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1、探求三角形的外接圆半径泰州市二中附属初中王 征我们知道任意一个三角形都有外接圆， 如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。一、特殊三角形1. 直角三角形例 1已知：如图，在 ABC中， AB 13， BC12， AC5，求 ABC的外接圆的半径 r. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。解： AB13， BC12， AC 5，C222 ABBC AC， C 90，AB AB为 ABC的外接圆的直径，O ABC的外接圆的半径r 为 6.5.2. 等腰三角形例 2已知：如图，在ABC 中， ABAC=10，
2、BC 12，求 ABC外接圆 O的半径 r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题.解：作直径AD交 BC于点 E，交圆于点D，连接 BD. ABD=90， AB=AC， ABC= C， C= D， ABC= D. BAE= DAB， ABE ADB, AEB= ABD=90， BE=CE=6. AE=AB 2BE 28 . ABE ADB，ABAEADABAB2122 AD18 ,AE8 ABC外接圆 O的半径 r 为 9.二、一般三角形1. 已知一角和它的对边 锐角三角形例 3. 已知：如图，在 ABC 中， AB10， C60，求分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形
3、 .解：作直径AD，连结 BD. D C 60， DBA 90 .AB1020 AD3ABC外接圆 O的半径 r.CDOABsin Dsin 603 ABC外接圆 O的半径 r 为 103 .3 钝角三角形例 4. 在 ABC 中，AB 10，C 100，求 ABC外接圆 O的半径 r. （用三角函数表示）分析：方法同例3.C解：作直径 BD，连结 AD.AB则 D 180 C 80， BAD 90DO BD AB 10sin Dsin 80 ABC外接圆 O的半径 r 为5.sin 80注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径 .2. 已
4、知两边夹一角例 5已知：如图，在 ABC 中， AC 2， BC3， C 60，求 ABC外接圆 O 的半径 r.分析：考虑求出AB，然后转化为的情形解题.解：作直径AD，连结 BD.作 AE BC，垂足为E.则 DBA 90， D C 60， CE 1 AC1， AE3 ，2BE BC CE 2， ABAE 2BE27 ADAB7221sin Dsin 603 ABC外接圆 O的半径 r 为121.33. 已知三边CEDOAB例 6. 已知：如图，在 ABC 中， AC 13， BC14， AB 15，求 ABC外接圆 O的半径 r. 分析：作出直径 AD，构造 Rt ABD.只要求出 AB
5、C中 BC边上的高 AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD，连结 BD.作 AE BC，垂足为E.则 DBA CEA 90， D C ADB ACE， ACAEADAB设 CE x,22222， 13222-(14-x)2 AC-CEAE AB -BE-x 15 x=5, 即 CE 5， AE12 13 12 ， AD 65AD 154CEDOAB65 ABC外接圆 O的半径 r 为.84. 已知两边及第三边上的高例 7. 已知：如图，在 ABC 中， AB 7，AC 6， ADBC，且 AD=5，求 ABC外接圆 O的半径 r.分析：作出直径AE，构造 Rt ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO并延长交圆于点E，连接 BE，则 ABE 90 . E C， ABE ADC90， Rt ABE Rt ADC， AB AE ，ADAC 7AE ，5 6 AE=42 .5总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径 .