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1、半角模型例题已知，正方形ABCD中，EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F，且EAF45 结论1：BEDFEF结论2：SABESADFSAEF结论3：AHAD结论4：CEF的周长2倍的正方形边长2AB结论5：当BEDF时，CEF的面积最小结论6：BM2DN2MN2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8：EA、FA是CEF的外角平分线结论9：四点共圆结论10：ANE和AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11：MN22EF（可由相似得到）结论12：SAEF2SAMN（可由相似的性质得到）结论5的证明：设正方形ABCD的边长为1则SAEF1S1S2S3 112x12y12(1
2、x)(1y) 1212xy所以当xy时，AEF的面积最小结论6的证明：将ADN顺时针旋转90使AD与AB重合DNBN易证AMNAMNMNMN在RtBMN中，由勾股定理可得：BM2BN2MN2即BM2DN2MN2结论7的所有相似三角形：AMNDFNAMNBMEAMNBANAMNDMAAMNAFE结论8的证明：因为AMNAFE32因为AMNBAN3424因为ABCD1412结论9的证明：因为EANEBN45A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A、M、F、D四点共圆C、E、M、F四点共圆 *必会结论- 图形研究正方形半角模型已知：正方形，、分别在边、上，且
3、，、分别交于、，连.一、全等关系（1）求证：；DG2BH2HG2；平分，平分.二、相似关系（2）求证：；.（3）求证：；.三、垂直关系（4）求证：；.（5)、和差关系求证：；.例1、在正方形ABCD中，已知MAN45，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD中，B+D180，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证：EAF12BAD例3、在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=120，若BD=5，CE=8，求DE的长。例4、请阅读下列材料：已知：如图1在中，点、分别为
4、线段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 例5、探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的
5、点，且EAF=BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.练习巩固1：如图，在四边形ABCD中，BD90，ABAD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且EAF12BAD . 求证：EF=BE +DF.练习巩固2：如图，在五边形ABCDE中，ABBCCDDEEA，CAD12BAE，求BAE的度数练习巩固3：已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）
6、于点M、N （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固4(1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD求证：;(2) 如图在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF12BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明(3) 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF12
7、BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（4）如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长 cm；求证：EPAEDP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点（1）若EAF45求证：EFBEDF（2）若AEF绕A点旋转，保持EAF45，问CEF的周长是否随AEF位置
8、的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD的边长为1，如果CEF的周长为2求EAF的度数图17练习巩固5、如图，已知在正方形ABCD中，45，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MNMBDN； （2）点A到MN的距离等于正方形的边长； （3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍； （4）； （5）若20，求； （6）若，求； （7）； （8）与是等腰三角形； （9）。练习巩固6、在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如图，当点在边上，且时，猜
9、想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_(用表示)练习巩固7、如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M，N分别在AB，AC上，求AMN的周长练习巩固8、如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF5，DF4，求BAEDCF为多少度。巩固练习9、如图1，RtABCRtEDF，ACBF90，AE30。EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K(1)如图2、图3，当CDF0 或60时，AMCK_MK(填“”，“”或“”)(2)猜想：如图1，当0CDF60时，AMCK_MK，证明你所得到的结论(3)如果，请直接写出CDF的度数和的值