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1、姚平喜 太原理工大学机械工程学院,计算机辅助设计与制造,（第三讲）,第三章 计算机图形学基础,CAD/CAM是计算机图形学最早的，也是最重要的一个应用领域，而计算机图形学又是它的重要基础。因此，本章介绍计算机图形学的有关基础知识。,3.1 图形学的数学基础 在计算机绘图中，其图形变换、几何造型等与数学中的许多概念有关，如坐标矢量、矩阵、交点计算等等，下面分别介绍。 3.1.1 坐标系 为了定量地描述空间物体的几何形状、大小和方位，必须使用坐标系。在计算机图形学中主要使用笛卡尔直角坐标系。,下面介绍计算机绘图中需要用到的几种坐标系。 (1) 世界坐标系（World Coordinates）简称W
2、C，它是右手三维直角坐标系。它一般是用户绘图时所用的坐标系，也称为用户坐标系。其坐标系的单位可以是微米(m)、毫米(mm)、千米(km)、英尺或英寸等，一般均使用实数，取值范围并无限制。 (2) 设备坐标系（Device Coordinates）简称DC，它往往使用在设备这一级，是与设备的物理参数有关的坐标系，如图形显示器使用屏幕坐标系，绘图仪使用绘图坐标系。该坐标系的单位是像素或绘图笔的步长等（也即设备的分辨率），它们都是整数，且有固定的取值范围。,（3）规范化设备坐标系（Normalized Device Coordinates）简称NDC，使用这种坐标系是为了使图形支撑软件能摆脱对具体物
3、理设备的依赖性，也是为了能在不同应用和不同系统之间交换图形信息，所以规范化设备坐标系是一种中间坐标系。其坐标的取值范围约定在区间0,1上。,3.1.2 齐次坐标技术 在前述的坐标系中，我们能定量地描述三维或二维物体的形状、大小和方位，但在计算机图形学中，为了能方便地描述各种图形变换算法，就需要引入几何学中的齐次坐标表示法，齐次坐标在点、线、面的表示和形体的处理等方面都是很有用的工具。 所谓齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示n维向量。n维空间中点的位置向量具有n个坐标分量（P1,P2,.,Pn），且是唯一的。若用齐次坐标表示时，此向量有n+1个坐标分量（hP1,hP2,hPn,h），且不唯一。
4、,图2-2是一个早期CAD硬件配置系统，每一个图形设备直接与主机通讯，其外存设备为磁盘和磁带。 工作站1 工作站2 图2-2典型CAD/CAM硬件配置(微机型) 图2-3目前CAD系统的硬件配置 这种配置具有简单、直接的优点，但不能充分发挥系统的整体性能，不能支持更多的外部设备。 在CAD系统中，当前倾向是采用工作站，图2-3是一个分布式系统配置方案。工作站实际上是一个硬件集合，也是各类硬件各自能力的结合，从而形成了一个完成特定任务的独立系统。一个工作站有它自己的计算机和辅助存储器。每一个CAD工作站是一个具有基本处理功能的实体，它通过数据通讯线路同主机相连。这个主机具有中央数据库的作用，用以
5、存储设计、绘图和其它用户工作站生成的数据。此外，主机还能运行某些工作站不能运行的大型分析软件。 工作站按分布式配置有很多优点，例如，如果使用的CAD系统需要扩大并容纳更多的用户，只要在网中插入更多的工作站即可。这是因为，每一个用户都是在一个独立的工作站上工作。工作站可以通过网络系统支持所有图形显示功能。用户之间不必争夺系统的资源，并保持一致的响应时间。,图形输 磁盘 图形输出设备 主机 磁盘和磁带,出设备 主 机,绘图机 和磁带,本地微机,图形输入设备 图形显示设备 附加工作站,(图形输入板) (图形终端) D GI GD,2.1.1 主要硬件简介,2.1.1.1 微机 随着个人微机性能的不断
6、提高，目前采用个人微机进行CAD/CAM不仅成为可能，而且发展较快。一般均采用386及其以上档次的个人微机，配置20英寸高分辨率（12801024）图形显示器、鼠标器或图形输入板、打印机和绘图机等，组成一个微机CAD/ CAM工作站；并采用局域网将多台微机联接起来，以实现部分硬、软件资源的共享。 由于目前个人微型机的功能尚有限，用个人微机进行CAD/CAM仅适用于产品结构比较简单，产品的系列化、通用化和标准化程度较高的企业。即使有的企业采用超级微机工程工作站的配置、也常在网络系统中联接几台个人微机，一方面作为模拟终端使用，另一方面可以作为一个软件输入/输出的通道，将别人的软件移植进来和把自己开
7、发的软件拷贝出去，移植给别人。 个人微型计算机的CAD/CAM系统由于处理速度慢、容量小、支撑软件件能低等原因，几乎没有完整的几何造型功能，因此，目前的用途与其说是设计，不如说是绘图（Drawing）或者制图（Drafting）更恰如其分，即CADD或CAGD。但由于其价格低廉、使用方便，随着其硬、软件功能的不断提高，将在CAD/CAM技术的推广应用和普及中发挥越来越大的作用。 微机很适合于中小企业开发CAD/CAM系统使用。微机主要由中央处理器、内存储器、外存储器和输入输出设备四部分组成。 中央处理器 中央处理器（CPU）是微机信息处理和控制的中心部件，它通过总线与其他部件联系。总线可以理解
8、为多个部分间的公共连线，通过它可将一个或多个信号在各个部件间传送。一般分为数据总线、地址总线和控制总线。数据总线主要用来进行各部件间的数据（包括指令）的传送。数据总线的宽度反映了CPU处理数据的字长。根据字长可以把中央处理器分为8位、16位、32位CPU。字长还决定了计算机数据传输的流量和处理信息的能力。一般来讲，字长越长，计算机处理信息的功能越强。地址总线负责选择不同的设备或不同的存储单元。控制总线则用于传递各种控制命令，以便使计算机有条不紊地工作。 微机的性能除了与处理数据的字长有关外，还与整个CPU的内部结构和工作的时钟频率有关。一般来讲，时钟频率越高，CPU执行指令的速度越快，微机的性
9、能也越高。 内存储器 内存储器是微机内部的主要存储器部分，简称内存。内存目前都采用超大规模集成电路芯片。 内存储器是读写型的，既可写入数据，也可从中读出数据，而且是随机读写的。内存储器是易失型的，即在主机关断电源以后，内存中的信息全部丢失。存取速度快。 目前的微机内存的容量一般为640K至8M字节，对CAD系统来说最好有16M以上的字节。微机的最大编址范围可达64M字节。 外存储器 如前所述，内存储器的存取速度比较快，但容量有限且有易失性，为克服这些缺点，微机一般都配置有容量较大的外部存储器，简称外存。常用的外存是磁盘存储器，磁盘存储器可分为软盘和硬盘存储器两类。,2.1.1.3 图形显示系统
10、 计算机配上图形显示系统就成为适用于CAD/ CAM作业的图形工作站。判断图形工作站的性能是图形处理速度和图形显示质量。图形工作站的图形处理速度通常以每秒钟内可处理并显示的三维矢量个数和三维填充多边形的个数来衡量；显示质量通常以屏幕分辨率和可分辨的颜色种数来衡量。高档图形工作站采用专门设计的大规模集成电路芯片执行如剪裁、坐标变换、光照引起的阴暗效应等图形计算而大大加快画面的生成过程，以及装置大容量的帧缓冲存储器而达到简化图形处理算法，实现双缓冲动态显示功能和全彩色画面等效果。 目前采用的图形显示器主要是阴极射线管（CRT）。显示器的发光是依靠柱状电子束撞击屏幕上的磷物质涂层，在涂层上电子放出能
11、量从而产生光；由计算机控制偏转线圈使电子束产生X和Y方向的偏转，于是在屏幕上画出字符和图形。荧光屏具有一定的驻留时间，要想获得一幅无闪烁的画面，显示内容必须以30100次/s的速率不断刷新。网格分布越细，图像就越清晰，真实感越好。衡量网格稠密度的指标是分辨率，如分辨率为1024768的显示器，在水平方向和垂直方向分别有1024列和768行像素组成。,2.1.1.4 外存储器 计算机除了有内存储器外，还有外存储器。内存储器可接受CPU的直接访问，存取速度快。由于内存储器成本较高，其容量又受CPU的直接寻址能力所限制，通常是有限的。CAD/CAM系统大量的软件、图形库和数据库均存在外存储器中。外存
12、储器有硬磁盘、软磁盘、磁带、光盘和光磁盘等几种形式。 硬磁盘是用金属材料，如铝合金，制成的圆盘，上下两面涂上磁性材料，工作时按一个方向均匀高速旋转。磁盘面上的许多同心圆是记录信息的磁道。一个硬磁盘驱动器可由数片磁盘组成，每片磁盘的两面各有一只读写磁头，浮动地装卡在磁头臂上。磁头臂用弹簧压向盘面。当磁盘组旋转时，在气垫的支撑下使磁头和磁盘面间保持13pm的间隙。磁头臂可作径向移动，以便在不同的磁道上存取信息。 硬磁盘在使用前需进行格式化，由计算机的系统软件将每个磁道分为若干个区段，分别给以地址编号。所有磁盘面上相同位置的磁道落在一个圆筒上。因此，信息在磁盘上的位置是由盘面号、圆筒号、扇区号确定的
13、。在硬磁盘上存取信息是随机的，存取速度较快。硬磁盘是目前最常用的一种外存储器。因为其容量可做得较大，达十几个GB以上；结构是全封闭型的，对环境的要求不高，可靠性较好。,2.1.2 CAD/CAM硬件系统选型的基本原则 配置一套CAD/CAM系统，正确地选型是十分重要的。对我国大部分企业来说，购置大型分时主机式的CAD/CAM系统，由于价格昂贵，一般难以负担。而在个人微机上配置AutoCAD一类软件组成的CAD/CAM系统，又因CPU慢，内存小，可供工程应用的CAD/CAM软件少，功能远远满足不了CAD/ CAM一体化的要求。以超级微机组成的工程工作站集以上两者的优点于一身，是目前大多数企业选择
14、的热点，在选择CAD/CAM硬件系统时一般应考虑下列主要问题： (1)应用软件所需的系统环境 选购硬件系统的目的在于用来协助完成特定的任务，因此，评估工作站的顺序应该是先软件后硬件，也就是先定应用方向，再配置硬件设备。 (2)开放式系统 所谓开放式系统是指采用工业标准的系统。这种系统可以保证用户的资源与其它厂商所提供的资源联网，实现共享。 (3)性能指标 要具体评价一个计算机的优劣，并非易事，事实上没有一个统一的标准。选购计算机时应考虑整体系统的性能价格比。 (4)CAD/CAM系统对图形处理的功能要求较高，衡量其功能的指标有：2维矢量/s，反映二维绘图速度；3维矢量/s，反映三维线框造型速度
15、；有色彩的多边形/s，反映实体建模的速度。 图形加速器按功能分成许多等级，若无特殊需要，用低档图形加速器也就可以了，高档图形加速器适用于高速图像处理、人工智能、动画、图形仿真、地理信息处理等领域中提供逼真的三维真实动态图形。 (5)在网络环境下，要充分利用其网络功能，做好各个网络终端的数据互连与共享工作。 (6)扩充功能 为了保障长期的投资利益，系统的可扩充性是评价工作站的重要内容。扩充性是多方面的，包括CPU浮点运算、内存、磁盘，总线、网络以及系统软件等。一般来说，系统的配置如果是基本型，其扩充能力一般有限，但价格便宜；反之，一个具有较大扩充能力的机种，价格就比较贵。系统是否易于扩充，关键在
16、于它的结构设计是否符合工业标准。 (7)CAD/CAM工作站配置的台数 原则上应按一机双人以上的原则来配置。一人一机的配置将会发生实际操作的浪费，无法获得最佳的投资效益。一般来说，每人每天使用电脑的时间为：工程师4h，绘图员6h。这样既可保持最高的效率，又可保护眼睛。这是因为，工程师一般最少需化30以上的时间用于构思，再加上资料查询、集体讨论以及一般事务处理等工作，往往要消耗50以上的工作时间。所以，尽管有人似乎连续几天都在使用计算机，但是平均来说，一天按使用46h来配置工作站的台数是合理的。 (8)技术支持与售后服务 选购硬件系统时应优先考虑选购大公司的产品。因为大公司一般有较强的技术开发力
17、量，容易做到升级产品与老产品的兼容，或提供老产品升级的可能性，以保护老用户的投资。另外，大公司较重视信誉，能及时提供后续工程的支援与应用指导等。,齐次坐标的几何意义,用规范化齐次坐标(x,y,1)表示二维点（x,y），其几何意义相当于点（x,y）落在H的平面上。,使用齐次坐标表示法有以下优点： （1）引入齐次坐标后，能使二维、三维甚至高维空间中的图形从一个坐标系变换到另一个坐标系更方便有效，能实现图形的所有基本变换; （2）引入齐次坐标后，可以用齐次坐标表示无穷远点，并且可通过透视变换将无限远点变换为有限远点。,3.1.3 矢量运算 在图形变换中，大量需要矢量。所谓矢量是指具有指向的线段。如图
18、3-4所示，从A点到B点的矢量记作AB，则AB可表示为,设有矢量V1(x1,y1,z1)，V2(x2,y2,z2)，有关它们的运算有 1.两个矢量之和 V1+V2=x1+x2 y1+y2 z1+z2 2.两个矢量之点积 3.两个矢量之叉积 4.矢量之长度,3.1.4 矩阵运算,1.矩阵的加法 设有两个矩阵A和B，则矩阵A与B的和记为AB。注意：只有两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能作加法。 2.数与矩阵相乘 数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak。 3.矩阵与矩阵相乘 设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵，那么矩阵A与B的乘积是一个mn矩阵，并把此乘积记为：CAB。注意：只有当第一个矩
19、阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，这两个矩阵才能相乘。,4.单位矩阵 在一个矩阵中，从左上角到右下角的直线（称为主对角线）上的元素都是1，其它元素都是零，这样的矩阵称为单位矩阵。,3.1.5 交点计算,1.直线与直线相交 只要此二直线不平行，则它们必定有交点。因此，只要判断此二直线不平行，便可求得交点坐标。 2.直线段与直线段相交 3.直线段与圆弧段相交 4.圆弧段与圆弧段相交,3.1.1 曲线的表示 曲线的表示是描述物体的外形、建立所画物体图形的数学模型的有力工具。在实际应用中，通常是根据一系列实测数据的有序型值点（控制点），采用拟合或逼近的方法，建立一个数学表达式，使该式
20、能定义一条曲线，此曲线既能反映原型值点所代表的曲线的性质和形状，又能满足实际应用的要求，并便于人们的直观控制。所谓曲线的拟合是指完全通过给定型值点列来构造曲线的方法;而曲线的逼近是指几何形状上与给定型值点列的连线相近似的曲线，这种曲线不必通过型值点列。以下介绍的两种常用的参数曲线：Bezier曲线和B样条曲线，都是采用曲线逼近的方法生成的曲线。,1. Bezier曲线 Bezier曲线是通过一组多边折线的各顶点唯一地定义出来的，一般称此折线为曲线的特征多边形。在多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用以定义曲线的阶次和形状。,B样条曲线 Bezier曲线虽能适合实际应用，但它却不能作局部修改，另外，特征多边形顶点的数量决定了曲线的阶次，这是不太方便的。其二阶导数连续的分段三次曲线，还需要附加一些条件，也不够灵活。为了克服这些缺点，在1972-1974年期间，人们拓广了Bezier曲线，用n次B样条基函数替换伯恩斯坦基函数，构造出等距节点的B样条曲线。B样条曲线除保持了曲线的直观性和凸包性等优点之外，还可局部修改。此外它还具有对特征多边形逼得更近，多项式次数低等特点。因此，B样条曲线和曲面在国内外得到广泛的应用。,