1、二、无界函数的二、无界函数的广义广义积分积分常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的一、无穷限的广义广义积分积分广义广义积分积分(反常反常积分积分)5.5 广义积分广义积分三、三、函数和函数和 函数函数1设函数设函数在无穷区间在无穷区间上上有定义有定义，且且若极限若极限存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在无穷区间在无穷区间上的上的广义积分广义积分.记作记作:即即这时也称广义积分这时也称广义积分收敛收敛,否则否则发散发散.函数函数在区间在区间上上可积可积，定义定义5.5.1 5.5.1 5.5.1 无穷限广义积分无穷限广义积分2类似可定义
2、类似可定义,设函数设函数在无穷区间在无穷区间上有定义，上有定义，设函数设函数在无穷区间在无穷区间上有定义，上有定义，其中其中 为常数为常数(通常取通常取c=0).左端的广义积分左端的广义积分收敛收敛 右端右端两个广义积分都收敛两个广义积分都收敛左端的广义积分左端的广义积分发散发散右端右端两个广义积分至少有一个发散两个广义积分至少有一个发散3例例1.计算计算解解xyo1A例例2.计算计算解解4则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式:设设在在上上连续，连续，是是的一个原函数，的一个原函数，若记若记同样地：同样地：其中其中便于书写方便便于书写方便5例例3 证明积分证明积分发散发散
3、证：证：解解 当当时时,当当时时,例例4.讨论广义积分讨论广义积分敛散性敛散性.综上可知综上可知,当当时时,收敛收敛于于当当时时,发散发散，结论结论6例例5.计算计算解解无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法.连习连习.计算计算解解82.无穷限积分的性质无穷限积分的性质1)若若收敛，收敛，2)若若都收敛，都收敛，则则则则9例例6 求求解解所以所以10求求例例7 设设其中其中是常数，是常数，解：解：由于由于所以所以113.无穷限积分收敛的判定无穷限积分收敛的判定(充要条件充要条件)设设定理定理5.5.1收敛的充要条件为收敛的充要条件为是有界函数是有界函
4、数.(充分条件充分条件)定理定理5.5.2(比较判别法比较判别法)设设则则(1)当当收敛时，收敛时，收敛；收敛；(2)当当发散时，发散时，发散；发散；例例8 证明证明收敛收敛.证证 由于由于而而的值是的值是12确定的，确定的，又当又当时，时，有有而且而且由比较判别法知，由比较判别法知，收敛，收敛，所以所以收敛收敛.绝对收敛：绝对收敛：若若收敛收敛,条件收敛：条件收敛：定理定理5.5.3 绝对收敛的无穷限积分必收敛绝对收敛的无穷限积分必收敛.证证 因为因为若若发散，发散，收敛，收敛，收敛收敛收敛，收敛，又因为又因为所以所以收敛收敛.称称绝对收敛；绝对收敛；条件收敛条件收敛.13例例9 判定判定的
5、敛散性的敛散性.解：解：因为因为且且收敛，收敛，所以所以收敛，即收敛，即绝对收敛绝对收敛.14设函数设函数在在的任意子区间上可积，的任意子区间上可积，即即则称广义积分则称广义积分收敛收敛,且且(b为为瑕点瑕点)，瑕积分瑕积分定义定义5.5.3 5.5.3 5.5.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分称记号称记号为函数为函数上的广义积分上的广义积分.在在并把该极限值称为函数并把该极限值称为函数上的广义积分上的广义积分,在在存在存在,若极限若极限对对(1)称广义积分称广义积分若若(1)式表示的极限不存在，式表示的极限不存在，发散发散.15左端的广义积分左端的广义积分收敛收敛 右端右端两个广义积
6、分都收敛两个广义积分都收敛左端的广义积分左端的广义积分发散发散 设函数设函数在在有定义，有定义，设函数设函数在在有定义，有定义，上除点上除点类似可定义类似可定义,且且为为瑕点瑕点)(c为为瑕点瑕点)右端右端两个广义积分至少有一个发散两个广义积分至少有一个发散以上三种积分都属于以上三种积分都属于无界函数无界函数的广义积分，的广义积分，统称为统称为瑕积分瑕积分.16例例1 计算计算解解为瑕点，为瑕点，则则17例例2.计算广义积分计算广义积分解解:因因所以所以注：在形式上也可采用牛顿注：在形式上也可采用牛顿莱布尼兹公式的记法莱布尼兹公式的记法.18练习练习.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解在在外连续，外连续，上除点上除点且因因所以所以,原广义积分发散原广义积分发散.19当当时时,收敛收敛于于当当时时,发散发散.当当时时,当当时时,结论结论例例3.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.综上可知综上可知,解解由于由于所以所以为瑕点为瑕点.20例例5.计算计算解解P8是瑕点，是瑕点，令令则则（课本例（课本例3）22广义积分广义积分是参变量是参变量的函数，的函数，称为称为函数函数.性质：性质：证证:(1)(2)5.5.3 函数和函数和 函数函数注意到注意到:定义定义5.5.4 5.5.4 23例例 1例例 2例例 3例例4 求求解解25
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