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1、福建省晋江市季延中学2013 年高二上学期期末考试数学（理）试卷考试时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题（每小题5 分，共 10 小题）1抛物线 y1 x2的准线方程是 ()181A xB y 2C yD y232322已知集合A1, a,B1,2,3, 则“a3AB”的（）”是“A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3已知两点 F1 (1,0) 、 F2 (1,0)，且 F1F2 是 PF1与 PF2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（）A x2y21B x2y21C x2y21D x2y 21169161243344若 A(1,2,1) ， B
2、(4,2,3) ， C(6, 1,4)，则 ABC的形状是（）A 不等边锐角三角形B直角三角形C 钝角三角形D等边三角形5曲线 ycos x, x0,3 与坐标轴围成的面积是（）2 5A 4B 2CD 326. 若平面的法向量为 n1(3, 2,1) ，平面的法向量为 n2( 2,0,1) ，则平面与夹角（锐角）的余弦是（）70B.70C.70D.70A.101414107. 直线 y2 x 被椭圆 x 2y 21 截得的弦长是（）84410B.410C.210D.16A.39398. 点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点， 则点 P 到直线 yx 2 的距离的最小值是 （）A 1B2C
3、 2D 2 29对于 R 上可导的任意函数f (x) ，若满足 (x1) f / ( x)0 ，则必有（）Af (0)f (2)2 f (1)B.f (0)f (2)2 f (1)C. f (0)f (2)2 f (1)D.f (0)f (2)2 f (1)10设函数 f ( x) 的定义域为 R， x0 ( x00) 是 f (x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（）Ax R, f (x)f (x0 )Bx0 是 f (x) 的极小值点Cx0 是f (x)的极小值点Dx0 是f ( x) 的极小值点二、填空题（每小题5 分，共 5 小题）11命题“xR ， x2ax 10”为真命题，则 a
4、 的取值范围为12双曲线 x2-y 2 =1 的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为a2b213抛物线 y212 x 上一点 M 到焦点的距离是9 ，则点 M 的横坐标是14已知函数f ( x) exmx在 (0,) 单调递增，则实数 m 的取值范围为15已知 x0，观察下列两个不等式：x12 x 12 ， x4x x 43 3 x x43 。xxx 22 2 x22 2 x2问：若 xan 1( nN * ) ，则实数 a =x n三、解答题（共6小题，总分 75分。解答必须写出解答过程和步骤。）16. （满分 12分）已知命题 p ：“直线 y x2 与椭圆 x2y21(a 0且 a1)
5、有公a共点”，命题 q ：“有且只有一个实数 x 满足不等式 x22ax 2a0 ”。 若命题“p 或 q”是假命题，求实数 a 的取值范围。17. （满分 12 分）已知向量 a ( x 2 , x 1), b(1 x,1) ，函数 f (x) a b 。（1）求 f ( x) 在 x0,2 的值域；（2）若 f ( x) t0 至少有两个实数解，求的取值范围。18. （满分 13 分）如图，在长方体ABCDA1B1C1 D1 ，中， AD AA11, AB 2 ，点 E在棱 AD 上移动 .（1）证明： D1EA1 D ；（2）当 E 为 AB的中点时，求点E 到面 ACD1 的距离；（3
6、）是否存在点E，使得二面角D1 ECD 的大小为？若存在，求AE 长度；若不存4在，说明理由。D1C1A1B1DCAEB19. （满分 12分）若数列an的通项公式 an11)2 (n N * ) ，记(nf (n) (1 a1 )(1 a2 )(1an ) 。（ 1）计算 f (1), f ( 2), f (3) 的值；（ 2）猜测 f (n) 的表达式，并证明。20. （满分 12 分）设 F1、 F2 分别是椭圆x2y21的左、右焦点。4（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2 的最大值和最小值；（）设过定点 M (0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点A 、 B ，且 AOB 为
7、锐角（其中 O为坐标原点），求直线的斜率 k 的取值范围。21.（满分 14 分）已知函数f x a x1ln x, x R x若 a2 ，求曲线 yfx 在点 1, f1处的切线方程；若 a0 ，求函数 fx 的单调区间；ax01,，使得 f x0g x0 成立，求实数 a设函数 g x若至少存在一个x的取值范围。季延中学 2013 年秋高一年期末考试数学科试卷参考答案一、选择题：BACADAABCD二、填空题：11.2a212.213.614.(,115.nn三、解答题：16. 解： P： a0且a1yx21) x2又因为x2y2得 (a2 2x2 a0(a0) ，由0 得 a11a综上，
8、 a 1q:0,得 a0或 2p 或 q： a1或 a0“p或 q”是假命题，得 a1且 a0 。17. 解： f ( x)x 3x 2x1f / ( x)3x22x 1 0 得 x11 , x211 ,1)时， f /3x( x)0 ， f (x) 单调递增3x(-，- 1)、x(1,)时， f/ ( x) 0， f ( x) 单调递减3又因为 f (0)1, f (1)2, f ( 2)1所以求 f (x) 在 x0,2 的值域为 1,2 。（2） f ( x)ttf (1)22t20 至少有两个实数解，只需满足3，得tf (1)27所以， 22t2 。2718. 解：解：以 D 为坐标原
9、点，直线DA, DC , DD1 分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，设 AEx，则 A1(1,0,1), D1(0,0,1), E(1, x,0), A(1,0,0), C (0, 2,0)（ 1） 因为 DA1 , D1 E(1,0,1), (1, x,1)0, 所以 DA1D1 E.（ 2）因为 E 为 AB 的中点，则 E(1,1,0)，从而 D1 E(1,1, 1), AC(1,2,0) ，n AC0,AD1( 1,0,1) ，设平面 ACD 1 的法向量为 n( a, b, c) ，则n AD10,a2b0a2bn (2,1,2)D1也即ac0，得a，从而，c所以点 E
10、 到平面 ACD1 的距离为A1| D1En |21 21Dh| n |3.3AE（3）假设存在设平面D1 EC 的法向量 n(a,b, c) ， CE (1, x2,0), D1C(0,2,1), DD 1(0,0,1),nD1C0,2bc0令 b 1,c 2,a2 x ，由ab( x 2)0.nCE0, n (2 x,1,2).依题意 cos| n DD 1 |222.( x 2) 24| n | | DD 1 |252 x1 23 （不合，舍去） ， x2 23 .所以点 E 存在， AE 23 时，二面角 D1EC D 的大小为 .419. 证明：345(I) f (1)， f (2)
11、， f (3)468n 2(II) 猜测 f ( n)，现用数学归纳法证明如下：2n2C1B1CB当 n1时，显然成立；假设当nk(k1时，结论成立，即f ( k)k.)22k2k21 ) 2 当 nk1时， f (k1)(1 a1 )(1 a2 )(1 ak )(1 ak 1 )1(2k2k2(k1)22( k1)2当nk1时，结论成立 .由、可得，k2f (k )对一切正整数都成立 .2k220. 解：（）易知 a2, b1,c3 ，所以 F13,0, F23,0，设 Px, y ，则PF1 PF23 x, y , 3 x, yx2y23 x2x2313x28144因为 x2,2，故当 x
12、0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF1 PF2 有最小值2当 x2，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF1PF2 有最大值（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, A x1 , y2, Bx2, y2 ，ykx21联立，消去 y ，整理得：k224kx30x2y24x14 x1x24k, x1x23k 21k21443 或 k由4k4 k134k 23 0 得： k32422又 00A0B900cosA0B0OA OB0 OA OB x1 x2 y1 y20又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x22k x1x243k28k24k 21k 21k 21k214443k 2
13、 10 ，即k24 2 k 2k 21k2144故由、得2 k3或3k22221. 解：函数的定义域为0,， f xa111ax2x ax2xx2（1）当 a2 时，函数 fx2x1ln x ，由 f10， f 13 x所以曲线yf ( x) 在点 (1, f (1) 处的切线方程为y3 x1 ，即 3xy30 （2）函数 f ( x) 的定 域 0,由 a0 ，14a2 ，（）若 0a1，2由 f x0 ，即 h x0 ，得 x1 1 4a2或 x1 1 4a2；2a2a由 f x0 ，即 h x0，得 1 1 4a2x1 1 4a22a2a所以函数 f ( x) 的 增区 114a2和11
14、4a2，0,2a2a, 减区 11 4a2,114a22a2a（）若 a1，h x0 在 0,上恒成立， 则 f x0 在 0,上恒成立，此 f ( x)2在 0,上 增（3）因 存在一个x01,使得 fx0gx0，则 ax0ln x0 ，等价于 aln x0x0.令 Fxln x1,，等价于“当 x1, ， a F x min ” .x, x 12 分1ln x对 Fx求 ，得 F x.x2因 当 x1,e ， F x0，所以 Fx在1,e 上 增 .故此 Fx0, 1，e当 xe, ， F x0，所以 Fx在 1,e上 减 . ，又 Fx0 ，故此 Fx0, 1 ，e 上， Fx0, 1，即 FxminF 10 ，所以 a 0 .e