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1、双曲线及其标准方程（一）（人教版数学高二上册 ）湖南师大附中肖 婕一、教学目标（一）认知目标1、使学生理解并掌握双曲线的定义（第一定义）；2、使学生理解并会推导双曲线的标准方程；3、使学生能根据条件求简单的双曲线的标准方程.（二）能力目标1、渗透类比的思想方法，培养学生观察、发现、类比、归纳、概括、推理等能力;2、培养学生全面、系统、辩证地分析问题的能力，培养学生数形结合的思想。（三）情感目标1、通过对双曲线的初步认识，让学生感知几何图形的曲线美、简洁美、对称美，培养学生学习数学的兴趣；2、在教学中让学生体验数学活动中的探索性与创造性，感受数学的严谨性及数学规律的准确性，培养学生勇于探索、勤于
2、思考的精神.二、教材分析1、教学重点双曲线定义（第一定义），按照给出的条件求简单的双曲线的标准方程.2、教学难点双曲线定义（第一定义）的理解及其应用；双曲线的标准方程的推导.三、教学过程（一）复习提问椭圆的定义是什么？(学生回答，教师演示)平面内与两定点F1、 F 2 的距离的和等于常数(大于 | F1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆（二）新课引入平面内与两定点F1、 F2 的距离的 和等于常数 (大于 | F1 F2 |)的点的轨迹叫做椭圆那么平面内与两定点 F 1、 F 2 的距离的 差等于常数的点的轨迹又将是怎样的图形呢？1（三）实验操作老师带领学生利用几何画板进行实验探究：平面内与两定点F
3、1、F2 的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹将是什么图形？对常数大于|F 1F 2|、等于 |F1F2|和小于 |F1F 2|三种情形下的动点的轨迹进行探究。（四）双曲线的定义在探究的基础上介绍日常生活中双曲线的广泛应用。（展示图片）并由此引出课题，并请学生对照椭圆定义给双曲线下定义.1、双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F2|）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距2、定义讲解：（ 1）没有绝对值符号只表示双曲线的一支；（ 2）0常数 | F1F2 |；若常数 =| F 1F2|，点 M 的轨迹是以
4、F 1、F 2 为端点的两条射线； 若常数 | F1F 2|，点 M 的轨迹不存在 .当常数 =0 时，轨迹为F 1F2 中垂线 .（五）双曲线标准方程的探究现在来研究双曲线的方程我们可以用类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程1、标准方程的推导：（ 1）建系设点建立直角坐标系xOy，使取过焦点F 1、 F 2 的直线为 x 轴，线段F1 F2 的垂直平分线为y 轴 (如图 3)建立（图 3）直角坐标系双曲线的焦距为2c(c 0)，那么，焦点F1、 F2 的坐标分别是(-c， 0)、 (c， 0)又设点M 与 F1、 F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a设 M(x ， y)为双曲线上任意一
5、点。（ 2）找等量关系由定义可知，双曲线就是集合：P=M|M F 1|-|M F 2|=2a=M|M F 1|-|M F 2|= 2a（ 3）列方程 | MF 1 |( x c) 2y 2 ,| MF 2 |(x c) 2y 2 ( x c)2y 2(x c)2y 22a.2这就是双曲线的方程，不过它是无理方程，形式比较复杂。（ 4）化简方程以前遇到过两个根式的问题吗？如何处理？一般处理方法是将一个根式移到方程的另一边再两边平方。让学生仿照椭圆方程的推导自己动手实践：移项得，( xc) 2y2(x c)2y22a.两边同平方得：( x c)2y 24a 24a ( x c) 2y 2( x c
6、) 2y2 .x22cx c2y24a24a ( xc)2y2x22cx c2y 2.2cx4a24a( x c) 2y22cx.移项得，4cx4a24a ( xc)2y2 .整理得，cxa2a( xc) 2y2 .( cxa2 ) 2a222 .两边再平方得，x cyc2 x22a2cx a4a2 x22a2 cx a 2c2a2 y2c2 x2a2 x2a2 y2a2c2a4(c2a 2 )x 2a2 y 2a 2 (c2a 2 )由双曲线定义，2c 2a22即 c a 0，所以 c-a 0设 c2 a2=b2(b 0)，代入上式得：b2x2 a2y2=a2b2两边除以a2b2，得x 2y
7、21(a 0,b 0).a2b 2这就是双曲线的标准方程2、两种标准方程的比较( 引导学生归纳) ：（ 1） x2y 21(a0,b 0)表示焦点在 x 轴上的双曲线，焦点是F1（ c， 0）、a 2b2F 2（ c， 0），这里 c2=a2 +b2(如图 3)；（ 2）如果双曲线的焦点在y 轴上(如图 4)，焦点是222F1（ 0， c）、 F 2（ 0， c）， c=a +b ，那么只须将方程的 x、 y 互换即可得它的方程y 2x20,b 0) ，a21 (ab2这个方程也是双曲线的标准方程.33、 椭圆、双曲线对比列表（课件显示）椭圆双 曲 线定 义|MF 1|+|MF 2|=2a(
8、a |F 1F 2|)|M F 1| |M F 2|=2a (2a |F 1F2|)图 形x2y 21y 2x 21方 程a 2b 2a 2b 2(ab 0)(ab 0)焦点坐标F （ c， 0）F （ 0， c）a、 b、 c 的关系c2=a 2 b2对比提问：x 2y 21y 2x21a2b 2a 2b2(a0, b 0)(a0, b 0)F （ c， 0）F（ 0， c）c2=a2 b2（ 1）双曲线的标准方程中a、b、 c 的关系是什么？与椭圆有何不同？答：双曲线的标准方程中a、b、 c 的关系是 c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2双曲线中c 最大， a 0， b 0，
9、但 a 不一定大于b；而椭圆中，a 最大。（ 2）双曲线的标准方程中 x2、 y2 的系数与焦点所在的坐标轴有何联系？与椭圆有何不同？答：双曲线的标准方程中， 如果 x2 项的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上； 如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上 . 而椭圆焦点位置是通过比较x2、 y2 系数的分母的大小而定的.（六）例题讲解例已知双曲线的焦点坐标为F1（ 5，0）， F2（ 5， 0），双曲线上一点P 到 F1、 F 2 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2y21(a 0,b 0)a2b2 2a=6， 2c=1
10、0， a=3， c=5， b2=5 2 32=16.所以所求标准方程为x2y 21.916变式 1：若将例1 的“差的绝对值等于6”改为“差等于 6”，结果会怎样？答：所求标准方程为x2y 21（ ）.916x0变式 2：若将例1 的“焦点坐标为F1（ 5， 0）， F2（ 5， 0）”改为“焦距等于 10”，结果会怎样？4答：焦点在x 轴上的双曲线标准方程为x2y2y 轴上的双曲线标准方程为91 ；焦点在16y2x291 .16（七）课堂练习x2y2t 的取值范围为；如1、如果方程tt1表示焦点在 y 轴上的双曲线，则实数41果方程表示双曲线，则实数t的取值范围为 .2 、双曲线 x 2y
11、21 上的一点 P 到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离是 .259（先让学生分组讨论再请学生代表逐题上台讲解，最后教师根据学生讲解的情况讲评。）（八）课堂小结这节课我们学习了双曲线的定义、图形和标准方程， 同学们在学习中要注意使用类比的方法，仿照椭圆的定义、图形和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.定义：平面内与两定点F 1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 |）的点的轨迹 .双曲线定义M|MF1| |MF2| 2 ( 2 |F1 F2|)（F1， F2 为定点， a 为常数）a a图形标准方程x2y 21(a 0,b 0)y 2x21( a 0, b 0
12、)a2b2a2b2焦点坐标F1 ( c， 0)， F (c， 0)F1(0， c)， F (， c)a， b， c 关系c2a2b 2 (c a 0, c b 0)注意三点 ：（ 1）是“差的绝对值等于常数” ，不是“差等于常数” ，而且这个常数必须小于 |F 1F 2|；（ 2）标准方程中 a、 b、 c 的关系是 c2=a2+b2， a 与 b 的大小关系不确定；（ 3）焦点在哪根轴上是由 x2、 y2 项系数的正负号来确定的，谁的系数为正，焦点就在哪根轴上.5拓展：我们在推导双曲线的标准方程时，用了两次平方来化简方程，过程教复杂，能否只用一次平方就能化简方程呢？请同学们课后去探究。（九）作业布置1、教科书P107/练习 2；P108/ 习题 8.3 第 2， 3（ 1）（ 2） .22、设F1 和 F2 是双曲线xy21 的 两个焦点， P 在双曲线上，且F 1PF 2=90，求 F 1PF 24的面积 .6