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1、第二讲 轴对称回转薄壳内力分析教师：敬加强Tel: 83032202（H）83032075（O）Email: 第一讲内容回顾钢油罐设计的基本知识 钢油罐的发展趋势及面临的新课题 钢油罐的种类、结构特点和适用范围 钢油罐的基本要求 钢油罐材料的选择西南石油学院-1958, 第二讲 轴对称回转薄壳的内力分析大纲要求：轴对称回转薄壳的内力分析；轴对称回转壳体的薄膜内（应）力分析；曲管在内压作用下的薄膜应力计算。重点：回转薄壳、中面、主曲率线、曲率中心、无矩理论等概念，体素方程、区域平衡方程及它们的应用。难点：空间想象能力。西南石油学院-1958, 本讲主要教学内容 回转薄壳的基本概念和几何特征 轴对
2、称回转薄壳的内力分析有力矩理论基本方程无力矩理论区域平衡方程西南石油学院-1958, 本讲主要教学要求掌握回转薄壳的基本概念、几何特征以及研究薄壳问题的基本假设；学会分析单元体的受力情况，并能列出相应的单元体基本方程；掌握轴对称回转薄壳的无力矩理论区域平衡方程的建立方法。西南石油学院-1958, 回转薄壳的基本概念 壳体：两个曲面所限定的物体，且两曲面间距比物体的其它几何尺寸都小。 中面：壳体厚度的中点所构成的面，即距壳体内、外表面有同等距离的面。 壁厚：壳体内外表面间的法向距离。西南石油学院-1958, 回转薄壳的基本概念 薄壳：壳体厚度t远小于壳体中面的最小曲率半径R。设计上限定t/R1/
3、20或t/D1/10（D为壳体内径）。对于薄壳，一般用中面表示其几何特征。 回转面：由一条平面曲线环绕该平面内某一轴线旋转而成的曲面。西南石油学院-1958, 经线曲 回转面及几何特征率中心纬线曲率半径r平行圆纬线母线纬线曲率中心 基准子午面经线曲率半径r经线rd rds法线ds曲率： k = y(1 + y 2 )3 / 2曲率半径： = 1 k经线曲率中心纬线曲率半径r平行圆 中面微元线素长度h经线曲率半纬线曲径r率中心rd经线的线素长度：rds = r ddsds壳体平行圆半径：r = r sin rOKh 中面微元线素长度r壳体的平行圆半径：dhr = r sin （2-1）rdsr经
4、线的线素长度：drds = r d （2-2）rdr = ds cosdh = ds sin （2-3）式（2-2）代入式（2-3）得：西南石油学院-1958, 中面微元面积dh= r sin dr= r cos（2-4）dd式（2-4）第二式和式（2-1）两端相除得：1 dr=rctg（2-5）r dr同样，平行圆的线素长度：ds = rd = r sin d（2-6）故中面面素为：dA = ds ds = r r sin dd（2-7）回转薄壳的基本概念 回转薄壳：以回转面为中面的薄壳。 轴对称回转薄壳：几何形状、载荷和约束条件都对称的回转薄壳。思考题：以半圆、直线、斜线、椭圆为经线的回
5、转面分别是什么形状的曲面？西南石油学院-1958, 回转薄壳几何特征的补充说明 r意义：决定壳体的几何形状； r意义：决定壳体的大小； 位置及长度：任一点处的r和r位于同一直线上，但除球壳外，其它长度均不同。西南石油学院-1958, 回转薄壳的几何特征 r和r的确定对于几何形状简单的壳体，如球壳和圆柱形壳等的r和r一般可由作图法确定。对于几何形状较复杂的壳体，如椭球形壳，一般根据经线的曲线方程和高等数学的知识计算出r ，然后根据几何关系计算出r 。曲率： k = y(1 + y 2 )3 / 2曲率半径： = 1 k西南石油学院-1958, 回转薄壳的几何特征常见壳体的r 、 r 圆锥壳r =
6、 r = cosR 式中，R为壳体上任一点的平行圆半径，为经线与回转轴的夹角。西南石油学院-1958, 回转薄壳的几何特征 圆柱壳r = r = R其中，R为圆柱壳横截面半径。 球壳r = r = R其中，R为球壳半径。西南石油学院-1958, 回转薄壳的特点（1）薄壁外径/内径1.2或壁厚/内径0.1薄壁（两向应力状态）低中压；厚壁（三向应力状态）高压。（2）轴对称问题几何形状、外载荷、约束条件均对称于回转轴。西南石油学院-1958, 研究薄壳问题的基本假设完全弹性体：和符合虎克定律，且材料连续、均匀和各向同性。小位移：壳体受力后各点的位移都远小于壁厚。直线法：中面的法线变形前后保持为直线且
7、中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变，即该二方向的剪应变为零。不挤压：壳体各层纤维变形前后互不挤压。西南石油学院-1958, 有力矩理论基本方程的建立 取微单元体； 受力分析（外力和内力）； 由经、纬向及微元中心法向的静力平衡条件列方程； 整理简化。西南石油学院-1958, d 内力分析（单位长度）N+ dNMM+ dMQ+ dQxNzNPydr体素中心点P为原点Mx-角增大切向为正Qy-角增大切向为正NMz-P点内法向为正薄壳几何形状与载荷的轴对称四个截面上无扭矩、经线截面上无剪力内力的正负规定法向力N和N：若使单元体受拉，取为正；反之若使单元体受压，则为负。弯矩M和M：若使单元体向外挠曲
8、（即增加曲率半径），则为正；反之为负。剪力Q：若指向z轴正方向而其所作用截面的外法线指向x轴的正方向，或Q指向z轴的负方向，而其所作用截面的外法线亦指向x轴的负方向时，则Q为正。西南石油学院-1958, dQ+ dQMN+ dNM+ dMzN drMN西南石油学院-1958, 主要内力相应的应力Z0同一纬线上各点位移相同，单元体上无扭剪力。经向应力（kgf/cm2）：取决于N （kgf /cm）纬向应力（kgf/cm2）：取决于N（kgf /cm）z法向剪应力：取决于Q西南石油学院-1958, 体素截面上的内力 abcd和efgh截面上法向力：NdS= Nrd弯 矩：MdS= Mrd adeh
9、截面上 法向力： N dS = N rd = N r sin d剪 力：Q dS = Q rd = Q r sin d弯 矩：M dS = M rd = M r sind西南石油学院-1958, 体素截面上的内力 bcfg截面上N dS + d (N dS ) = N r sin d +d (N r sin )ddd法向力：= N r sin d + (N r sin ) dd剪力： Q r sin d + (Q r sin ) dd弯矩： M r sin d + (M r sin ) dd西南石油学院-1958, 轴对称薄壳体素的外力分析 外力q：单位面积上的外载面力：气、液压体力：重力 外
10、力的分解qx(沿x轴正向)、qy(沿y轴正向)、 qz(沿z轴正向)西南石油学院-1958, 体素上的外力分解当薄壳受自重作用时，作用在中面kimn上的载荷q可分解为沿x轴上的载荷qx和垂直于面素即z轴上的载荷qz。x轴分力： qx dA = qx dS dS = qx r r sin ddz轴分力： qz dA = qz dS dS = qz r r sin dd西南石油学院-1958, z轴方向上的受力分析（1）外力q在z轴方向的分力q z dA = q z r r sin dd（2）经线力N在z轴方向的分力 2 Ndr sin d = Nr sin dd2 dS（2-6）（3）圆周力N在
11、z轴方向的分力 N d sin r ddS（2-2）西南石油学院-1958, z轴方向上的受力分析（4）剪力Q在z轴方向的分力 bcfg截面与adeh截面上的剪力在z轴上的投影，即分别乘以cos(d/2)1，亦即： Q r sin d + Q r sin d + (Q r sin ) dd= (Q r sin ) dd西南石油学院-1958, 体素经线截面上的内力分解z 体素纬线截面上的内力分解单元体的力平衡方程据Fz=0，可得单元体在z轴上的平衡方程：(Q r sin)dd + N r sindd +N r sindd + qzr r sindd = 0（2-9）方程两端同时除以 d d 得
12、：(Q r sin)+ N r sin + N r sin + q r r sin = 0 (2 12) z 西南石油学院-1958, 单元体的力平衡方程同理，据Fx=0与Fy=0 ，可得单元体在x轴与y轴上的平衡方程：(Nr sin) Nr cosQr sin+qxrr sin =0(211)(Mr sin) Mr cosQrr sin =0(213)式（2-1113）即为壳体内力分析的基本方程，含5个未知数，尚需补充两个位移方程才能求解。注意：qx与qz均为外载（自重）q沿X轴与y轴正向的分力，若二者实际方向相反，则必须带“”号。西南石油学院-1958, 无力矩区域平衡方程的建立方法 无力
13、矩理论的引入及其假定； 取隔离体； 隔离体在回转轴方向上的受力分析； 由回转轴方向上的静力平衡条件列方程； 整理简化。西南石油学院-1958, 轴对称回转薄壳的无力矩理论轴对称回转薄壳中的弯矩很小，忽略后可以使壳体的应力分析大大简化。忽略弯矩的壳体理论称为无力矩理论，亦称薄膜理论。壳体问题按无力矩理论所得到的解答称为薄膜解。西南石油学院-1958, 轴对称回转薄壳的无力矩假设基本假设：假定整个薄壳的所有横截面上都没有弯矩，即M=M=0，故Q0（如果Q0，则 Q和QdQ一定会产生弯矩）。西南石油学院-1958, 取隔离体及其受力分析沿壳体上任Z2 NN N意平行圆（半径为R）正截壳体，取其中一部
14、分作为研r + drRrpdldQ究对象，如右图所示。 O Q2Q1西南石油学院-1958, 外力在回转轴上的合力假设以回转轴oz为正方向，则：（1）外载在oz方向上的合力为：Q = Q1 + Q2式中： Q1壳体自重在oz方向的投影；Q2载荷在oz方向的投影。西南石油学院-1958, 外力在回转轴上的合力对于Q2的计算：在隔离体上取dl长的一个微元环，其半径为r，则：pdQ = 2r dl p2dQ2在oz上的投影为： cos = 2r dl p dr= 2rp drdQ2 = dQ2dl西南石油学院-1958, 外力在回转轴上的合力Q2 = 0R 2rpdr如果载荷为气体，即p = Con
15、stant，则：Q 2 = R 2 p如果载荷为液体，如图所示，则：p = g(H z) Q2 = 0R 2rg ( H z )dr西南石油学院-1958, 外力在回转轴上的合力当壳体为开式，如图所示，则：Q2 = RR0 2rpdr西南石油学院-1958, 内力在回转轴上的合力（2）内力N在oz方向的投影为： = N sin N = N cos2而 N = 2Rt = 2Rt N = 2Rt sin 西南石油学院-1958, 轴对称回转薄壳的区域平衡方程据 Fz = 0 ，即 Q + N = 0 ，则： Q1 RR0 2rpdr + 2Rt sin = 0Q1+R 2rpdrQ1 + Q2 =R0=2Rt sin 2Rt sin 此即轴对称回转薄壳的无力矩区域平衡方程，它反映了外载与内力在回转轴上的平衡。西南石油学院-1958,