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1、第! 卷 第#期 $ % % #年 ! 8 ; $ % % # 收稿日期# $ % % # ? % 基金项目# 水利部重大科研资助项目! 水库设计运用专题研究; 文章编号# 武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室$ 湖北 武汉! ! % % C $% $;水利部国际经济技术合作交流中心$ 北京!长江水利委员会水文局$ 湖北 武汉! ! % % 介绍了利用贝叶斯因子进行模型选择结合某水库坝址洪峰流量频率分析问题$ 采用#种常用线型作为备选线型进行线型选 择与综合$ 结果表明# 线型的后验概率越大则可拟合越好% 贝叶斯模型综合能根据各线型的后验概率设置权重进 行加权平均$ 以此减小线型选择的不
2、确定性; 关键词# 频率分析% 贝叶斯因子% 贝叶斯模型综合% 统计试验 中图分类号# H: B!文献标识码#D ! / E / 0 2 5) $) 4 / * ) 5 2 5 ( 8 + , ( 0 8 * . ( 0 1 . ( . S * 0 ( PH + 4 ( * 0 1 W 4 0 , ) +e L . ? . G + , 0 8 * . (L + ( 8 + ,. 2N * ( * 7 8 , 9. 23 0 8 + ,O + 7 . / , + 7$ E + * K * ( )$M 9 P , . 1 . ) 9E / , + 0 /. 2L 4 0 ( ) K * 0 ( )
3、3 0 8 + ,O + 7 . / , + 7L . SS * 7 7 * . ( $3/ 4 0 ( ! % % E 0 7 + P/ G . (8 4 +N . ( 8 +L 0 , 1 .+ W G + , * S + ( 8 7$8 4 + 8 , / +S . P + 1 0 (R + * P + ( 8 * 2 * + P * (S . 7 8 8 * S +$* ( ? P * 0 8 * ( ) 8 4 0 8 8 4 +G + , 2 . , S 0 ( + 7. 2E 0 9 + 7 * 0 (S . P + 1 7 + 1 + 8 * . (0 , + 2 2 * *
4、+ ( 8 ;D 0 7 +7 8 / P 9. (8 4 +0 ( ( / 0 1S 0 W * S / S P * 7 4 0 , ) + 7. 2 0 + , 8 0 * (, + 7 + , 6 . * , * 7P * 7 / 7 7 + P$Q 4 * 4 * ( P * 0 8 + 7 8 4 0 8 8 4 +E ND 0 ( 2 * 8 8 4 + S G * , * 0 1 G 1 . 8 8 * ( )G . * ( 8 7 6 + , 9Q + 1 1 R 90 6 + , 0 ) * ( )G , . R 0 R * 1 * 8 9P * 7 8 , * R / 8
5、* . ( 7Q * 8 4G . 7 8 + , * . ,G , . R 0 R * 1 * 8 9 ; H 4 + . ( 1 / 7 * . ( 70 , +P , 0 Q (8 4 0 8 8 4 + E ND* 7/ 7 + 2 / 1 8 .P + 0 1Q * 8 48 4 +S . P + 1 / ( + , 8 0 * ( 8 9 * ( 2 , + _ / + ( 90 ( 0 1 9 7 * 7 ; 7 / %8 在我国$ 结合 许多长期洪水系列分析结果和多年设计工作的实 际经验$ 一直采用皮尔逊*型曲线 $!($ 并已写入 规范 (# ) 径流频率曲线的线型$ 应采用
6、皮尔逊* 型;经分析论证$ 也可采用其他线型;* 这是在皮尔 逊*型曲线能拟合我国大部分资料的基础上$ 为了 设计的统一 !第#期 刘!攀等! 基于贝叶斯理论的水文频率线型选择与综合 但洪水过程的形成受多种复杂因素影响 它的总体 分布# 频率曲线$ 本身是未知% 有待估计的孙济良等但金光炎因 此 选择何种水文频率线型 仍是频率分析中尚需 研究的问题; 另一方面 不论采用哪一种线型 都缺乏物理 根据 仅仅是对客观物理现象的一种拟合 减小线型不确定性的有效方法是对各 种线型进行综合 3 . . P等本文首先介绍贝叶斯因子方法在 线型选择与综合中的理论和方法 然后通过统计试 验验证了该方法的有效性
7、并以某水库坝址洪峰流 量# 年取样$ 频率分析为背景 选用#种常用的线型 作为备选线型进行分析计算 以此探讨贝叶斯方法 在线型选择与综合中的应用; $!理论与方法 :; 9!贝叶斯模型选择 频率# 经典$ 学派在分布函数的选择与检验中 # 如采用/ $ 检验法$ 一般采用显著度水平来判断 是否应该拒绝# 接收$ 检验分布 但贝叶斯统计学家 指出 :!贝叶斯模型综合 在频率分析计算中 可能有很多线型都可以较 好的拟合数据 但在曲线的外延# 如推求设计洪水$ 中会有明显不同的结果 此时 仅选择一个模型可 能是不够的 即模型的选择具有不确定性;为了减小 模型自身的不确定性 可以对各模型得出来的结果
8、进行综合! 其中最简单的情形是各种模型取同样的 权重 即对各模型的计算结果进行算术平均( 而贝叶 斯模型综合#E ND$ 可以在模型综合中* 自动+ 地考 虑各模型符合数据的优劣情况 赋予不同的后验概 率;假定对于实测数据G属于模型T的先验概率 为-#T$ 则根据贝叶斯公式 则后验概率为 -#T4G$( -#T$!#G4T$ Y 6(%$ 表示频率分析流量# 洪量或雨量$ 大 于; %的概率/#;%,T$ 表示在模型T下流量# 洪 量或雨量$ 大于; %的概率 则可以根据样本数据适 合模型的后验概率设置权重 进行模型综合# 加权 平均$ ! /#;%$( Y (%4T$-#T4G$ # $ C
9、! 武汉大学学报! 工学版 $ % % # !其估计方差为 #% $( Y (%4T $, /!;%4T $% $ ! # !理论已经证明 # 采用式! A 估计贝叶斯因子时 需要对模型参数 进行极大似然估计;但某些水文频率线型! 如皮尔逊 *型分布 一般得不到似然估计的解析解 这里采用 牛顿?拉夫森! + Q 8 . ( ? O 0 G 4 7 . ( 方法求解似然函数 方程组# 在寻优过程中 似然 函数方程组的解可能不唯一 因此可以从不同的初 始点出发计算 取使似然函数最大的参数为最后的 结果;需要说明的是 对于某些线型在特定情况下 ! 如皮尔逊*型分布在9 8.$ ; %时 不存在极大似
10、然 估计 因此采用这种方法有一定的局限性; 综上所述 得出利用贝叶斯因子进行模型选择 或模型综合的计算步骤为( 如果不存在 则用矩法! 或其他方法 估计 的参数直接计算似然函数值; 用牛顿?拉夫森方法对各模型参数进行极 大似然估计 用式! A 计算各模型间的贝叶斯因子; (如果需要进行模型选择 可根据表 值得指出来的是 在模型综合中 虽然贝叶斯 因子可由计算极大似然值进行估计 但对于各模型 不一定非得采用极大似然方法来估计模型参数 也 就是说 模型综合与模型参数的估计是相互独立的 两个过程 这也是贝叶斯因子方法不同于采用混合 分布# !统计试验 为了检验贝叶斯因子在模型选择与综合中的 有效性
11、采用统计试验进行验证;选择国内外常用 的#种线型作为备选线型 包括( ! 试验方法如下( 1给定取样容量 这里列出分别以X ? *Z X ? *Z !以及I : 作为原始分布的试验结果! 平均后验概率 如表 $#所示;可以看出( ! 说明取样数据越多 则越能, 识 别- 真实的线型; ! $ 理论上 如果样本容量 ! !第#期 刘!攀等! 基于贝叶斯理论的水文频率线型选择与综合 表:!L 分布生成随机数统计试验结果表 线型 # $ B A C%; B C %; B $ Z X ? *%; # C %; % $ % % % Z !%; % % % % %; % % % % #%; % % # I
12、 :%; % % %; % % %; % % % % %; % % $ I Z%; % % % % %; % % % #%; % % 表!; L 分布生成随机数统计试验结果表 线型 % % % %; % % %; % % %; % % %; % % % Z X ? *%; ! $ $ %; # A A%; # !%; B $ C%; B C Z !%; A ! C B%; % A%; % % % % % % % %; % % %; % % %; % % % I Z%; % A C%; % # #%; % A % # B%; % T 分布生成随机数统计试验结果表 线型 % % % %; % %
13、%; % % % Z X ? *%; $ C $ %; $ % C A%; % C B Z !%; # A !%; C !%; B B $ % I :%; % % A%; % % % % %; % % %; % % % I Z%; % # %; % ! %; % % % C%; % % % 表C!U K V分布生成随机数统计试验结果表 线型 $ C % %; % $%; % % % % %; % % % Z X ? *%; % % % % %; % % %; % % %; % % % Z !%; % % %; % % $%; % % % % %; % % % I :%; A A%; C A%;
14、 B B A B%; B C % I Z%; % !%; % %; % C B%; % ! % ! % !# 由试验结果可知$ 识别不同分布所需的样 本容量也不相同$ 但总的来看$ 如果要较正确地识 别真实分布$ 样本容量 以上; !频率分析计算与综合 这里采用两种方法估计模型参数! 为了评价各线型 包括综合模型# 的优劣$ 采用 下面两个指标进行评定% $ !#0;$# $# 为第个实测值;!# 为经验频率$ 的预测值% 表O!某水库坝址洪峰流量频率分析结果表 线型概率 适线法 / $ *T+ #g $ #$ B B C! # $ !$ C %; C %; $ # B A %$ 3 0 8
15、+ ,O + 7 . / , + 7O + 7 + 0 , 4# O * 7 US . P + 1 72 . ,2 1 . . P1 + 6 + + P + 7 * ) ( 3 0 8 + ,O + 7 . / , + 7O + 7 + 0 , 4# E 0 9 + 7 * 0 ( 2 , + _ / + ( 90 ( 0 1 9 7 * 7 - . / , ( 0 1 . 2 8 4 +M 9 P , 0 / 1 * 7 * 6 * 7 * . (# H 4 + H + ( 8 4 / , . G + 0 (L . ( 2 + , + ( +. (F 0 2 + 8 90 ( PO + 1
16、* 0 R * 1 * 8 9 N / ( * 4 ? I 0 , 4 * ( )#I + , S 0 ( 9# 统计决策论及贝叶斯分析贾乃光 译;北京$ 中国统计出版社# E 0 9 + 7V 0 8 . , 7 - . / , ( 0 1. 2 8 4 +DS + , * 0 (F 8 0 8 * 7 8 * 0 1D 7 7 . * 0 8 * . (# E 0 9 + 7 * 0 (S . P + 1 0 6 + , 0 ) * ( )$0 8 / 8 . , * 0 1 F 8 0 8 * 7 8 * 0 1 F * + ( +# 7 8 * S 0 8 * ( )8 4 +P *
17、S + ( 7 * . (. 20S . P + 1 D ( ( 0 1 7. 2F 8 0 8 * 7 8 * 0 1# ( 2 . , S 0 8 * . (8 4 + . , 90 ( P0 (+ W 8 + ( 7 * . (. 2 8 4 + S 0 W * S / S1 * U + 1 * 4 . . PG , * ( * G 1 + $ ( PF 9 S G . 7 * / S. ( ( 2 . , S 0 8 * . ( H 4 + . , 9D U 0 P + S * 0 *Y * 0 P .#E / P 0 ? G + 7 8# $ A C ? $ &; L . S G 0
18、 , * 7 . ( . 20 ( ( / 0 1S 0 W * S / S7 + , * + 70 ( PG 0 , 8 * 0 1P / , 0 8 * . (7 + , * + 7 S + 8 4 . P 72 . , S . P + 1 * ( )+ W 8 , + S +4 9 P , . 1 . ) * 0 1+ 6 + ( 8 7# 3 0 8 + ,O + 7 . / , + 7O + 7 + 0 , 4# D6 + , 7 0 8 * 1 +2 1 . . P2 , + _ / + ( 9S + 8 4 . P . 1 . ) 9 3 0 8 + , ( 8 + , ( 0
19、8 * . ( 0 1# O + ) * . ( 0 1 2 , + _ / + ( 90 ( 0 1 ? 9 7 * 7$0 (0 G G , . 0 4R 0 7 + P. (Z ? N . S + ( 8 7 Z . ( P . ($ L 0 S R , * P ) +5 ( * 6 + , 7 * 8 9X , + 7 7# V 1 . Q ? P / , 0 8 * . ( ? 2 , + _ / + ( 9R + 4 0 6 * . / ,. 2E , * 8 * 7 4, * 6 + , 7 R 0 7 + P. (0 ( ( / 0 1S * ( * S 0P 0 8 0 - . / , ( 0 1. 2M 9 P , . 1 . ? ) 9#$ % % !$ C C $ X ? *型分布参数估 计方法的比较研究水电能源科学#$ % % !#$ %