分析力学教学课件.ppt

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1、分析力学 主讲讲教师师：王飞飞 学时24 学分1.5 性质必修 致童鞋们 之学生虐我千百遍，我待学生如初恋 教书是一场盛大的暗恋，你费劲 心思去爱 一群人，最后却只感动了自己。 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人 考不好。 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义 坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效 的力学表述方法。 同矢量力学相比，分析力学的表述方法具 有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为 复杂的问题，运用分析力学可以较为简便 的解决。 二 研究对对象 它的研究对象是质点系。质点系可视为宏 观物体组成的力学系统的理想模型，例如 刚体、弹

2、性体、流体以及它们的综合体都 可看作质点系。 工程上的力学问题大多数是约束的质点系， 由于约束方程类型的不同，就形成了不同的 力学系统。例如，完整系统、非完整系统、 定常系统、非定常系统等。 三 发发展历历史 1788年 拉格朗日 分析力学 世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和 达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程， 从而导出分析力学各种系统的动力学方程。 1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。 哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的 点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问 题。 五 研究意义义 分析力学是经典物理学的基础之一， 也是整个力

3、学的基础之一。 六 分析力学与理论论力学比较较 理论力学分析力学 相同点同属经典力学 不 同 点 对象力能量 方法几何法分析法 基础牛顿定律变分原理 分析静力学 以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位 移原理方法得出平衡的普遍规律。 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力 学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系 的动力学问题。 分析动力学 内容 第一章虚位移原理 第二章动力学普遍方程和拉格朗日方程 第三章哈密顿正则方程 第四章力学的变分原理 第五章一个自由度系统的振动 第六章两个自由度系统的振动 第七章狭义相对论的拉格朗日方法和 第一章 虚位移原理 1.约束及约束方程 2.自由度

4、和广义坐标 3.虚位移 4.虚位移原理 5.虚位移原理的应用举例 6.用广义力表示的质点系平衡条件 7.在势力场中质点系的平衡条件及平衡的稳定性 1.约约束及约约束方程 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯 上，把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体 。 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。 非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束 约束力（或约束反力）把约束对物体的作用 力称为约束力。 主动力和约束力（或约束反力） 主动力作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。 约束

5、反力是主动力引起的，故它是一种被动力。 1.约束反力取决于约束本身的性质、主动力和物体 的运动状态。 约束反力的特点： 2.大小常常是未知的，往往由平衡方程求得。 3.作用点在物体与约束相接触的那一点。 4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面 公法线方向指向物体。 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过 销中心，方向不能确定，通常用正交的两 个分力表示。 解除约约束原理 当受约束的物体在某些主动力的作用下处 于平衡，若将其部分或全部约束解除，代 之以相应的约束反力，则物体的平衡不受 影响。 1-3 约约束的分类类 x y o l M l A B x o

6、y r C xo y 瞬心 C M M xC P vC r M M P vC M M P vC M P vC M 轮轮C在水平轨轨道上纯滚动纯滚动 的条件表达 为为 yC = r 运动约动约 束方程 vCr=0 或 yC = r 约束：单摆约束分类约束方程 刚性摆杆双面约束 不可伸长的绳单面约束 举例： 定常约束：前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束； 非定常约束：变摆长的单摆。 x y o l M v 其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤 的约束，初始长度为 ，穿过固定的小 圆环，在拉拽过程中,以速度v伸长。在 任意瞬时t，其约束方程为: 2.自由度和广义义坐标标 质质点系由n个质质点、s

7、个完整约约束组组成， 则则其自由度 N = 3n s 对对平面问题问题 ，如Oxy平面内，zi0， 则则 N = 2n s 情形一：以质点作为质点系基本单元 x y o l M 例：图示的平面摆， 其中：n = 1，s = 1。 则则 N = 211=1 情形二：以刚体作为质点系基本单元 质质点系由n个刚刚体、s个完整约约束组组成，则则其自由度 N = 6n s 对对平面问题问题 ，如Oxy平面内，两个平动动一个转动转动 ，则则 N = 3n s 例1：图示的轮C在水 平轨道上纯滚动， 其中：n = 1，s = 2。 则 N = 312=1 C x o y xC P vC yC = r vCr

8、=0 例2：图示的平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成 ， 其中：n = 2，s = 4， 则 N = 324=2 x y o A B 1 2 l1 l2 例一：如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、 yA 、 xB 之一为广义坐标，而选 更方便。 x o y l r A B 例二：再如平面双摆有两个自由度，选 1 、 2为广义坐 标比较合适。 x y o A B 1 2 l1 l2 对于有n个质点的质点系，若有s个完整约束组成，则其自由 度N = 3n s，可选N个广义坐标 q1， q2 ，qN。 则各质点的坐标可由广义坐标表示为： 矢量形式为： 注：用广义坐标表示各质点位置的一般表达

9、式，隐含了约束 条件，这是采用广义坐标的方便之处。 3.虚位移 4-1.在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位移之一 。 MMMM M 在图图示瞬时时，物块块M在dt内发发生 的无限小的实实位移dr沿斜面向下。 物块块M的虚位移可以是沿斜面 向下的r1，也可以是沿斜面向上 的r2，因为为r1，r2都是约约束所容 许许的。 drdrdrdr r1r1r1 r2 r1 物块块M置于固定的斜面上，斜面对对于物块块M的约约束是定常约约束 。 r2r2r2 4-2.非定常约束下，无限小的实位移不是虚位移之一！ 物块块M置于以速度vo移动动的斜面上，斜面对对于物块块M的约约束是 非定常约约束。 M

10、 dr dre drr M v0 在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有 dr = dre + drr = MM dre = v0dt -牵连位移 drr -物块相对斜面的位移 dr dre drr dr dre drr dr dre drr dredredredre M 物块块M的虚位移可以是沿斜面向下的 r1，也可以是沿斜面向上的r2，因为为 r1，r2都是约约束所容许许的。 r1 r2 r1 r2 r1 r2 r1 r2 约束方程 为曲面上该点 的法向矢量! 其中： 所以 非自由质点 M 的虚位移垂直于曲面上该点处的法线 ，也就是说虚位移必在通过该点的曲

11、面的切平面上。 补充知识 ： 刚体的平面运动 -平面图形上各点的速度 n 刚体运动时 ，如果体内任意一点到 某一固定平面的距离始终保持不变， 则这 种运动成为刚 体的平面运动。 n 即：刚体作平面运动时 ，体内任意 一点都在与某固定平面平行的平面内 运动。 一刚体平面运动的定义 1速度基点法 平面图形的运动可以看成是: 牵连运动（随同基点A的平动）与 相对运动（绕基点A 的转动）的合成 因此: 平面图形上任意一点B的运动可用合成运动的概念进行 分析，其速度可用速度合成定理求解。 二刚体平面运动的特征 2. 速度投影定理 定理: 同一瞬时，平面图形上任意两点的 速度在这两点连线上的投影相等。 反

12、映了刚体不变形的特性： 因刚体上任意两点间的距离应保持不变，所以刚体上任意两点的速度在 这两点连线上的投影应该相等，否则，这两点间的距离不是伸长，就要缩短 ，这将与刚体的性质相矛盾。因此，速度投影定理不仅适用于刚体作平面运 动，而且也适用于刚体的一般运动。 问题 的提出？ 若选取速度为零的点作为基点，求解速度 问题 的计算会大大简化。 于是，自然会提出，在某一瞬时，平面上 是否有速度等于零的点？如果有，该点如 何确定？ 3.速度瞬心法 定理: 一般情况下，每一瞬时，平面图形 上都唯一地存在一个速度为零的点。 在某瞬时，平面图形上速度为零的点称为平面图形在该瞬时的 瞬时速度中心，简称为速度瞬心或

13、瞬心。 AN上任意一点M ： 证明： 总有一点I满足： 则I点的（绝对）速度 ： 4.平面图形上各点速度的分布 其中，I为瞬心 刚体上任意一点M的速度: 总结：平面图形的运动可以看成 是绕它的速度瞬心作瞬时转动。 注意：速度瞬心的速度为零，但是加速度不为零 。 5.速度瞬心位置的确定（1） 若平面图形沿一固定面滚动而无滑动，则图形与固定面的接触 点I就是该瞬时图形的速度瞬心。 注意： 是在固定面上的纯滚动，如果不是固定面，接触点并非瞬心。 5.速度瞬心位置的确定（2） 已知某瞬时平面图形上任意两点的速度方向，且两者不相平行 ，则速度瞬心必在过每一点且与该点速度垂直的直线上。 5.速度瞬心位置的

14、确定（3） 已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，并且速度的方向 垂直于这两点的连线，但两速度的大小不等，则图形的速度瞬 心必在这两点的连线与两速度矢端的连线的交点。 6.瞬时平动 已知某瞬时平面图形上两点的速度相互平行，但速度方向与这 两点的连线不相垂直；或虽然速度方向与这两点的连线垂直， 但两速度的大小相等，则该瞬时图形的速度瞬心在无限远处， 图形的这种运动状态称为瞬时平动。 此时，图形的角速度等于零，图形上各点的速度大小相等，方 向相同，速度分布与平动时相似。 注意：瞬时平动只是刚体平面运动的一个瞬态，与刚体的平动 是两个不同的概念，瞬时平动时，虽然图形的角速度为零，图 形上各点的速度

15、相等，但图形的角加速度一般不等于零，图形 上各点的加速度也不相同。 例如：曲柄连杆机构装置示意图，连杆BC作瞬时平动。 补充内容结束 ！ 6-1. 几何法 l用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系； l质点的实位移与其速度成正比dr=vdt，所以实位移之间的关系可以用速度 之间的关系代替，如速度合成法、瞬心法、速度投影法等。 6-2. 解析法 解析法的一般推广 选广义坐标q1， q2 ，qN ，则各质点的坐标 对上式中第一式求变分，则 得到： 质点在直角坐标 中的虚位移与广 义坐标中的虚位 移之间的关系为 qk 称为广义虚位移。 4.虚位移原理 4-1.虚功：质点或质点系所受的力在虚位移上

16、所作 的功称为虚功，用W表示。 注：虚位移是虚设的，虚功也是虚设的元功。 设质点m的虚位移为r，力F 在虚位移上所作的虚功为 W = F r = Fr cos 滑块块的虚位移为为rB，设设曲柄的虚位移为为 ， W W = = F F r r B B 力偶 M 的虚功 ： W W = = M M 力 F 的虚功 ： 如曲柄滑块块机构在力偶M和力F的作用下处处于平衡， A B MMMM x o y F F F F rBrBrBrB 4-2.理想约束：在质点系的任何虚位移中，如果约束 反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束 。 若质点系中任意质点Mi ，受约束反力Ni ，虚位移ri， 则理想

17、约束的条件为： 如光滑的接触面 W = N r= 0 M N r N r N r N r 对于作纯滚动刚体的固定面约束 C F T N D G F N F N 理想约束举例： 光滑铰链连接 N N r A N N r N N r 光滑铰支座或光滑轴承 N r N r N r 理想刚体 rB rA A B rB rA rB rA NANANA NBNBNB B A rB 柔性体约束 TB TA TB TA TB TA rBrB rA 4-3.虚位移原理：具有完整、双面、定常、理想约束 的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件 是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移 中所作的虚功之和等于

18、零，又称虚功原理。 矢量表达式 为为 坐标标分解式为为 虚功方程 虚功方程又称为静力学普遍方程！ 必要性：如果 质点系平衡 则 虚功原理的证明 设质点系由n个质点组成，第i个质点Mi平衡，受力有 Fi -主动动力的合力 Ni -约约束反力的合力 则则Fi + Ni = 0 WFi+WNi = n个方程求和得 系统统的约约束为为理想约约束， Ni r i=0 ( Fi + Ni ) ri= 0 （i = 1, 2 , ，n） 0 得证！ 充分性：如果 则 质点系平衡 反证法：设质点系由n个质点组成，作用于该质点系的主动力 在给定的位置的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，但该 质点系不平衡。 即至

19、少有一个质点Mj不平衡，则 Fj+Nj Rj 0 质质点Mj由静止开始运动动，其实实位移 drj 应应沿着 Rj 的方向 该质该质 点的合力在实实位移中的元功为为 Rj dr j = （Fj+Nj） dr j 0 质质点系受定常约约束， dr j r j ， （Fj+Nj） r j 0 Fi r i 0 这这与假设设矛盾！ 质质点系必然平衡。 得证！ （Fj+Nj） r j 0又 Ni r i=0 5.虚功原理的应应用 已知质点系处于平衡状态， 求主动力之间的关系或平衡 位置。 已知质点系处于平衡状态， 求其内力或约 束反力。 W A o l P P P P B 例1：螺旋千斤顶中，旋转手柄O

20、A=l=0.6m，螺距 h=12mm。今在OA的水平面内作用一垂直手柄的力 P=160N，试求举起重物B的重量。不计各处摩擦。 例1续 已知OA=l=0.6m，螺距h=12mm。P=160N，求举起重物B的重 量W。W rA l 解：千斤顶顶受理想约约束 给给P力点A虚位移rA = l， 由虚功方程 WF =0 得：Pl W rB =0， 约约束条件为为：手柄旋转转一 周，顶顶杆上升一螺距，即 A o P rA rA rA rBrBrBrB 相应应地W力点B有rB， 可知，当P=160N时时，能举举起50.27KN的重物，是P 的314倍！ A B x o y P M P M P M 例2：曲

21、柄滑块机构如图，已知曲柄OA = r，连杆AB = l，曲柄上作用力偶M，滑块上作用力P，求系统在 图示位置平衡时，M与P的关系。 例2续 已知OA = r，AB = l，M，P，求平衡时，M与P的关系。 解 ： rB 系统统受理想约约束作用， 给OA以虚位移 ， 由 WF = 0 得 PrB M = 0， 求虚位移间间的关系(投影定律 ) rA 由 rAAB=rBAB r cos90()=rB cos M A B x o y P 且 rA= r 相应地滑块B有rB， rB rB rB rArArA 90() B C A O K l Q P Q P Q P 例3：图示机构中，当曲柄OC绕O轴摆动时，滑块A沿 OC滑动，从而带动杆AB沿铅直槽K滑动。OC=a，OK= l，在C点垂直曲柄作用一力Q，AB上作用力P沿AB方 向，求机构在图示位置平衡时力Q、P的关系。 随堂测验！ 例3续：已知OC=a，OK=l，OC上作用力Q，AB上作用力P，求机构 平衡时Q、P的关系。 解：给给杆OC 以虚位移 ， 以OC为动为动 系，A为动为动 点， 则则有虚速度合成式为为 相应应地 C 点有虚位移 B点有虚位移rB， 虚功方程为为 于是得 B C A O K l rB Q P rBrB 自行阅读！ AB杆作平动动,