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1、膀平面向量的概念及其线性运算芄 1向量的有关概念肅(1) 向量的定义：既有大小，又有的量叫做向量蒂(2) 向量的表示：把规定了起点A 和终点 B 的线段，叫做有向线段，可以用有向线段羇AB表示向量，有向线段的长度|AB a，若 |a| 0，则 a|表示向量的大小，也可记作AB蚇叫做零向量；若|a| 1，则 a 叫做蒄(3) 向量相等与共线向量膂相等向量：长度且方向相同的向量聿共线向量：表示两个非零向量a，b 的有向线段所在的直线，则 ab.螅零向量与任何向量平行，平行向量也叫做共线向量袄 2向量的运算和运算律袃(1) 向量的加法运算：作AB a，BC b，则 a b AC，向量的加法同时满足三
2、角形法肀则和法则膇(2) 向量的减法运算：作OA a，OB b，则 a b BA.莃(3) 向量的数乘运算：a( R )表示一个向量，满足蚃 |a| |a|；袇 0， a 与 a 同向； 0， a 与 a 反向； 0，a 0.芆(4) 数乘运算的运算律：螃 (a) ()a；膀 ( )aa a；罿 (a b)a b莄 3两向量共线定理膂如果向量a 0，则 a b 的充要条件是存在使 b a.袀考向一平面向量的基本概念羀【例】1下列各命题中，真命题的个数为()蚇若 |a| |b|，则 a b 或 a b；若 AB DC，则 A、 B、C、 D 是一个平行四边形的袅四个顶点；若a b， b c，则
3、a c；若 a b， b c，则 a c.薀 A 4B 3C2D 1螇 2下列命题中的真命题是()袅 a b? 存在唯一的实数，使得 a b.芅0 的实数 1212 a b? 存在不全为和 使 a b 0.莁 a 与 b 不共线 ? 若 2 0.1 a 2b 0，则 1衿 a 与 b 不共线 ? 不存在实数 1a 2b 0.1， 使得2膇 A 与B与C与D与螄 3下列说法中，正确的的个数为()肁若 |a| |b|，则 a b 或 a b；若 AB DC，则 A、 B、C、 D 是一个平行四边形的羀四个顶点；若a b， b c，则 a c；若 a b， b c，则 a c.芆 A 4B 3C 2
4、D 1膃考向二平面向量的运算与几何意义袁【例】 1D 、 E、 F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则()螈 A. AD BE CF 0B. BD CF DF0C. ADCE CF0D. BD BF FC 0蚈 2如右图所示，向量a b 等于()薃 A 4e1 2e2B 2e14e2C e1212薂 3eD 3e e蝿 3平面上点P 与不共线三点A， B， C 满足关系式 PA PB PC AB，则() 螆 A. CP 2PA 2PBC. PB 2PCD. BP 2PCB. AP肂 4在 ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB莂
5、 2GE，设 AB a， AC b，试用 a、b 表示 AD， AG.袀袅蚆肃蚈芇 5.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，膅若 c=ab(， R)，则=.袃虿莆薄艿螁螈羄考向三向量共线充要条件的应用肀【例】1.已知非零向量e1 和 e2 不共线薈(1) 如果 AB e1 e2， BG 2e18e2 ，CD 3(e1 e2)，求证： A， B，D 三点共线袆蒃螀(2) 欲使 ke1212共线，试确定实数k 的值e和 e ke蕿羅袂 2.若非零向量a， b,3a 2b 的起点相同试证其终点在同一直线上薀蚁 3.试证明：若“ P， A， B 三点共线”，则“存在实数， 使 OP OA
6、OB且满足 1”成立莇节芁 4.试证明：若“存在实数， 使OP OAOB且满足 1”，则“ P， A， B 三点共线”成立蒈蒅羅平面向量的基本定理及其坐标表示羁 1平面向量的基本定理蕿如果 e ，e 是一个平面内的两个向量，那么对这一平面内的任一向量a，12袈有且只有一对实数， 使： a e e .121122莅其中不共线的向量e ， e 叫做表示这一平面内所有向量的12螂 2平面向量的坐标表示莇(1)在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i， j 作为基羆底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj，由于袄a 与数对 (x， y)是一一对应的
7、，因此把(x， y)叫做向量a 的坐标，记作a (x， y)，蒂莈其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标(2)起点为原点的向量，其终点坐标即为肅 3平面向量的坐标运算节(1) 加法、减法、数乘运算：若a ( x1，y1 )， b (x2，y2)，则 ab (x1x2， y1y2 )，则芁 a (x1， y1)(2) 向量坐标的求法：若 A(x1 122 (x2 1 2 1葿， y )， B(x， y )，则 AB x ， y y )蒆(3) 平面向量共线与垂直的坐标表示：设a (x1，y1) ， b (x2，y2 )，若 a b?；蚂若 ab? x1x2 y1y2
8、0.羂考向一平面向量基本定理的应用芆【例】 1已知两点A(4,1)， B(7， 3)，则与 AB同向的单位向量是()薄 A. 3， 4B. 3，4C. 4， 3D. 4， 355555555膁 2已知向量a (1,1)， b (2， x)，若 a b 与 4b 2a 平行，则实数x 的值是()螂 A 2B 0C1D 2芇 3在平面坐标系内，已知点A(2,1) ，B(0,2)， C( 2,1)， O(0,0)给出下面的结论：羇直线 OC 与直线 BA 平行； AB BC CA；螅 OAOC OB； ACOB 2OA.芈其中正确结论的个数是()荿 A 1B 2C 3D 4肅芄 4下列各组向量中：
9、e1( 1,2)， e2 (5,7)； e1 (3,5) ， e2 (6,10) ； e1 (2， 3)， e2 1， 3 ，24罿其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是_膆 5如右图，平面内有三个向量 OA、 OB、 OC，其中 OA与 OB的夹角为膃 120， OA与 OC的夹角为 30，且 |OA| |OB| 1，|OC| 2 3，若蚃OC OA OB (、 R )，则 的值为 _ 虿 6如右图， 在 ABC 中，M 是 BC 的中点， N 在边 AC 上，且 AN 2NC，芇 AM 与 BN 相交于 P 点，求 APPM 的值薆肃蒀艿蚄薂膀肆肇羁羀考向二平面向量的坐标运算膈【例
10、】平面内给定三个向量a (3,2)， b ( 1,2)，c (4,1)膅(1) 求 3a b 2c；蚅(2) 求满足 a mb nc 的实数 m， n；蚁(3) 若 (a kc) (2b a)，求实数k；腿(4) 设 d(x， y) 满足 (d c) (a b)且 |dc| 1，求 d.芃肄蒁羆蚆蒃膁平面向量的数量积肈 1两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与 b，作 OA a， OB b，则 AOB (0螄 )叫 a 与 b 的夹角注意：当 0 时 a 与 b 同向；当时， a 与 b 反向；当羃 2 时， a 与 b 垂直，记a b；羂 2平面向量数量积(内积 )的定义： 已知两个非零
11、向量a 与 b，它们的夹角是，则数量 |a|b|聿 cos 叫 a 与 b 的数量积，记作ab，即有 ab.膇 3“ 投影 ”的概念：叫做向量b 在 a 方向上的投影莂 4数量积的的几何意义：数量积等于 a 的长度与b 在 a 方向上投影 |b|cos 的乘积蚂 5平面向量数量积的性质： 设两个非零向量 a，b袆(1)a b?.芅(2) 当 a 与 b 同向时， ab |a|b|；当 a 与 b 反向时， ab |a| |b|.螂特别的 aa或 |a|aa.腿(3)|ab| |a|b|.羈 6平面向量数量积满足的运算律莃(1)ab ba；(2)( a) b (ab)， 为实数；(3)(ab)
12、c.膁 7平面向量数量积的坐标表示：衿聿螆袄虿考向一向量数量积的运算袇【例】 在边长为，则 11 的等边 ABC 中，设abca b b c c a()袄 A 33D32B0C.2莄 2 a， b 为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则 ab 夹角的余弦值等于()A.8B816D16莀6565C.6565袈 3.已知向量 a，b 满足 ab0，|a|1，|b|2，则 |2ab|()芆 A 0B2 2C4D8螃 4两个非零向量 a、 b 互相垂直，给出下列各式：膀 ab 0； abab； |ab| |a b|； |a|2 |b|2(a b)2； (ab) (ab)0.罿其中正确的式
13、子有()莅 A 2 个B3 个C4 个D5 个膂 5 已知向量a (1,2) ， b (2， 3)若向量 c 满足 (c a) b， c (a b)，则 c _.袀 6已知 |a| |b| 2， (a2b) (a b) 2，则 a 与 b 的夹角为 ()A.D.2螇6B.3C.23蚇 7已知 a(2， 1)，b(， 3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是 _薂 8若 a， b，c 均为单位向量，且ab 0， (a c) (b c) 0，则 |a b c|的最大值为 ()薁 A. 2 1B 1C. 2D 2螈 9已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量若向量 c 满足 (a c
14、) (b c) 0，则 |c|的最大值是 _袆肁 10. (1)证明： (ab)2a2 2abb2；莁 (2)设 a、 b 是夹角为 60的单位向量，求 |2ab|、 |3a 2b|； 2ab， 3a2b衿羄螅肂 11已知三个向量a、b、c 两两所夹的角都为120， |a|1，|b| 2， |c|3，求向量 a蚇 bc 与向量 a 的夹角芆膄袂蚈考向二向量与平面几何莅【例】1 已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0.若存在实数m 使得 AB AC mAM成立，则 m ()薃 A 2B 3C 4D 5芈 2已知直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC 90， AD 2，BC 1
15、， P 是腰 DC 上的动点，则 螀 |PA 3PB| 的最小值为 _螇羃聿薇袅蒂蝿蚈羄考向三向量在物理中的应用袁蕿【例】质点受到平面上的三个力F 1，F 2， F 3(单位：牛顿 )的作用而处于平衡状态，蚀 已知 F 1，F 2 成 60角，且 F 1，F 2 的大小分别为2 和 4，则 F 3 的大小为()A 2 7B 2 5C2D 6以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。,.For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f r den pers?nlichen f r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales.