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1、第一章 数理统计基础,与概率论一样,数理统计也是研究大量随机现象的统计规律的一门数学学科,它以概率论为理论基础,根据试验或观察得到的数据,对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和科学的推断.数理统计主要研究两类问题: (1) 试验的设计与研究，即如何合理有效地获得数据资料. (2) 统计推断，即如何利用获得的数据资料,对所关心的统计问题作出尽可能有效可靠的判断. 从本章起的接连六章,是数理统计学的初步,主要讲述估计与检验等原理,回归分析与方差分析,试验设计等统计方法.,1 数理统计中的几个概念,1.1 总体与个体,我们将研究对象的全体所构成的一个集合称为总体或母体,而把组成总体的每一单元成员
2、称为个体.,如为研究某厂生产的电子元件的使用寿命分布情况，则总体为该厂生产的所有电子元件，而每一个该厂生产的电子元件都是一个个体.,1.2 简单随机样本,对总体进行研究，首先需要获取总体的有关信息. 一般采用两种方法：,一是全面调查.如人口普查，该方法常要消耗大量的人力、物力、财力.有时甚至是不可能的，如测试某厂生产的所有电子元件的使用寿命.,二是抽样调查. 抽样调查是按照一定的方法，从总体X中抽取n个个体.这是我们对总体掌握的信息.数理统计就是要利用这一信息，对总体进行分析、估计、推断.因此，要求抽取的这n个个体应具有很好的代表性.,按机会均等的原则随机地从客观存在的总体中抽取一些个体进行观
3、察或测试的过程称为随机抽样.从总体中抽出的部分个体,叫做总体的一个样本.,从总体中抽取样本时,不仅要求每一个个体被抽到的机会均等,同时还要求每次的抽取是独立的,即每次抽样的结果不影响其他各次的抽样结果,同时也不受其他各次抽样结果的影响.这种抽样方法称为简单随机抽样.由简单随机抽样得到的样本叫做简单随机样本.往后如不作特别说明,提到“样本”总是指简单随机样本.,定义:设X是具有分布函数F(x)的随机变量,若X1,X2,Xn是具有同一分布函数F(x)的相互独立的随机变量,则称(X1,X2,Xn) 为从分布函数(或总体F(x) 、或总体X)得到的容量为n的简单随机样本,简称样本.它们的观察值(x1,
4、x2,xn )称为样本值,又称为X的n个独立的观察值.,若(X1,X2,Xn) 为X的一个样本,则(X1,X2,Xn) 的联合分布函数为,若X具有概率密度p(x),则(X1,X2,Xn )的联合概率密度函数为,总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,1.3 常用的统计量,设(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本,则,设（x1,x2,xn）是样本(X1,X2,Xn)的观察值,则,若总体均
5、值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,Xn的独立性及同分布性，有,证明,定理:设总体X的均值为,方差为2,(X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有,定理:设总体X的均值为E(X)=,方差D(X)=2, (X1,X2,Xn)是X的一个样本,则有,证明,解,因为,2 数理统计中常用的三个分布,2.1 2分布,2.1.1 2分布的概念,2分布的的密度函数的示意图,2.1.2 2分布的构造,定理:设X1,X2,Xn是相互独立的随机变量,且XiN(0,1),则统计量,2.1.3 2分布的性质,定理:设12 2(n1), 22 2(n2),且12与 22相互独立 ,则12 + 22 2(n
6、1 + n2).,证明 由分布的可加性即可证明.,定理:若2 2(n), 则E(2)=n,D(2)=2n.,证明 因XiN(0,1),故E(Xi2)=D(Xi)=1; D(Xi2)=E (Xi4)-E(Xi2)2=3-1=2, i=1,2,n 于是,2.1.4 2分布的上分位点,对于(0,1)给定,称满足条件:,的点n2()为n2分布的上分位点.,2.2 T分布,2.2.1 T分布的概念,T分布的的密度函数的示意图,2.2.2 T分布的构造,2.2.3 T分布的性质,(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称，且 E(T)=0，D(T)0,(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即,2.2
7、.4 T分布的上分位点,设Tt(n),对于(0,1)给定,称满足条件:,的点tn()为t分布的上分位点.,注:,2.3 F分布,2.3.1 F分布的概念,F分布的的密度函数的示意图,2.3.2 F分布的构造,定理:设X 2(n1),Y 2(n2),且X,Y独立,则随机变量,2.3.3 F分布的上分位点,设F (n1,n2) ，对于给定的a,0a1, 称满足条件,的点F (n1,n2)为F分布的上分位点.,2.3.4 F分布的性质,定理：,证明:设FF(n1,n2),则,得证!,解,因此有,试确定Z的分布.,解,由样本的同分布性知：,由此得：,由t分布的构造知:,3 一个正态总体下的统计量的分布,证明,定理:设(X1,X2,Xn)是来自总体XN(,2)的一个样本,则,且它们表示的随机变量是相互独立的,故,证明,解,所以,解,查表得,则有,由于,4 两个正态总体下的统计量的分布,定理：,证,其中,注:此定理只有在两个总体的方差相等时才成立.,证明: (1)因为,所以,(2)因为,(3)故,所以,特别,当X2 = Y2时,有,证,由F分布的构造知,即,由于,且相互独立,解,解,其中,则,解,因为,所以,查表得,因此,