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1、1,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,9.8-9.9多元函数的极值及条件 极值,2,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,3,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取
2、得极值 ,则有,存在,故,4,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,5,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,6,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,7,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解
3、: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,8,例(最小二乘法) 在实际问题中，常常要从一组观测数据(xi,yi)(i=1,n)出发，预测函数y=f(x)的表达式从几何上看，就是由给定的一组数据(xi,yi)(去描绘曲线y=f(x)的近似图形，这条近似的曲线称之为拟合曲线，要求这条拟合曲线能够反映出所给数据的总趋势(参看下图). 作曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是常用的一种，它是根据实际数据采用一种“直线拟合”:的方法,也就是用线性函数来作逼近,9,假定
4、所给的数据点(xi,yi)(的分布大致成一条直 线，设它的方程为,y=ax+b,其中系数a、b待定.将xi 代入直线方程，得,这与实测到的值yi有偏差,称=(a,b)为平方总偏差.,现在求a,b，使得平方总偏差达到最小，则所得直线 y=ax+b就是所给数据的最佳拟合直线.,作偏差的平方和,10,由极值的必要条件，有,于是得到a、b所满足的方程,由此方程组解出a、b，则y=axb就是所要求的直线方程.,11,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点(假设 f 可微),边界上的最值点,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,
5、为最小 值,(大),(大),依据,12,例3.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,13,例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,14,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,
6、而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,15,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,16,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,17,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,18,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束
7、条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,19,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,20,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如
8、何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,21,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,22,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,23,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C
9、, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,24,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,25,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,26,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2. 求平面上以,