写出一个自由写出一个自由质质点在点在点在点在势场势场 中的哈密顿函数中的哈密顿函数中的哈密顿函数中的哈密顿函数H H根据哈密顿函数的定义：根据哈密顿函数的定义：根据哈密顿函数的定义：根据哈密顿函数的定义：对自由质点对自由质点对自由质点对自由质点,无约束无约束无约束无约束(稳定稳定稳定稳定),H),H即可通过机械能表达：即可通过机械能表达：即可通过机械能表达：即可通过机械能表达：例例
37、例例2 2 见教材例题见教材例题见教材例题见教材例题6.10 6.10（pp211-213pp211-213）方法一（拉格朗日方法）方法一（拉格朗日方法）方法一（拉格朗日方法）方法一（拉格朗日方法）:如图所示，小球和小环构成的体如图所示，小球和小环构成的体如图所示，小球和小环构成的体如图所示，小球和小环构成的体系，只要两个独立参量即可确定系，只要两个独立参量即可确定系，只要两个独立参量即可确定系，只要两个独立参量即可确定体系的位置，所以自由度数体系的位置，所以自由度数体系的位置，所以自由度数体系的位置，所以自由度数s s2,2,建立固定坐标系，选择（建立固定坐标系，选择（建立固定坐标系，选择（
38、建立固定坐标系，选择（x,x,）为广义坐标。体系满足保守，完为广义坐标。体系满足保守，完为广义坐标。体系满足保守，完为广义坐标。体系满足保守，完整和理想约束条件。整和理想约束条件。整和理想约束条件。整和理想约束条件。qlmMox坐标变换方程：坐标变换方程：坐标变换方程：坐标变换方程：运动微分方程运动微分方程运动微分方程运动微分方程最后得到关于最后得到关于最后得到关于最后得到关于 的运动微分方程的运动微分方程的运动微分方程的运动微分方程方法二（哈密顿方法）方法二（哈密顿方法）方法二（哈密顿方法）方法二（哈密顿方法）:体系的拉氏函数为：体系的拉氏函数为：体系的拉氏函数为：体系的拉氏函数为：广义动量
39、为：广义动量为：广义动量为：广义动量为：反解出：反解出：反解出：反解出：根据正则方程：根据正则方程：根据正则方程：根据正则方程：对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为对于完整保守，理想，稳定约束体系，哈密顿函数为这说明广义坐标这说明广义坐标这说明广义坐标这说明广义坐标 x x 是是是是循环坐标，循环坐标，循环坐标，循环坐标，x x 方向动量守恒（初始静止）。方向动量守恒（初始静止）。方向动量守恒（初始静止）。方向动量守恒（初始静止）。与拉氏方法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正与拉氏方
40、法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正与拉氏方法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正与拉氏方法得到的方程相同，显然对于简单力学系统，采用正则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶则方程，如果不能直接求解，而是把它转化为广义坐标的二阶微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到微分方程求解的话，远不如直接根据牛顿方法或拉氏方法得到该方程来得简单
41、该方程来得简单。该方程来得简单。该方程来得简单。*例例3 应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为的电量为的电量为的电量为e e，原子核带电为，原子核带电为，原子核带电为，原子核带电为ZeZe，Z Z为原子序数为原子序数为原子序数为原子序数采用球坐标为广义坐标采用球坐标为广义坐标采用球坐标为广义坐标采用球坐标为广义坐标,电子受到核的库仑电子受到核的库仑电子受到核的库仑电子受到核的库仑力作用力作用力作用力作用,是保守力是保守力是保守力是保守力,
42、可以用势函数表示可以用势函数表示可以用势函数表示可以用势函数表示:同前题同前题同前题同前题,无约束无约束无约束无约束(稳定稳定稳定稳定),H),H可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为:是循环坐标是循环坐标是循环坐标是循环坐标:p=C 根据哈密顿正则方程可以得到运动方程根据哈密顿正则方程可以得到运动方程根据哈密顿正则方程可以得到运动方程根据哈密顿正则方程可以得到运动方程:以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的以上就是根据哈密顿正则方程得到的电子在核力场中的(共共共共六个六个六个六个)运动
43、方程运动方程运动方程运动方程,对此问题其求解并不简单对此问题其求解并不简单对此问题其求解并不简单对此问题其求解并不简单,但在更复杂的问但在更复杂的问但在更复杂的问但在更复杂的问题中可显示其优势题中可显示其优势题中可显示其优势题中可显示其优势.可见电子的运动与可见电子的运动与可见电子的运动与可见电子的运动与 无关，故可知电子在一平面内运动无关，故可知电子在一平面内运动无关，故可知电子在一平面内运动无关，故可知电子在一平面内运动,正正正正如所料如所料如所料如所料,因电子受有心力因电子受有心力因电子受有心力因电子受有心力,可令此平面为可令此平面为可令此平面为可令此平面为 的平面，则的平面，则的平面，
44、则的平面，则 。由上述方程变换可得由上述方程变换可得由上述方程变换可得由上述方程变换可得:最终得到电子在平面内的运动方程最终得到电子在平面内的运动方程最终得到电子在平面内的运动方程最终得到电子在平面内的运动方程(同以前的二维结果同以前的二维结果同以前的二维结果同以前的二维结果)为为为为:在上面的例子中在上面的例子中在上面的例子中在上面的例子中(包括行星的开普勒运动包括行星的开普勒运动包括行星的开普勒运动包括行星的开普勒运动,带电粒子在静电库仑带电粒子在静电库仑带电粒子在静电库仑带电粒子在静电库仑场中的运动等场中的运动等场中的运动等场中的运动等),),都可看作是自由粒子在有心力场中的运动都可看作
45、是自由粒子在有心力场中的运动都可看作是自由粒子在有心力场中的运动都可看作是自由粒子在有心力场中的运动,容容容容易根据角动量定理证明是平面运动易根据角动量定理证明是平面运动易根据角动量定理证明是平面运动易根据角动量定理证明是平面运动,自由度最多为自由度最多为自由度最多为自由度最多为 2,2,因此可因此可因此可因此可以直接选择二维极坐标系就可完全描述以直接选择二维极坐标系就可完全描述以直接选择二维极坐标系就可完全描述以直接选择二维极坐标系就可完全描述:势场：势场：势场：势场：*5-4 5-4 正则变换正则变换1.1.1.1.正则变换正则变换正则变换正则变换若若若若 H H=H H（q q1 1，q
46、 qs s；p p1 1，p ps s；t t）中不显含某个）中不显含某个）中不显含某个）中不显含某个q qi i 或或或或p pi i，即，即，即，即q qi i，p pi i为循环坐标，对应的共轭变量为循环坐标，对应的共轭变量为循环坐标，对应的共轭变量为循环坐标，对应的共轭变量p pi i，q qi i是守恒量是守恒量是守恒量是守恒量循环坐标的有无与广义坐标的选取有关循环坐标的有无与广义坐标的选取有关循环坐标的有无与广义坐标的选取有关循环坐标的有无与广义坐标的选取有关,正则变换的目的就正则变换的目的就正则变换的目的就正则变换的目的就是通过坐标变换发现更多的循环坐标是通过坐标变换发现更多的循
47、环坐标是通过坐标变换发现更多的循环坐标是通过坐标变换发现更多的循环坐标正则变换说明作为独立变量的正则变换说明作为独立变量的正则变换说明作为独立变量的正则变换说明作为独立变量的“坐标坐标坐标坐标”和和和和“动量动量动量动量”有着同有着同有着同有着同等的地位等的地位等的地位等的地位,并且其选择具有更大的自由并且其选择具有更大的自由并且其选择具有更大的自由并且其选择具有更大的自由,因而力学表述更抽象。因而力学表述更抽象。因而力学表述更抽象。因而力学表述更抽象。正则方程还提供另外一种解决问题的方式正则方程还提供另外一种解决问题的方式正则方程还提供另外一种解决问题的方式正则方程还提供另外一种解决问题的方
48、式:通过正则变换寻找通过正则变换寻找通过正则变换寻找通过正则变换寻找更多的哈密顿函数的循环坐标更多的哈密顿函数的循环坐标更多的哈密顿函数的循环坐标更多的哈密顿函数的循环坐标,这完全是可能的这完全是可能的这完全是可能的这完全是可能的,因为我们使因为我们使因为我们使因为我们使用了更多的变量。用了更多的变量。用了更多的变量。用了更多的变量。2.2.2.2.正则变换的条件正则变换的条件正则变换的条件正则变换的条件能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换能够保持正则方程形式不变的相空间的坐标变换,即要求变换即要求变换即
49、要求变换即要求变换后的新变量仍是力学系的正则变量后的新变量仍是力学系的正则变量后的新变量仍是力学系的正则变量后的新变量仍是力学系的正则变量,这样的坐标变换方法称为这样的坐标变换方法称为这样的坐标变换方法称为这样的坐标变换方法称为正则变换正则变换正则变换正则变换F F是变换的生成函数是变换的生成函数是变换的生成函数是变换的生成函数,它一般是它一般是它一般是它一般是t t以及以及以及以及q,p,Q,Pq,p,Q,P中中中中2s2s个独立变量个独立变量个独立变量个独立变量的任意函数的任意函数的任意函数的任意函数,因此我们有一定的自由度选择生成函数。因此我们有一定的自由度选择生成函数。因此我们有一定的
50、自由度选择生成函数。因此我们有一定的自由度选择生成函数。3.3.3.3.哈密顿哈密顿哈密顿哈密顿雅可比方程雅可比方程雅可比方程雅可比方程假如能够找到使新的哈密顿函数假如能够找到使新的哈密顿函数假如能够找到使新的哈密顿函数假如能够找到使新的哈密顿函数 H H=0=0 的正则变换的正则变换的正则变换的正则变换,从而简化从而简化从而简化从而简化正则方程的求解正则方程的求解正则方程的求解正则方程的求解这里这里这里这里c cj j,d,dj j是由初始条件决定的是由初始条件决定的是由初始条件决定的是由初始条件决定的2s2s个常数个常数个常数个常数这样的正则变换是存在的这样的正则变换是存在的这样的正则变换
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