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1、2 00 9 年第 2 期救学救学忍祥夕比较判断法解析高考试题20 20 4 1 华东师范大学数学系博士生 徐章韬。在数学分析里有比较判断法 若正项级数又 a 收敛, o 成 b 簇 a (乞=1 , 2 , , n , ) ,则级数 艺 b 也收敛.这种思想可用于不等式的落=l证明中. 常常见到要证形如 艺 A ) a 的不等公=l式, 其中 A (i = 1 , 2 , , n) 是一组结构相同的式子. 若能把 a 分解成a = 艺 B 的形式, 同葱=l时又 能得到 A )尽 , 则 艺 A 、 ) 艺尽 = a 得公二 1证 这种通过逐项比较并判断A ; 妻 B (乞=1 , 2 ,
2、, 司而证明 艺 A ) a 的方法称为比较判断诬=1法 . 类似地, 若人)尽 0 (乞= 1 , 2 , , 。 ),则 n A ) n 尽 , 称为比较法判断法 . 只要落二 1玄= 1运用得,寻.妙这种貌似平常的方法实非 常例 l (02 20 年全国 高考 试勘 已 知数列a 。 ,a n +,=a 吴一na 。+1 ,n=z ,2 , 3 ,当 al)3 时,证明: 对一切 n ) 1 都有 I)( a 。 李。, ,、111 .一1 ._ _.( 一 )一下异+ 一。喜n + 2;皿;二一 +一 +乞一21+a i1 +a Z1+a义分析:l( )略 .欲证 (助式, 因左右两边
3、结构不同项数也不相等不宜直接作比较为使用,”.工q.11比较判断法,把 +=丁+百+11_之1二二 , 二 .+形式.东万二的1 +a 、2乞+ 工芯甲一昌曰土上.一9,则原命题成立 由比较判断法故比较1 +a 1“1 , 2一 ) 的大小与乏=n砰了,证明:(l ) 由a 。 + ; = a 足一 n a 。 + 1 = a 。 (a 。 一。 ) + 1 ) a n (n + 2 一 n ) + 1 = Za 。 + 1 , 知 1 +a n + 1 )2 (1 + a 。 ),即1一白O11(n= 1, 2 , ),1 +a 。 一卜二1 +a 九1工 . 任上月,1 + a 一 )1
4、了 3 ,a i毛1 +1191一0,自,上上1 +1a Z1.),1 +al;、a 。簇不r (n= 1 ,2 ,卜艺肠十1及1_1土,0白 二 , 一一蕊 ) ;:,-:乞.1 1 十 a 鑫二2名一1例 2 一(2 0 0 4 年全 国高考试题 1 ) 已知数列 a 。 的前n 项和 凡 满足凡 =Za 。 + (一 1 )“ ,n )1 .(I ) 写出数列 的前 3 项 al ,a Z , a 3 ;(l )求数列a, _。的通项公式;皿)证明对任意整数。)4 ,(有1+1+17一8一a4一as二二”_a)”一、,_.牡(、牌、)开3【-()!:I略.an=22 几一2 +一 l几一
5、 ,分析n 妻 1_二不宜直接作比较 为使用比较判断法. _.,7妥把6于与不等式左边相比较的形式.拆分成易1土一1811110白叭1327因,二二:一1曰.Z一2+(一1 )污4一an“一上一4a1+十+口m可以简化成一5a十曰口On一9助 .+Om一n一o05洲,、歼万可可石一。11八11艺一州+(1 )1矛面,间一“叠.万因“ 一 1浮百 此要比较E二了下.下不二万 与卫1艺石石的大下2 1+2令T、一 l)-一葱=l可以。一4二乞,则 艺, 、华1”二 5, ,二4而百不)花.叠,;互万(一 1 )+有时取 +1有时取一 1故把相邻的两项佩J,看作一项来考虑 .证明:(l) 当 i 为
6、奇数时 有, 花下1挑百不1 万石万而3万尹2+2 乞+322+22乞+葱+万 可不厂而万 1时,yn)!下巧+ 1万。+1一x。厄。+,、军。,、 .,、_,、_+、言iy。 +i万x。1es牡11X n工几 +iX 。丈;- ,-了一二二二+二二- - -二-,二二卫卫)竺,卫三名JU0,.卫土进卫士兰+戈一 1 )艺+ (一 1 )1.,止丝王即卫止止竺x 。 + lx 。夕。一 x nZm 一” +一 1 m 一 2+2一1 爪 一丈)卫“(n 任 N)即X 。一y。蕊二,一二二 - - 二一- 一,了-*,11(+)+仍+卜 )X nx 。 + 1 一 夕。 + -十1: 击劫 +(
7、n,又工艺一乞艺二。 +任“ 一 1= 12二夸/12) (入=ilx 泛+ 1 一 兮+ z病)又1二, 一二、户、/1一!丈十、一1一八名 仔。几一入久1i= l l7鉴411上J.一A1入一 1二丁花 万一自、例 4(2 0 7 年湖北高考试题) 已知二 。 为二_111.一UO乍.从肉 一 +一十+口m一 1 时( 1 +口40 5:m)1 +。x;1111100门, , 、十十一了_L一_。 _/_1、n白Q上_。一_ + .一十十一工1_a二a 。 十 1且万几多0,匕知!1】 a4a乒气 )丁卞少几+3沂以 原不等式对 任意的整数 (。 )4 ) 都成立求证:, 一 二共 “/1
8、、m, /,”,例 3(试题)已知数列n+ J/O 时,证生匕 燕丛 (。N):分析(I ) 略()明三(助把不等式两边分别分解成。 个数之积,如+1琉1 一荣 当入 1,证明三2三+二卫兰十()n时竺由比较判断法 知若洲 沁二卫(xZ 一甘2x 3 一 万3劣。一 y 。入则命题必成立.()l(刃击)工。+ l一梦+ 1入一1一几爪、/。已n一由知一才1分析:略.欲证式,因左右两边结构不v/l瓢缩等数(了)同, 项数也不相等,为使较故猜” 一十一1/、11 几瞿罗上一.用比击一o一一n判断法n比列刀飞飞叮、/卫-、之和 .即证 1 一镇上.因入一 11、乃一,故此数列 视n +3一可 为首项
9、n + 3/“公比“1 1无 递”比(1 ) 从命题编制的角度看, (1 )和 (1 ) 应有内:In,的穷“在 联系 大了利用 (助 把()化成分式的 式贵缩的形,一)+ 2n + 1“3“久1。 。n、lp_(0一 1 时,1 +。 二 蕊 (1 +x )爪 ,由比较 判断法,故比 较竺卫.续1一竺二卫一令 x二n+3x 一1 ,x。+ 1。+1一 夕年第期救2 92!击学n十 3一m刀1、了、 J /,即有1一I一燕“、一一“(击)一 一击n(1一“ 上由已、闹“01(自.0上, 、/了、.1 m故有卜击)(,(1)利用 (n )共锐竺 “告“当)6 时,令,()( )几“. /占白上、
10、n、户. lm 依次等于 2“、.了、/一l1,O/ 11Q一,黔)“(一“默丢击)( )(、把上述各不等式两边分别相加有生些厂、 “、几+3/+ 1几/31/、 1/ 1 、 2/n五不万十 十万不百又习十戈习戈少又夕.L上,、.n/、2+ +、了、l一乙n1: .当 n妻 6 时,+ 2 )n 十+ 31,n(n(n + 1 )几 (。 + 3 )“ .原方程没有正整数解.当。 =1 时,3 尹4 , 等式不成立.当 n = 2 时, 3 2 + 4 2 = 5 2 , 等式成立.当 n = 3 时, 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 , 等式成立.当 牡 = 4 时, 34 +
11、 4 4 + 5 4 + 6 4 为偶数, 而 7 4为奇数,故 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 4 尹7 4 , 等式不成立 .当 n 二 5 时, 同 n 二 4 时情形类似, 等式不成立 .故满足原方程的正整数解为 n=2 , 3 .注 : 运用 比较判断法首先要从项数上着眼 ,由此涉及到常数的分解, 想法是 自然的.例 5(02 10 年全国高考试题) 已知 乞、 。 、 n是 正整数, 且 1 。 簇 n , 求证: 价A 盆 m A 乳.(上接第2一 73 页)丫 0 续 夸 6 0, 2 0。 一 5 S O X , 一 8 0。 , , 一 1 0碧, 8 时 0 碧分
12、 一 7 时 3 7 六分 一 3 3 若分,故小陈同学” 家庭 作业共做了 3 3 若分评注: 由例 5、 例 6 我们可以发现, 在一小时救学忍详5证明:不等式两边项数相等, 可试着用比较判断法 .记 A 氛 n7 恤氛僻 n l。 (m 一 1 ) (m 一 乞+ 1 )。 【n(、 一 1 ) (n 一 乞+ 1 )1,即要证 (。 。 ) 。 (。一 1 )1 。 (。 一 乞+ 1 )! (。 n ) 。 (n 一 1 ) 【。(n 一 乞+ 1 ).逐项 比较对应项 可。 一 劝与。 (n 一 哟, 其中无 =o , 1 , 2 , ,乞一 l ,因为 n (7n一 劝一 7n (n 一 劝= (。 一 n )k 成 0.当 k = 0 时, 。 (仇 一 0 ) = 。 (n 一 0 );当 k = 1 , 2 , , 乞一 1 时,n (。 一 k ) n7 (n 一 k ).葱一 1艺一 l