1、推广推广第八章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 在点 的微分微分,定义定义:若函数若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即定理定理:函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,第一节一、平面点集一、平面点集三、多元函数的概念三、多元函数的概念四、多元函数的极限四、多元函数的极限五、多元函数的连续性五、多元函数的连续性二二、n维维空间空间多元函数的基本概念及性质多元函数的基本概念及性质 一、平面点集一、平面点集1.邻域邻域点集点集称为点
2、称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.。2.区域区域(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若若存在存在点点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若若存在存在点点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E=,若对点若对点 P 的任
3、一邻域的任一邻域 U(P)既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点.的外点的外点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.(2)聚点聚点若对任意给定的若对任意给定的 ,点点P 的去心的去心邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点,则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E,也可以不属于也可以不属于 E(因为聚点可以为因为聚点可以为 E 的边界点的边
4、界点)D(3)开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集；若点集若点集 E E,则称则称 E 为为闭集闭集；若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连,开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域.则称则称 D 是是连通连通的的;连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域,简称简称区域区域;。E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界,记作记作 E;例如，在平面上例如，在平面上开区域开区域闭区域闭区域 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集，是最大
5、的开域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.o 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为有界域有界域,界域界域.否则称为否则称为无无OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域二二、n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作即即一个一个点点,当所有
6、坐标当所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作 O.的的距离距离记作记作中点中点 a a 的的 邻域邻域为为规定为规定为 与零元与零元 O O 的距离为的距离为三、多元函数的概念三、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式定义定义1.设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域.特别地特别地,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数
7、记作记作例如例如,二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域说明说明:二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面.如球面等如球面等四、多元函数的极限四、多元函数的极限定义定义2.设设 n 元函数元函数点点,则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时
8、记记二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A,对一对一记作记作都有都有对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,切切 说明说明(1)定义中定义中(2)二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.(3)可推广到可推广到n元函数元函数.例例1+.设设求证：求证：证证:故故总有总有要证要证 例例2+.设设求证：求证：证：证：故故总有总有要证要证 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设设 P(x,y)沿直线沿直线 y=k x 趋于点趋于
9、点(0,0),在点在点(0,0)的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在.例例3.讨论函数讨论函数函数函数如果如果 ，存在，则有：存在，则有：-（g连续连续）仅知其中一个存在仅知其中一个存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在.二重极限二重极限不同不同.如果它们都存在如果它们都存在,则三者相等则三者相等.例如例如,显然显然与累次极限与累次极限但由但由例例4 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在.例例4 求求：解解:这里这里的定义域为的定义域为D
10、x,y)|x0,y R点点P0(0,2)为为D的聚点的聚点由极限运算法则得由极限运算法则得解解:因因而而此函数定义域此函数定义域不包括不包括 x,y 轴轴则则故故例例5+五、五、多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3.设设 n 元函数元函数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续,则称此函数则称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续,此时此时称为称为间断点间断点.则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续,例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点
11、为其间断点.在圆周在圆周结论结论:一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略证明略)例例6.求求解解:函数函数 是初等函数，是初等函数，因因D不是连通的，故不是区域不是连通的，故不是区域但但是区域，且是区域，且所以所以D1 是是f(x,y)的一个定义区域的一个
12、定义区域 因因f(x,y)在在D1上连续上连续,故故它的定义域为它的定义域为解解:原式原式例例7.求求例例8+.求函数求函数的连续域的连续域.解解:内容小结内容小结1.区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集 2.多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数有有3.多元函数的极限多元函数的极限4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)函数函数2)闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内
13、连续性质性质1（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）一点一点P2，使得，使得f(P1)为最大值而为最大值而f(P2)为最小值，为最小值，即对于即对于在有界闭区域在有界闭区域 D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 D上一定有上一定有最大值和最小值这就是说，在最大值和最小值这就是说，在 D上至少有一点上至少有一点P1及及一切一切PD,有有性质性质2（介值定理）（介值定理）在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得上的多元连续函数，必取得介于介于最大值和最小值之间的任何值最大值和最小值之间的任何值一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果要求它由多元初等函数的连续性，如果要求它在点在点P0处的处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即就是函数在该点的函数值，即
免费区 
