1、上页 下页 返回 结束 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、问题的提出一、问题的提出二、微分方程的定义二、微分方程的定义三、主要问题三、主要问题求方程的解求方程的解四、小结四、小结 思考题思考题 第五章第五章 常微分方程常微分方程7/10/20251上页 下页 返回 结束 解解一、问题的提出一、问题的提出7/10/20252上页 下页 返回 结束 解解7/10/20253上页 下页 返回 结束 代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需7/10/20254上页 下页 返回 结束 微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程
2、凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例例实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、微分方程的定义7/10/20255上页 下页 返回 结束 微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之高阶导数的阶数称之.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:2:分类分类3 3:线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.7/10/20256上页 下页 返回 结束 微分
3、方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.7/10/20257上页 下页 返回 结束(2)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条
4、件.7/10/20258上页 下页 返回 结束 过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.7/10/20259上页 下页 返回 结束 解解7/10/202510上页 下页 返回 结束 所求特解为所求特解为补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)7/10/202511上页 下页 返回 结束
5、 思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.7/10/202512上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题7/10/202513上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案7/10/202514上页 下页 返回 结束 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程 7/10/202515上页 下页 返回 结束 一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法7
6、/10/202516上页 下页 返回 结束 例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分典型例题7/10/202517上页 下页 返回 结束 解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律7/10/202518上页 下页 返回 结束 思考题思考题求解微分方程求解微分方程思考题解答思考题解答为所求解为所求解.7/10/202519上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案7/10/202520上页 下页 返回 结束 二、齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1
7、1.定义定义7/10/202521上页 下页 返回 结束 例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的通解为微分方程的通解为解解7/10/202522上页 下页 返回 结束 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解7/10/202523上页 下页 返回 结束 微分方程的解为微分方程的解为7/10/202524上页 下页 返回 结束 利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为7/10/202525上页 下页 返回 结束 思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导
8、原方程原方程是是齐次方程齐次方程.7/10/202526上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案7/10/202527上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.三、一阶三、一阶线性微分方程线性微分方程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.7/10/202528上页 下页 返回 结束 齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)2.线性非齐次方程线性非齐次方程非齐次方程通解形
9、式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:7/10/202529上页 下页 返回 结束 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换7/10/202530上页 下页 返回 结束 积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解7/10/202531上页 下页 返回 结束 解解例例1 17/10/202532上页 下页 返回 结束 例例2 2 如图所示，平行与如图所示，平行与
10、 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程7/10/202533上页 下页 返回 结束 所求曲线为所求曲线为7/10/202534上页 下页 返回 结束 解解例例 3伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程7/10/202535上页 下页 返回 结束 例例4 4 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为7/10/202536上页 下页 返回 结束 解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为7/1
11、0/202537上页 下页 返回 结束 解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解7/10/202538上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.7/10/202539上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题7/10/202540上页 下页 返回 结束 7/10/202541上页 下页 返回 结束 7/10/202542上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案7/10/202543上页 下页 返回 结束 第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程基本解法是：基本解法是：基本解法是：基本解法是：通过代
12、换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.7/10/202544上页 下页 返回 结束 7/10/202545上页 下页 返回 结束 解解代入原方程代入原方程解线性方程解线性方程,得得两端积分两端积分,得得原方程通解为原方程通解为例例 27/10/202546上页 下页 返回 结束 7/10/202547上页 下页 返回 结束 7/10/202548上页 下页 返回 结束 7/10/202549上页 下页 返回 结束 解解代入原方程得代入原方程得 原方程通解为原方程通解为例例 47/10/202550上页
13、 下页 返回 结束 解解将方程写成将方程写成积分后得通解积分后得通解注意注意:这一技巧性较高这一技巧性较高,关键是配导数的方程关键是配导数的方程.例例 57/10/202551上页 下页 返回 结束 例例6.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得7/10/202552上页 下页 返回 结束 小结小结：三类可降阶的高阶方程三类可降阶的高阶方程解法：求解法：求n次积分即可次积分即可7/10/202553上页 下页 返回 结束 解法解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解通过代换将其化成较低阶的方程来求解.思考题思考题7/10/202554上页 下页 返回 结束 思
14、考题解答思考题解答都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为7/10/202555上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题7/10/202556上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案7/10/202557上页 下页 返回 结束 第四节第四节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构一、两个函数的线性相关性一、两个函数的线性相关性二、二阶线性齐次微分方程的解的结构二、二阶线性齐次微分方程的解的结构四、小结四、小结 思考题思考题 三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构7/10/202558上页
15、 下页 返回 结束 二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程7/10/202559上页 下页 返回 结束 定定义义设设函函数数 y1(x)和和 y2(x)是是定定义义在在某某区区间间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x)+k2 y2(x)=0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关，我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，事事实实上上，当当 y1(x)与与 y2(x)线
16、性相关时，有线性相关时，有 k1 y1+k2 y2=0，其其中中 k1,k2 不全为不全为 0，如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2，使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x)与与 y2(x)在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.一、两个函数的线性相关性一、两个函数的线性相关性7/10/202560上页 下页 返回 结束 即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数.反反之之，若若y1 与与 y2 之之比比为为常常数数，则则 y1=l l y2，即即 y1-l l y2=0.所以所以 y1 与
17、与 y2 线性相关线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数例如函数 y1=ex，y2=e-x，如果不是常数如果不是常数 则它们线性无关则它们线性无关.例如例如线性无关线性无关7/10/202561上页 下页 返回 结束 问题问题:二、二阶线性齐次微分方程的解的结构二、二阶线性齐次微分方程的解的结构定理定理1:1:7/10/202562上页 下页 返回 结束 定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y +p(x)y +q(x)y=0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y=
18、C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，则则其中其中 C1,C2为任意常数为任意常数.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为7/10/202563上页 下页 返回 结束 3.3.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:7/10/202564上页 下页 返回 结束 解的叠加原理解的叠加原理7/10/202565上页 下页 返回 结束 练练 习习 题题 练习题答案练习题答案7/10/202566上页 下页 返回 结束 第五节第五节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分方程思考题思考题 二、二阶常系数
19、线性非齐次微分方程二、二阶常系数线性非齐次微分方程7/10/202567上页 下页 返回 结束 定义n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式7/10/202568上页 下页 返回 结束 一、二阶常系数齐次线性方程解法一、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根7/10/202569上页 下页 返回 结束 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性
20、无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为7/10/202570上页 下页 返回 结束 有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为7/10/202571上页 下页 返回 结束 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为7/10/202572上页 下页 返回 结束 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1
21、17/10/202573上页 下页 返回 结束 解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例2 27/10/202574上页 下页 返回 结束 小结小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.7/10/202575上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根通解通解思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.7/10/202576上页 下页 返回 结束 练练 习习
22、 题题7/10/202577上页 下页 返回 结束 练习题答案练习题答案7/10/202578上页 下页 返回 结束 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.二、二阶常系数非齐次线性方程解法二、二阶常系数非齐次线性方程解法主要讨论主要讨论:7/10/202579上页 下页 返回 结束 设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程7/10/202580上页 下页 返回 结束 综上讨论综上讨论7/10/202581上页 下页 返回 结束 特别地特别地7/10/2
23、02582上页 下页 返回 结束 例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 7/10/202583上页 下页 返回 结束 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例2 27/10/202584上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）重根）思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.7/10/202585上页
24、 下页 返回 结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案7/10/202586上页 下页 返回 结束 1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 微分方程习题课微分方程习题课7/10/202587上页 下页 返回 结束 通解通解如果如果微分方程的解
25、中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题7/10/202588上页 下页 返回 结束(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解
26、法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换7/10/202589上页 下页 返回 结束(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法7/10/202590上页 下页 返回 结束 非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(4)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程7/10/202591上页 下页 返回 结束 3 3、可降阶的高
27、阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得7/10/202592上页 下页 返回 结束 特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:7/10/202593上页 下页 返回 结束（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:7/10/202594上页 下页 返回 结束 7/10/202595上页 下页 返回 结束、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶
28、常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.7/10/202596上页 下页 返回 结束 特征方程为特征方程为7/10/202597上页 下页 返回 结束、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.7/10/202598上页 下页 返回 结束 典型例题典型例题例例1 1解解
29、原方程可化为原方程可化为7/10/202599上页 下页 返回 结束 代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为7/10/2025100上页 下页 返回 结束 例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程7/10/2025101上页 下页 返回 结束 代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法7/10/2025102上页 下页 返回 结束 例例3 3解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为7/10/2025103上页
30、下页 返回 结束 例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为7/10/2025104上页 下页 返回 结束 原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为7/10/2025105上页 下页 返回 结束 由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为7/10/2025106上页 下页 返回 结束 例例5 5解解（）由题设可得：）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得7/10/2025107上页 下页 返回 结束（）原方程为）原方程为由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为7/10/2025108上页 下页 返回 结束 解解例例6 6则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得7/10/2025109上页 下页 返回 结束 解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得7/10/2025110上页 下页 返回 结束 测测 验验 题题7/10/2025111上页 下页 返回 结束 7/10/2025112上页 下页 返回 结束 7/10/2025113上页 下页 返回 结束 7/10/2025114上页 下页 返回 结束 7/10/2025115上页 下页 返回 结束 7/10/2025116上页 下页 返回 结束 测验题答案测验题答案7/10/2025117
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