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4 对称矩阵的对角化,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,1、定理5对称矩阵的特征值为实数.,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵,2、定理6,4、定理7,3、,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,解,例1 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,得基础解系,得基础解系,单位化，得,单位化，得,得基础解系,单位化，得,解,例2 设实对称矩阵 求正交矩阵 P，使 为对角阵.,单位化，得,单位化，得,正交化，得,于是得正交阵,例3,1.对称矩阵的性质：,三、小结,(1) 特征值为实数； (2) 属于不同特征值的特征向量正交； (3) 必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且 对角矩阵对角元素即为特征值 (4) 特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值； (2)找特征向量； (3)将特征向量正交化； (4)最后单位化,思考题,