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1、院 系 班级 姓 名 作业编号 高等数学（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1设有直线及平面，则直线（ A ）A平行于平面； B在平面上；C垂直于平面； D与平面斜交.2二元函数在点处（ C ）A连续、偏导数存在； B连续、偏导数不存在；C不连续、偏导数存在； D不连续、偏导数不存在.3设为连续函数，则（ B ）A； B； C D.4设是平面由，所确定的三角形区域，则曲面积分 （ D ）A7； B； C； D.5微分方程的一个特解应具有形式（ B ）A； B； C； D.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则
2、此平面方程为；2设，则；3设为正向一周，则 0 ；4设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数 ；5设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 .三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.解：方程两边取全微分，则解出从而四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、（本题8分）计算累次积分 ）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.解：先二后一比较方便，七（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.解：由对称性从而八、（本题8分）计算
3、，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求 解：由已知即十一、（本题4分）求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。令，则由推出，的坐标为附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1判别级数是否收敛
4、？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2求幂级数的收敛区间及和函数.解：从而收敛区间为，3将展成以为周期的傅立叶级数.解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。高等数学（下册）测试题二一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1设，且可导，则为（ D ）A； B；C； D2从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方程是（ B ）A； B；C； D3微分方程的通解是（ D ）A； B；C； D4设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于（ A ）A； B；C； D5累次积
5、分（ A ）A； B；C； D二填空题（每小题5分，本大题共15分）1曲面在点处的切平面方程是；.2微分方程的待定特解形式是；3设是球面的外测，则曲面积分三、 一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程（本题7分）解：先求两已知直线与平面的交点，由由由两点式方程得该直线：四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数（本题7分）解：沿梯度方向上函数的方向导数五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省六、设积分
6、域D为所围成，试计算二重积分（本题8分）解：观察得知该用极坐标，七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体（本题8分）解：解：观察得知该用先二后一的方法八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段（本题8分）解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取折线九、计算曲面积分，其中，为上半球面：（本题8分）解：由于，故为上半球面，则原式十、求微分方程 的解（本题8分）解： 由，得十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数（本题4分）解：沿着直线，依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。而十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数
7、，并求该方程的通解（本题4分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为因此为非齐次方程的另一个特解，故，通解为附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数解：由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为看，则从而2求函数在处的幂级数展开式 解：3将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围解：作周期延拓，从而高等数学（下册）测试题三一、填空题1若函数在点处取得极值，则常数2设，则3设S是立方体的边界外侧，则曲面积分 3 4设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为5微分方程用待定系数法确定的特解（系数值不求
8、）的形式为二、选择题1函数在点处（ D ） （A）无定义； （B）无极限； （C）有极限但不连续； （D）连续2设，则（ B ）（A）； （B）； （C）； （D）3两个圆柱体，公共部分的体积为（ B ） （A）； （B）； （C）； （D）4若，则数列有界是级数收敛的（ A ）（A）充分必要条件； （B）充分条件，但非必要条件；（C）必要条件，但非充分条件； （D）既非充分条件，又非必要条件5函数（为任意常数）是微分方程的（ C ）（A）通解； （B）特解； （C）是解，但既非通解也非特解； （D）不是解三、求曲面上点处的切平面和法线方程解：切平面为法线为四、求通过直线 的两个互相垂直的平面
9、，其中一个平面平行于直线解：设过直线的平面束为即第一个平面平行于直线，即有从而第一个平面为第二个平面要与第一个平面垂直，也即从而第二个平面为五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切解：直线为，从而有定解条件，特征方程为方程通解为，由定解的初值条件，由定解的初值条件从而，特解为六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程试求出函数解：因为特征方程为七、计算曲面积分，其中是球体与锥体的公共部分的表面，是其外法线方向的方向余弦解：两表面的交线为原式，投影域为，用柱坐标原式另解：用球坐标原式八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）解：九、判断级数的敛散性解：当，级数收敛；当，级数发散；当时级数收敛；当时级数发散十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧解：再取，围成半圆的正向边界则 原式十一、求曲面：到平面：的最短距离解：问题即求在约束下的最小值可先求在约束下的最小值点取时，这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。17