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1、一、单项选择题（每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。2018年1月得分评卷人1某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1A2A3表示()。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发2对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有()。A. X和Y独立。 B. X和Y不独立。C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)3下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。A 。 B. C. D
2、. ，4设随机变量X, Y, , 则有（ ）A. 对于任意的, P1=P2 B. 对于任意的, P1 P25设X为随机变量，其方差存在，c为任意非零常数，则下列等式中正确的是（） AD(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)得分二、填空题（每空3分，共15分）评卷人6 设3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A2E|= 。7设A= ，则= 。8设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P，则该系统正常工作的概率为 。9设随机变量的概率密度函数为，则概率 。10设二维连续型随机变
3、量的联合概率密度函数为，则系数 。得分三、计算题（每小题10分，共50分）评卷人11求函数的傅氏变换 (这里)，并由此证明：12发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求（1）收报台收到信号“1”的概率；（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。13设二维随机变量的联合概率函数是求：（1）常数c；（2）概率P(XY )；（3）X与Y相互独立吗？请说出理由。14将
4、n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。15设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX得分四、证明题（共10分）评卷人16.设a=(a1,a2,an)T，a10,其长度为a，又A=aaT,(1) 证明A2=a2A；(2) 证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；(3) A能相似于对角阵吗？若能,写出对角阵.得分五、应用题（共10分）评卷人17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在2000,4000( 单位
5、：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共15分）1B2C3D4A5A 二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 9 7. 1 8. 1(1P)3 9. 3/4 10. 12三、计算题（每题10分，共50分）11.解答：函数f(t)的付氏变换为：F(w)= （3分） = (2分)由付氏积分公式有f(t)=F(w)= (2分) = = （2分）所以 （1分）12.解答: 设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号
6、1” （2分）(1)由全概率公式 （1分）有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）(2)由贝叶斯公式 （1分）有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1分）13.解答:(1) 由联合概率密度的性质有即 （2分）从而 c=8 （2分）(2) （2分）(3) 当x0时， （2分）当x=0时, 同理有 （1分）因 故X与Y相互独立 （1分）14.解答：设 i =1,2,N (2分)则 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)
7、15.解答：（1）随机变量的取值为1，2，3。 （1分）依题意有： （3分）的分布函数 （1分）由条件知：当时， （1分） 当时， （1分）当时， （1分）当时， （1分）（2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、证明题（共10分）(1) A2=aaTaaT=aTa aaT =a2A （2分）(2)因 Aa= aaT a=aTaa= a2a （2分）故a是A的一个特征向量。又A对称，故A必相似于对角阵 （1分）设A diag(1,2,n)=B, 其中1,2,n是A的特征值 (1分)因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分)从而1,2,n中必有n-1个为0, 即0是A的n-1重特征值 （1分）(3) A对称，故A必相似于对角阵，=diag(a2, 0,0) (2分)五、应用题（共10分）解答:设y为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z表示国家的收益（万元）, （1分）则有 （4分）因 X服从R(2000,4000), 故有 (1分)所以 =( y2 7000y + 4106 ) /1000 (3分)求极值得 y=3500 (吨) (1分)