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1、第 30 卷第 6 期大庆师范学院学报Vol 30No 6 2010 年 11 月 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITYNovember， 2010 不等式证明的方法探究 孙凤芝1 ， 李 伟2 ( 1 大庆师范学院 数学科学学院， 黑龙江 大庆 163712; 2 沈阳工业大学 数学系， 辽宁 沈阳 11000) 摘要: 不等式是研究数学问题的重要工具。它渗透在数学的各个部分， 在高等数学中也有极其重要的应用。但 是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统的理论层面的提升。我们从导数、 函数的凸性、 泰勒公 式、 排序不等式、 构造法等高等数学的层面
2、对不等式证明方法进行了有益的探讨。 关键词: 凸函数; 不等式证明; 方法探究 作者简介: 孙凤芝( 1970 ) ， 女， 黑龙江安达人， 大庆师范学院数学科学学院教师， 从事微分方程数值解方向研究。 基金项目: 黑龙江省高教学会 “十一五” 规划课题( 115C 289) ; 黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目: 高师 数学双语教学递进式模式的构建与研究。 中图分类号: O158文献标识码: A 文章编号: 2095 0063( 2010) 06 0040 03收稿日期: 2008 11 25 0引言 不等式证明的基本方法很多， 主要有比较法、 分析法、 综合法、 反证法、 放缩法、
3、数学归纳法、 函数法、 换 元法、 判别式法等十多种方法， 现在国内外有许多教师、 学者对不等式的证明方法进行了系统的归纳和总 结， 并结合丰富的教学经验， 许多方法已经在教学实践中得到广泛应用， 并且已经取得了非常显著的成效。 但是有关不等式证明的高等数学的方法的研究一直缺乏系统的理论层面的提升 下面主要从导数、 函数的 凸性、 泰勒公式、 排序不等式、 构造法等高等数学的层面对不等式证明方法进行了探讨。 1利用概念证明不等式 1 1 利用导数证明不等式 用导数证明不等式， 关键在于构造函数， 然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性， 再利用 单调性得到所证明的不等式。 例 1: 已知
4、 x 0， () 2 ， 求证: sinx xtanx 。 证明: 构造函数 f( x)= xsinx， x 0， () 2 g( x) =tanx x， x 0， () 2 则 f( x) =1 cosx0， g( x) =sec2x1 0， 即 xsinx， xtanx ; 故 sinx， xtanx 1 。 注: 这个三角不等式在相关教材中是用几何方法证明的。这里是构造函数， 利用函数的单调性来证 明， 简单、 快捷。 1 2 利用函数的凸性证明不等式 相关定理: 设 f( x) 为区间 I 上的二阶可导函数， 则在 I 上 f( x) 为凸函数的充要条件是 f( x) 0， x I。
5、例 2: 利用函数的凸性证明: 1 2 ( x + y) n xnyn 2 ， x 0， y 0， x y， n 1。 04 证明: 设 f( x)= t， 则 f( t)= ntn1， f( t)= n( n 1) tn2 当 n 1 时， f( t) 0( t 0) ， 所以 f( t)是凸函数， 依定义， 有 f( t1+ ( 1 ) t2) f( t1)+ ( 1 ) f( t2) 令 t1= x， t2= y， = 1 2 即得1 2 ( x + y) n xn+ yn 2 2 1 3 利用泰勒公式证明不等式 泰勒定理: 若函数 f( x)满足下列条件 1)在闭区间 a， b上函数
6、f( x)有直到 n 阶的连续导数; 2)在开区间( a， b)内函数 f( x)有 n + 1 阶导数， 则对任何 x， x0， 至少存在一点 ( a， b) ， 使 f( x)= f( x0)+ f( x0) ( x x0)+ f( c) 2!( x x0) 2 + + f( n)( x0) n! ( x x0) n + f( n+1)( ) ( n +! ) ( x x0) ( n+1) 例 3: 用泰勒公式证明:a + b + c 3 a2+ b2+ c2 槡 3 。 证明: 设 f( x)= x2， 则 f( x)= 2x， f( x)= 2 0， f( x)= f( x0)+ f(
7、 x0) ( x x0)+ f( c) 2!( x x0) 2 即 f( x) f( x0)+ f( x0) ( x x0) 取 x = a， 得 a2 x2 0 + 2x0( a x0) ; x = b， 得 b2， x2 0 + 2x0( b x0) ; x = c， 得 c2， c2 0 + 2x0( c x0) 。 将不等式两边相加， 得 a2+ b2+ c2 3x2 0 + 2x0( a + b + c) 6x2 0 取 x0= 1 3 ( a + b + c) ， 则 x0在 a， b， c 之间， 故 a2+ b2+ c2 3x2 0 = 3( a + b + c 3 ) 2 即
8、a + b + c 3 a2+ b2+ c2 槡 3 2 泰勒公式是用一个次多项式来逼近函数 f( x) ， 而此多项式具有形式简单， 易于计算等优点。 所以把泰 勒公式应用到不等式证明中， 使问题简单化。 2应用重要不等式证明不等式 数学家利用不等式的基本理论和一些重要的数学方法， 推导出几个数学中最著名的不等式。 这些不等 式简明优美， 而且有着广泛的应用。 排序不等式: 设 a1 a2 a3 an， b1 b2 b3 bn， 则有 a1bn+ a2bn1+ + anb1( 倒序积和) a1br1+ a2br2+ + anbrn( 乱序积和) a1b1+ a2b2+ + anbn( 顺 序
9、积和) 其中 r1， r2， r3rn是 1， 2， n 的一个排列。 证明: 考察右边不等式， 并记 s = a1br1+ a2br2+ + anbrn。 不等式 s a1b1+ a2b2+ + anbn的意义是: 当 r1= 1， r2 = 2， rn= n 时， s 达到最大值 a1b1+ a2b2 + + anbn。 因此， 首先证明 an必须与 bn搭配， 才能使和 s 达到最大值。 也即， 设 rn n 且和某个 ak( k n) 搭配时有 akbn+ anbrn akbrn+ anbn， 事实上， akbr n + anbn ( akbn+ anbrn)= ( bn brn) (
10、 an ak) ， 不等式 说明， 当 rn n 时， 调换 bn和 brn的位置( 其余 n 2 项不变) ， 会使和 s 增加。 同理调整好 a n和 bn后， 再调 整 an1和bn1会使和增加。 经过n 次调整后， 和s 达到最大值a 1b1+ a2b2+ + anbn， 这就证明了a1br1+ a2br2 + + anbrn a1b1+ a2b2+ + anbn。 例 4: 设 a1， a2， an是 n 个互不相同的自然数， 证明: 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n a1+ a2 22 + + an n2 。 证明: 设 b1， b2， bn是 a1， a2， an的一个
11、排列， 且 b1 b2 b bn。 因为 1 1 22 1 n2 ， 所以由排序不等式， 得 b1+ b2 22 + + bn 22 a1+ a2 22 + + an n2 又因为 b1 1， b2 2， ， bn n， 故 b1+ b2 22 + + bn 22 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n 即 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n a1+ a2 22 + + an n2 。 3 注: 排序不等式在不等式证明中占有重要的地位， 和柯西不等式十分相似， 它的使用是根据需要合理 14 的构造出两组适当的数 a1， a2， an和 b1， b2， bn或者在不改变题目要求的前提
12、下， 规定大小关系。 3构造法证明不等式 构造法证明不等式其实质是将不等式进行等价转化， 它以构造方程数列向量图形等作为主要 手段。 例 5: 已知 ， ， ， 2 ， () 2 ， 证明 ( tantan ) 2( tan 2tan ) ( 2tan tan ) 证明: 构造方程 ( tan 2tan ) x22( tantan ) x + ( 2tan tan )=0 1) tan 2tan =0， 因为 tantan 0， 所以不等式成立。 2) tan 2tan 0， 当 x = 1 时， ( tan 2tan )+2( tan 2tan )+ ( 2tan tan )=0。 所以 x
13、 = 1 是方程的根。 所以 =4( tantan ) 2 4( tan 2tan ) ( 2tan tan ) 0 所以 ( tantan ) 2( tan 2tan ) ( 2tan tan ) 。 注: 形如 2 AC 0( 或 0)型不等式可尝试用构造二次方程来解。 4结语 证明不等式的方法灵活多样， 根据待证不等式的特点， 找到一种适当的方法可使问题迎刃而解。以上 对不等式证明方法从导数、 函数的凸性、 泰勒公式、 排序不等式、 构造法等高等数学的层面进行了一些探 讨， 还将在以后的研究中不断完善。 参 考 文 献 1胡汉明 不等式证明问题的思考方法 J ， 数学通讯， 2001(
14、9) : 22 23 2孙清华， 孙昊 数学分析内容方法与技巧: 上M 武汉: 华中科技大学出版社， 2003: 12 16 3陈传理， 张同君 竞赛数学教程M 北京: 高等教育出版社， 2004: 128 140 4符海龙 三角函数中常用的构造方法 J 数学通讯， 2002( 5) : 18 20 5张雄， 李得虎 数学方法与解题研究M 北京: 高等教育出版社， 2006: 159 Inequality Proof Method InquisitionInequality Proof Method Inquisition SUN Feng zhi1， LI Wei2 ( 1 College
15、of mathematics ，Daqing normal college， Daqing 163712， China; 2 Department of Mathematics， Shenyang Industry University， Shenyang 11000， China) Abstract:Inequality is to examine an important tool for mathematical problem It permeates every part of mathe- matics，in higher mathematics is also extremely
16、 important in applications However，inequality in advanced mathematics to prove the method of the theory has been the lack of system level upgrade We derivative of ， the Taylor formula to sort inequality，construction method，such as advanced mathematics to prove the level of ine- quality method is useful explored Key words:convex function;inequality proof;methods to explore 24