《福建省三明市第一中学2015年高三上学期第二次月考数学试卷(理).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建省三明市第一中学2015年高三上学期第二次月考数学试卷(理).docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、福建省三明市第一中学2015 年高三上学期第二次月考数学试卷（理）第 I 卷(选择题共 50 分 )一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 请将答案填在答题卡的相应位置）1. 复数5( )34iA 3 4i 3 4iC 3 4 iD 34 i55552. 已知随机变量服从正态分布 N 2,2， P40.84 , 则 P 24 （）A 0.68 0.34C 0.17D 0.163.已知三个数2 m, 8构成一个等比数列, 则圆锥曲线x2y21 的离心率为，（）m2A 2B 3C2 或 3D2 或622224.若 k
2、R ，则“ kx2y21表示双曲线”的（）4 ”是“方程k3k3A 充分不必要条件必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9 ，则 a 的可能值为 ()5A 4B 5C 6D 76. 从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：由下表可得回归直线方程y0.5xa ，据此模型预报身高为172cm的男生的体重大约为（）A 69.5 kgB 70kgC70.5 kgD 71 kg7. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如上图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业
3、等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2500,3000)（元）月收入段应抽出的人数为 ( ).A 25B 24C 23D 208 已知直线 axy1 0 经过抛物线y24x 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（）A 6 7C 8D 99. 已知直线 l : yxb 与曲线 C : y34xx2有公共点，则 b 的取值范围为（）A 3,3B 3,122C 122,1 2 2D 1 2 2, 310. 设 P, Q 分别为 x2y 6 22和椭圆 x2y21 上的点，则 P,Q 两点间的最大距离是（）10A 5 2B.462C.72D. 6 2第 I
4、I卷（非选择题共100 分）二、填空题：（本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分，请将答案填在答题卡的相应位置）11.已知 (1 3x) 7a0a xa2x 2ax7, 则a1 a2a7；17_12.已知直线 l 过圆 x2y26 y50 的圆心，且与直线x y 1 0 垂直，则l 的方程是 _；13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有；（用数字作答）14. 在区间0,1 内随机的取两个数a, b ，则满足 0 a b1的概率是；（用数字作答）215. 若 AB 是过圆锥曲线中心的任意一条弦，M 是圆锥曲线上异于A 、
5、 B 的任意一点，且AM 、 BM 均x2y21 有 kAM kBMb2x2y2与坐标轴不平行，则对于椭圆a2b2a2，类似地，对于双曲线a22 1 ，有bkAM kBM.三、解答题： （本大题共 6 小题，共80 分，请将答案写在答题卡的相应位置）16. （本小题满分 13 分）已知 acos x ,1 ， bsin x cos x ,1 ， f xa b ，2( ) 若 0， sin2的值；，求 f22（）求函数 fx 的最小正周期及单调递增区间 .17. （本小题满分 13 分）我国政府对 PM2 5 采用如下标准：PM2.5 日均值（微克 / 立方米）空气质量等级PM2.5 日均值（微
6、克 /立方米）m2823821445638770m35一级35m75二级m75超标三明市环保局从180 天的市区PM25 监测数据中，随机抽取l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示( 十位为茎，个位为叶) ( )求这10 天数据的中位数.（）从这已检测到的l0 天数据中任取3 天数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；（）以这10 天的 PM2 5 日均值来估计这180 天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级18. （本小题满分 13 分）设数列an 的前 n 项和为 Sn ，并且满足 2Snan2n ， an0nN( )求a1, a2 , a3 ；（）猜想an 的通项
7、公式，并用数学归纳法加以证明.19. （本小题满分13 分）P如图，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形，AB2, BAD60 .( )求证： BD平面 PAC ;D（）若 PAAB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值；CA（）当平面PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长 .B20. （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆x2y21(a b0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1, F2 为顶a 2b22点的三角形的周长为4( 21) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 P
8、F2与椭圆的交点分别为 A 、 B 和 C、D .（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k2 ，证明 k1 k21 ；（）探究11是，求出这个定值；AB是否是个定值，若CD若不是，请说明理由.21. （本小题满分 14 分）已知函数fx1lnx1x（）求函数fx 的定义域；（）确定函数fx 在定义域上的单调性，并证明你的结论；（）若 x0 时 f ( x)kk 的最大值 .恒成立，求正整数x1福建省三明市第一中学2015 年高三上学期第二次月考数学试卷（理）答案一、选择题题目答案二、填空题12345678910CBCAABACDD11、12912、
9、 xy3013、2414、 115、 b28a2三、解答题16、解 :(I)0， sin2cos2，-2分2，22fa bcossincos122211-5分222222(II)fxa bcos xsin xcos x1，2fxa bcosx sin xcosx1sin x cosxcos2 x1221 sin 2x1cos 2x11 sin 2x1 cos 2x2sin 2 x-9分2222224所以 fx的最小正周期 T,-10分由 2k2x2k, k Z 得， k3x k, k Z ，82428所以 fx的的单调增区间为k3, k, kZ .-13分8817 解 : (I)10天的中位数
10、为 38 4441 （微克 / 立方米）-2分2(II)由 N10, M4, n3,的可能值为0， 1，2， 3-3分利用 P(k )C4kC63k0 , 1, 2 , 3) 即得分布列：-7分C103(k0123p1131621030-10分(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为2 ，由 B180,2, 得到-12分55E180 272 ( 天 ) ，5故一年中空气质量达到一级的天数为72 天 .-13分18. 解：分别令 n1,2,3 ，得22a1 a11，22( a1 a2 ) a2 2，22( a1 a2 a3) a3 3， a 0， a 1， a 2， a 3.-4分n123(
11、2)解猜想： an n，-5分由22Snan n，可知，当 n 2 时，22Sn 1 an 1 ( n 1) ，222 2 n21.-6分，得 2 n nn 1 1，即nn 1a aaaa a221， a 0， a 2；-7分( ) 当 n 2 时， a 2a 12222( ) 假设当 nk( k 2) 时， ak k.那么当 n k 1 时， ak 1 ( k1)ak 1 ( k 1) 0， ak 10， k2， ak 1 ( k1)0 ， ak 1 k 1.这就是说，当n k 1 时也成立，n a n( n 2) 显然 n 1 时，也适合综合（ 1）（ 2）可知对于 n N* ， an n
12、 都成立。-13分19.解：证明：（）因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD.-1分又因为 PA平面 ABCD.所以 PA BD. 又因为 PAAC A-2分所以 BD 平面 PAC.-3分（）设 ACBD=O.因为 BAD=60 ， PA=AB=2,所以 BO=1 ， AO=CO=3 .-4分以 O 为坐标原点， OB 为 X 轴， OC 为 Y 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P（ 0， 3 ， 2）， A（ 0， 3 ， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（0， 3 ， 0）.所以 PB (1, 3, 2), AC(0,2 3,0).-5分设 PB 与 AC 所成角为，则PB A
13、C66-8分cos.| PB | | AC |2 2 2 34（）由（）知BC( 1,3,0).设 P（0，3 ， t）（t0 ），则 BP( 1,3,t )-9分设平面 PBC 的法向量 m(x, y, z) ,则 BC m0, BP m0x3y0,取 y3, 则 x3, z6 . 所以 m(3, 3, 6 )所以x3 ytz0tt同理，平面 PDC 的法向量 n( 3, 3, 6 )t因为平面PCB 平面 PDC,所以 m n =0，即6360t 2-10分-11分解得 t6，所以 PA=6-13分20. 解（）设椭圆的半焦距为c，由题意知：c22 +1) 所以 a=2 2 ， c=2，a
14、， 2a+2c=4(2又 a2 = b2c2 ，因此 b=2。故 椭圆的标准方程为x2y21-2分84由题意设等轴双曲线的标准方程为x2y21m0 ，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点。m2m2所以 m=2，因此 双曲线的标准方程为x2y21-4分44（）设 P（ x0 , y0 ）， F12, 0 , F22,0y0， k2y0。-6分则 k1 =x0x022因为点 P 在双曲线 x2y24 上，所以 x02y024 。因此 k1k2y0y0y021，即 k1k21-8分x0 2x02x024（ III ）设 A（ x1 ， y1 ）， B（ x2 , y2 ），由于 PF1 的方程为 yk1
15、 x 2，将其代入椭圆方程得2k121 x28k12 x8k1280-9分所以 x1x28k12, x1x28k128 ，所以-10分2k212k2111AB1 k12x1x224x1 x28k1228k1281k124-11分2k1212k12142k1212k121同理可得 CD42 k221 .-12分2k221则111 ( 2k121 2k221) ，AB CD4 2k12 1 k221又k1k2 1，21111 ( 2k121 k122 ( 2k121 k1 22)3 2 .所以)AB CD4 2k12118 k121 k1218k12故1132恒成立 .-14分ABCD821解：（
16、 1）定义域 ( 1,0)(0,)-1分（ 2） f( x)x2111ln( x1)当 x0时,f( x)0单调递减。-4分x当 x (1,0) ，令 g(x)1ln(x1)g (x)11x0-6分x 1(x 1)2x 1 (x 1)2故 g (x) 在（1，0）上是减函数，即g ( x)g (0)10 ，-7分故此时 f (x)12x1ln( x 1) ,在（ 1， 0）和（ 0， +）上都是减函数-8分x1（3）当 x0 时， f ( x)k恒成立，令 x1有k21ln 2x1又 k为正整数， k的最大值不大于 3-9分下面证明当 k=3时， f (x)k(x0) 恒成立x1即证 当 x0 时( x1) ln (x1)12x0 恒成立-10分令 g (x)( x1) ln( x1)12x，则g (x)ln( x1)1, 当 xe1时， g (x) 0，当0 xe1时, g (x)0-12分当 xe1时, g( x) 取得最小值 g (e1)3e0故当 x0 时， (x1) ln( x1)12x0 恒成立，因此正整数k的最大值为 3.-14分