1、导数的概念第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分第二章导数与微分7/9/20251引例引例引例引例导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导函数导函数导函数导函数可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系可导与连续的关系单侧导数单侧导数单侧导数单侧导数导数的概念导数的概念7/9/20252 Newton16421727 英国物理学家和数学家他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学”费尔马阿基米德 Archimedes 前287前212 古希腊数学家和物理学家在数学上，他利用穷竭
2、法解决了许多复杂的曲线或曲面围成的平面图形或立方体的求积问题牛 顿Pierre de Fermat 16011665 法国数学家律师业余研究数学解析几何的创始人有著名的“费尔马大定理”1638年发现求极值的方法，是微积分学的先驱7/9/20253研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度变化率问题7/9/20254 引例一变速直线运动的瞬时速度 时速度呢?如：汽车记速器显示的速度是瞬时速度，它能更准确地反映汽车每时刻的快慢程度那么，如何计算汽车行驶的瞬7/9/20255设S是某一物体从某一选定时刻到时刻 t 所走过的路程，的一个函数现要求任一，时刻 的瞬时速度瞬时速度.则S是7
3、/9/20256很小时，以匀速代替变速，那么，内的平均速度为7/9/20257越小，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度令，取极限，得到瞬时速度瞬时速度.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.7/9/20258瞬时速度 一小球做自由落体运动，考察小球在研究研究其运动方程为秒时的.7/9/202591.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5
4、 其变化情况见下表：从表上可以看出，不同时间段上的平均速度不相等，当时间段 很小时，瞬时速度为 即秒时的很接近某一确定的值19.6(m/s)，平均速度小球在7/9/202510 引例二 切线斜率 在点处的切线的斜率.求曲线割线 上点沿曲线点，无限接近的极限位置 对于曲线 割线 就是曲线在点的切线7/9/202511曲线在 点处的切线的斜率就是割线 的斜率 为时的极限 当割线 的斜率7/9/202512先以割线代替切线，算出割线的斜率，然后通过取极限，从割线过渡到切线，求得切线的斜率.7/9/202513此二例中，均匀变化与非均匀变化，局部以均匀代替非均匀平均变化率一般地,(1)(2)(3)瞬时
5、变化率7/9/202514设函数在的某一邻域内有定义.当自变量在取得增量(点仍在该邻域内)时,因变量也取得增量如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导可导，并称这个极限值为在点处的导数导数，记作即 二、概念和公式的引出 导数导数也可记作7/9/202515说明一：如果存在，处导数为无穷大导数为无穷大在处不可导不可导则称可导与不可导可导与不可导如果不存在，在处可导可导则称如果则称在7/9/202516说明二：如果函数 在区间 导函数导函数内每一点都有导数，函数 在区间，导函数导函数，即内有一也可记作，7/9/202517导数与导函数的区别与联系区别：是一常数.是一函数.联系：即 函数 在点
6、处的导数 就是导函数 在处的值，注：注：注：注：通常，导函数也简称为导数通常，导函数也简称为导数 7/9/202518说明三：导数的几何意义导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线的斜率斜率7/9/202519平行于x轴的切线垂直于x轴的切线x轴切线7/9/202520说明四：若物体的运动方程为则物体在时刻的瞬时速度为路程关于时间的变化率，即速度、加速度的表示法速度、加速度的表示法，7/9/202521时间的变化率，物体在时刻的加速度为 加速度是速度v(t)关于7/9/202522三、案例 图中所显示的是某地某年中每天最高温度的函数曲线，指出大概什么时候温度的变化率为零.天
7、天 案例1 温度曲线温度曲线7/9/202523从某一时刻开始到时刻通过该导线横截面的电量为则为的函数设有非稳恒电流通过导线 案例2 电流强度电流强度求时刻的电流强度7/9/202524 案例3 冷却速度冷却速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却.若物体的温度与时间 的函数关系为请表示出物体在时刻的冷却速度？7/9/202525 案例4 非均匀杆的线密度非均匀杆的线密度设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为于是分布在区间上的质量m是x的函数对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度线密度。如果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点线密度7/9/202526总总
8、 结结1、导数的概念2、导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线斜率3、导数的概念的应用 电流强度、冷却速度等7/9/202527导数在初等数学中的应用导数在初等数学中的应用一、导数在初等代数中的应用一、导数在初等代数中的应用 例1 已知函数，（）求函数的最大值；（）设，证明：（2004年全国高考）例2 （1）设函数 （0 1，求函数 的最 （2）设正数 满足 证明：(2005年全国)小值7/9/202528例3 已知函数 （）设 0，讨论 的单调性；（）若对任意 恒有 1，求 的取值范围 （2006年全国套第21题，14分）例4 已知函数 （0），的导函数是 ，对任意两个
9、不相 （）当 时，（）当 时，（2006年四川理22题）等的正数 、，证明：7/9/202529二、导数在几何中的应用例1 设曲线 （）在点 处的切线 与 轴、轴围成的三角形面积 为 （）求切线 的方程；（）求 的最大值 （2004年浙江）7/9/202530小结 一、导数的定义及其教学二、导数的应用7/9/202531例例 1 求函数求函数 f(x)=x2 在在 x0=1 处的处的导数，即导数，即 f (1).解解 第一步求第一步求 y：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12=2 x+(x)2.第三步求极限：第三步求极限：所以，所以，f (1)=2.第二步求第二步求 ：7/9/202
10、532由定义求导数（三步法）由定义求导数（三步法）步骤步骤:例例解解7/9/202533例例 2求函数求函数 y=x2 在任意点在任意点 x0 (,)处的导数处的导数.解解 y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02=2x0 0 x+(x)2.第二步求第二步求 ：求法与例求法与例 1 一样一样.第一步求第一步求 y：7/9/202534第三步取极限：第三步取极限：即即有了上式，求具体某一点，如有了上式，求具体某一点，如 x0=1 处处导数，导数，就很容易了，只要将就很容易了，只要将 x0=1 代入即得代入即得7/9/202535例例 3 表表明明，给给定定了了 x0 就就对对应应有
11、有函函数数 f(x)=x2的导数值的导数值,这样就形成了一个新的函数，这样就形成了一个新的函数，f(x)=x2 的导函数，它的表达式就是的导函数，它的表达式就是(x2)=2x.一般地，一般地，函数函数 f(x)的导函数记作的导函数记作 f (x)，它的它的计算公式是：计算公式是：叫做函数叫做函数7/9/202536类似例类似例 3，我们可以得，我们可以得 xn(n为整数为整数)的导函数，的导函数，当当 n 为任意实数为任意实数 时，上式仍成立，即时，上式仍成立，即(xn)=nxn-1.(x )=x -1.7/9/202537例例 4求求 f(x)=sin x 的导的导函数函数(x (，).解解
12、即即(sin x)=cos x.(cos x)=sin x.类似可得类似可得7/9/202538例例 5求求 f(x)=ln x(x (0,)的导的导函数函数.解解即即类似可得类似可得7/9/202539解解例例 6求求 f(x)=ex(x (-,)的导的导函函数数.即即(ex)=ex.类似可得类似可得(ax)=ax lna.7/9/202540函函数数 y=f(x)在在点点 x0 处处的的导导数数的的几几何何意意义义就就是是曲曲线线 y=f(x)在在点点(x0，f(x0)处处的的切切线线的的斜率斜率,即即tan =f (x0 0).yOxy=f(x)x0 0P五、导数的几何意义五、导数的几何
13、意义五、导数的几何意义五、导数的几何意义7/9/202541法线方程为法线方程为其中其中 y0=f(x0).y -y0=f (x0)(x x0).由此可知曲线由此可知曲线 y=f(x)上上点点 P0 处的切线方程为处的切线方程为7/9/202542例例 2求求曲曲线线 y=x2 在在点点(1,1)处处的的切切线线和和法线方程法线方程.解解从从例例 1 知知(x2)|x=1=2,即即点点(1,1)处处的的切线斜率为切线斜率为 2，所以所以,切线方程为切线方程为y 1=2(x-1).即即y=2 x-1.法线方程为法线方程为即即7/9/202543定理定理如果函数如果函数 y=f(x)在点在点 x0
14、 处可导处可导,则则 f(x)在点在点 x0 处连续处连续，其逆不真其逆不真.证证其中其中 y=f(x0+x)-f(x0)，所以所以六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系六、可导与连续的关系即函数即函数 f(x)在点在点 x0 处连续处连续.但但其其逆逆不不真真，即即函函数数 f(x)在在点点 x0 处处连连续续，而函数而函数 f(x)在点在点 x0 处不一定可导处不一定可导.7/9/202544例例 7 讨论函数讨论函数 y=|x|在点在点 x0=0 处的处的连续连续性与可导性性与可导性.解解 y=f(0+x)-f(0)=|0+x|-|0|=|x|，7/9/202545
15、即即 f(x)=|x|在在 x0=0 处处连续，连续，存在，存在，在在 x0=0 处处左左、右右导导数数不不相相等等，所所以以在在 x=0 处处函函数数 y=|x|不可导不可导.因为因为7/9/202546在点在点的某个的某个右右 邻域内邻域内三三、单侧导数单侧导数若极限若极限则称此极限值为则称此极限值为在在 处的处的右右 导数导数,记作记作即即(左左)(左左)例如例如,在在 x=0 处有处有定义定义2.设函数设函数有定义有定义,存在存在,7/9/202547定理定理2.函数函数在点在点且且存在存在简写为简写为若函数若函数与与都存在都存在,则称则称显然显然:在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导在开区间在开区间 内可导内可导,在闭区间在闭区间 上可导上可导.可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是且且7/9/202548内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;7/9/202549
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