1、广东省佛山市南海区2021-2022学年高二下学期第二次段考数学试题题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1已知数列的前项为，则它的一个通项公式为（）ABCD2已知随机变量，则（）ABCD3若展开式中第2项与第12项的二项式系数相同，那么展开式的中间一项为（）ABCD4已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）ABCD5已知，则（）ABCD6在四面体中，点在上，且，是的中点，则（）ABCD7某班级英语兴趣小组有5名男生和5名女生，现要从中选4名学生参加英语演讲比
2、赛，要求男生、女生都有，则不同的选法有（）A210种B200种C120种D100种8已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是ABCD评卷人得分二、多选题9已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（）ABCD10若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）ABCD11已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与相交于另一点，为坐标原点，则下列命题正确的是（）A直线的斜率为B点的坐标为C抛物线的准线方程为D的面积等于12已知函数，则下列结论正确的是（）A在点处的切线方程为B的单调递减区间为C有且只有一个零点D的极小值点为评卷人得分三、填空题13已知随机变
3、量，且，则_14若对于任意实数，有，则的值为_.15如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，的中点当底面水平放置时，液面高为_评卷人得分四、双空题16有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2台加工的次品率为4%，第3台加工的次品率为3%，加工出来的零件混放在一起已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：7：8，任取一个零件，它是次品的概率为_；如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为_评卷人得分五、解答题17在中，已知，(1)求的面积；(2)在边上取一点，使得，求18空气质量指数PM2.5（单位：）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量
4、这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2022年3月8日4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行监测，获得数据后绘出如条形图：(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)在上述30个监测数据中任取2个，设为空气质量类别为优的天数，求的期望19设数列的前项和为，已知数列是公比为2的等比数列，是和的等比中项(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和20如图，已知等腰直角三角形，其中，.点分别是的中点，现将沿着边折起到位置，使
5、连接.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.21已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点(1)求动点的轨迹方程；(2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由22已知二次函数的导函数图象如下图所示，设(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)若函数，的图像总在函数图象的上方，求的取值范围参考答案：1A【解析】【分析】将数列的前项进行改写，利用观察法可得出数列的一个通项公式.【详解】因为，因此，数列的一个通项公式可为.故选：A.2D【解析】【分析】根据二项分布的概率公式计算即可得解.【详解】解：因为
6、随机变量，所以.故选：D.3B【解析】【分析】由二项式系数相等求得值，然后根据二项式定理求解【详解】由题意，所以，因此展开式共有13项，中间一项是第7项，故选：B4C【解析】【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.【详解】由题意，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.5C【解析】【分析】先利用除法求导法则求，再利用乘法求导法则计算【详解】故选：C6D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.【详解】由已知，所以，故选：D.7B【解析】【分析】分3种情况，1名男生3名女生，2名男生2名女生，3名男生1名 ，加起来即可【详解】因为男生、女生都有，故有三
7、类情况，1名男生3名女生，2名男生2名女生，3名男生1名，故共有种，故选：B8C【解析】【详解】试题分析：故函数为偶函数，且在递增，即，故，解得.考点：函数奇偶性与单调性9BD【解析】【分析】设方程的四根分别为、，利用等差数列的基本性质结合韦达定理可求得这四个数的值，进而可求得、的值，即可得解.【详解】设方程的四根分别为、，则数列、是首项为的等差数列，设其公差为，由等差数列的性质可得，若、为方程的两根，则、为方程的两根，由韦达定理可得，可得，则，此时，则；若、为的两根，、为方程的两根，同理可得，则.综上所述，.故选：BD.10ABD【解析】【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出
8、由此分别计算四个选项得出结果【详解】随机变量服从两点分布，其中，在A中，故A正确；在B中，故B正确；在C中，故C错误；在D中，故D正确故选：ABD11BCD【解析】【分析】将代入抛物线方程，求出，进而可得，根据抛物线的标准方程逐一判断即可.【详解】将代入抛物线方程可得，因此抛物线方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故B，C正确；因为三点共线，所以直线的斜率为，故A错误；设直线的方程为，与抛物线联立并化简得，解得或，可知，所以，故D正确故选：BCD12AC【解析】【分析】选项A对函数求导直接计算即可选项B考虑定义域，选项C直接令求解，选项D极小值点是横坐标，不是点，故错误【详解】，选项A：，
9、所以在点处的切线方程为：，即，故A正确；选项B：定义域为，故B错误；选项C：令，因为，即，解得，只有解，故有且只有一个零点，故C正确；选项D：极小值点是横坐标的值，不是点，故D错误；故选：AC13#【解析】【分析】根据对称性可得，则代入计算【详解】，则故答案为：14【解析】【详解】解：因为对于任意实数，有，则令x-=3,x=2,可知，=33-23=27-23=1915【解析】【分析】根据题意，当底面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，故水的体积可以用三角形的面积乘以高直接表示出，计算即可得答案【详解】根据题意，当侧面水平放置
10、时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设的面积为，则，水的体积，当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，则有，故；故答案为：16 0.1645# 【解析】【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式即可求得答案.【详解】设为零件是“第i台机床加工”，则样本空间，且两两互斥，设B为“任取一零件为次品”.所以，于是，由全概率公式可得.所以.故答案为：0.1645；.17(1)(2)【解析】【分析】（1）有余弦定理求得，再根据三角形得面积公式即可得解；（2）在中，先利用余弦定理求出，再根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.(1)解：由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的面积；(2)解
11、在中，则，因为，所以，则.18(1)(2)【解析】【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率；（2）典型的超几何分布，确定随机变量的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可得的分布列(1)由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为(2)随机变量的可能取值为0，1，2，则，所以的分布列为： 0 1 219(1)(2)【解析】【分析】（1）由已知可得，再根据数列通项与数列前项和得关系可得，再根据是和的等比中项求得，即可得解；（2）利用错位相减法即可得出答案.(1)解：因为数列是
12、公比为2的等比数列， 所以，当时，由得，则，因为是和的等比中项，所以，即，解得或（舍去），所以，当时，也符合，所以；(2)解：由（1）得，则，两式相减得，所以.20（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，一般先证明线面垂直即找到一个平面包含其中一条直线而另一条直线与此平面垂直，即可证明线线垂直；（2）取的中点，连接.，.根据题意可证明平面，因为平面，所以.所以是二面角的平面角.再结合解三角形的知识求出答案即可.【详解】（1）点分别是的中点，.又，沿着边折起到位置，.，平面.平面，.（2）取的中点，连接.，.，平面.平面，平面.平面，.是二面角的平面角.在中，在中，.二面角的平面角
13、的余弦值是.21(1)(2)存在，且椭圆的方程为【解析】【分析】（1）设点，利用两点间的距离公式结合已知条件化简可得点的轨迹方程；（2）讨论当为圆与轴的交点以及轴时，可写出直线的方程，可得出椭圆的方程为，然后考虑当直线的斜率存在且不为零时，设点，写出直线的方程，将的方程与椭圆的方程联立，由可得出结论.(1)解：设点，由已知可得，整理可得.因此，点的轨迹方程为.(2)解：假设满足条件的椭圆存在，设椭圆的标准方程为，若点为圆与轴的交点，则直线的方程为，则；若轴时，联立，可得，即点，此时直线的方程为或，则.所以，若椭圆存在，则椭圆的标准方程为.当直线的斜率存在且不为零时，设点，则，则直线的方程为，即
14、联立可得，所以，此时，直线与椭圆相切，合乎题意.综上所述，存在椭圆，使得直线与椭圆相切.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的存在性，可先通过点的特殊位置求出椭圆的方程，然后考虑当点为一般点时，利用将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式法加以判断即可.22(1)(2)【解析】【分析】（1）求导，由导数图象求得，再由，利用导数法求得其单调区间，根据函数在区间上单调求解；（2）将问题转化为恒成立，令，利用导数法求解.(1)解：因为，所以，由题意得，解得，则，因为，所以，当或时，当时，所以 在和上递增，在上递减，因为函数在区间上单调，所以，解得；(2)因为函数，的图像总在函数图象的上方，所以，恒成立，令，则，当或时，当时，所以的最小值为和中较小者，因为，所以，所以，又，所以.
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