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1、黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015 年高二上学期期末考试数学试卷考试时间： 120 分钟 试卷满分：150 分一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1. “ x 1”是“ x21 ”的A . 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 命题 p :xR, x210 的否定是A .p : x R, x21 0B.p : x R, x21 0C.p : x R, x21 0D.p : x R, x21 03双曲线x2y21 的渐近线方程为916A . y16 xB. y9 xC. y3
2、 xD. y4 x916434方程x2y21表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是410kkA . (4,)B.(4,7)C.(7,10)D.(4,10)5同时掷两个骰子，则向上的点数和为8 的概率是A .1B.7C.5D.16363646根据秦九韶算法求x1 时 f ( x)4x43x36x2x1 的值，则 v2 为A .1B.5C. 21D.227 在长方体ABCDA B C D中， AB3, AD4, AA5， O 为 D C 与 DC 的交点，则三棱锥1111111开始O ABC 的体积为S=1，i =1A . 5B. 10C. 15D. 30否8右面的程序框图表示求式子1
3、 3 71531 63是的值，则判断框内S = S i可以填的条件为i =2 i + 1A . i 31?B. i63?C. i63?D. i127?输出 S结束9 已知 X 和 Y 是两个分类变量，由公式K 2n(adbc)2算出 K 2 的观测值k 约为(ab)(cd )(ac)(bd)7.822 ，根据下面的临界值表可推断P(K 2k0 )0.100 050.0250 0100.0050 001k02.7063 8415.0246.6357.87910828A . 推断“分类变量X 和 Y 没有关系”犯错误的概率上界为0.010B. 推断“分类变量X 和 Y 有关系”犯错误的概率上界为0
4、.010C. 有至少99%的把握认为分类变量X 和 Y 没有关系D. 有至多99%的把握认为分类变量X 和 Y 有关系10在四面体 ABCD 中， ABAD ， ABAD BCCD1，且平面 ABD 平面 BCD ， M 为 AB中点，则 CM 与平面 ABD 所成角的正弦值为2B.33D.6A .3C.32211三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1 ， ABAC ， N 是 BC 的中点， 点 P在 A1B1 上，且满足 A PA B ，直线 PN 与平面 ABC 所成角的正切值取最大值时的值为1111B.2325A .2C.D.52212已知 A, B 是抛物线
5、y24x 上异于顶点 O 的两个点， 直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为定值4 ，F 为抛物线的焦点，AOF , BOF 的面积分别为 S1 , S2 ，则 S12S22 的最小值为A. 8B.6C.4D.2二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分)13 在集合( x , y ) | 0 x5 ,且0 y内任取一个元素，能使代数式3x 4 y 12 0的概率为4_14直线 l : x y10 与抛物线 yx2 交于 A, B 两点，若点 M (1,2) ，则 MA MB 的值为 _15在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD ， AB3,
6、 BC PA1， E为 PD 的中点，点 N 在面 PAC 内，且 NE 平面 PAC ，则点 N 到 AB 的距离为16下列关于回归分析的说法正确的是(填上所有正确说法的序号 )相关系数 r 越小，两个变量的相关程度越弱；残差平方和越大的模型， 拟合效果越好； 用相关指数 R2来刻画回归效果时，R2 越小，说明模型的拟合效果越好；用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使n( yibxia) 2 取最小 的a,b 的 ；在残差 中，残差点比 均匀地落在水平的 状区域内， i1明 用的模型比 合适， 的 状区域的 度越窄，模型 合精度越高.三、解答 （本大 共6 小 ， 17 分 10 分， 18、
7、 19、 20、 21、 22 每 12 分，共 70 分）17. 某学校从参加高一年 期末考 的学生中抽出20 名学生，将其成 （均 整数）分成六段40,50 ，50,60 ，90,100 后画出如下部分 率分布直方 . 察 形的信息，回答下列 ：（ I）求第四小 的 率，并 全 个 率分布直方 ；( )估 次考 的及格率（60 分及以上 及格）和平均分；频率组距( ) 从成 是 80 分以上（包括 80 分）的学生中 两人，求他 在同一分数段的概率 .0.0250.0150.010.005分数40506070809010018.如 ，四面体ABCD 中， O、 E 分 是 BD 、BC 的
8、中点， CA CB CD BD 2, AB AD2.A（ I）求 ： AO 平面 BCD ；（ II ）求点 E 到平面 ACD 的距离 .DOBEC19.某 趣小 欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之 的关系,他 分 到气象局与某医院抄 了1 至 6月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就 的人数,得到如下 料 :日期1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日昼夜温差 x( C)1011131286就 人数 y(个)222529261612 趣小 确定的研究方案是:先从 六 数据中 取2 组 ,用剩下的 4 数据求 性回
9、方程,再用被 取的 2 数据 行 ( )求 取的 2 数据恰好是相 两个月的概率；( )若 取的是1 月与 6 月的两 数据 , 根据 2 至 5 月份的数据 ,求出 y 关于 x 的 性回 方程yb x a ；( )若由 性回 方程得到的估 数据与所 出的 数据的 差均不超 2 人 , 得到的 性回 方程是理想的 , 小 所得 性回 方程是否理想?n(xi x)( yiy)(参考公式 :bi 1， a y b x )n( x x)2ii 120. 如图，三棱柱ABCA1B1C1 侧棱垂直于底面 , AB 4 , ACBC 3 , D 为 AB 的中点 .( ) 求证： AC1 / 平面B1C
10、DC1( ) 若 AB1A1C , 求二面角 A1CD B1 的余弦值 .A1B1CADB21. 已知椭圆 C1 ： x2y21的左、右焦点分别是F1 、 F2 ， Q 是椭圆外的动点，满足 | FQ1 |4. 点 P 是4线段 F1Q 与该椭圆 C1 的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 PT TF2 0,| TF2 | 0.( ) 求点 T 的轨迹 C2 的方程；( )过原点的直线 l 与曲线 C1,C 2 分别交于点 S, R （ S, R 不重合），设SF1F2 ， RF1F2 的面积分别为 S1， S2 ，求 S1的取值范围 .S222. 已知抛物线 C 顶点为O(0,0),
11、 焦点为 F(1,0),A 为 C 上异于顶点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B, 交 x 轴的正半轴于点D, 且有 FAFD ，延长 AF 交曲线 C 于点 E. 过点 E 作直线 l1 平行于 l , 设 l1 与此抛物线准线交于点 Q .y( ) 求抛物线的 C 的方程；A( )设点 A、B、E 的纵坐标分别为yA 、 yB 、 yE ，求 yAyB的值；yAyEQo( )求 AEQ 面积的最小值 .FDExB数学试卷答案一、 1.A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.B 10.D 11.A 12.D二、填空 13.71714. 2 15.1
12、6. 108三、解答 17. （）因 各 的 率和等于1,故第四 的 率：频率组距0.030.0250.0150.010.005分数405060708090100f41(0.0250.01520.010.005)100.3第四 小矩形的高 0.3100.03 2（） 次考 的及格率 1 0.1 0.15 0.75 4利用 中 估算抽 学生的平均分45f155f 265f 375f485 f595f645 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05 71估 次考 的平均分是71 分 6（） 80, 90)，90,100”的人数是 5,1 。所以从成 是
13、80 分以上（包括80 分）的学生中 两人，他 在同一分数段的概率。PC52102 10C6215 318 ( ) 明：ABAD ,O 为 BD 的中点，AOBD ，AD2 ,OD1， CBCDBD2, OC3 ，zAO 1A又 CA2,CA2OA2OC 2 ，AOOC ，BDOCO ， BD , OC 均在平面 BCD 内，AO平面 BCD6MDOB( )方法一 ：以 O 坐 原点，以OB,OC , OA方向 x ， y ， z 正xECy方向建立空间直角坐标系，则3,0), D ( 1,0,0), E( 1 ,3 ,0) ，AA(0,0,1), B(1,0,0), C (0,22PAC(0
14、,3,1), CD( 1,3,0)DHO设 n( x, y, z) 平面 ACD 的法向量， nAC ， nCDBEC3yz0,3) ，x3y取 n ( 3, 1,0,EC (1 ,3 ,0) ， 点E 到平面 ACD 的距离 d| EC n |321 1222| n |77方法二 ： 点 H 在 CD 上，且 DH1 DC ， AH ，4CBCDDB2, O 为 BD 的中点，OHCDAO平面 BCD ， CD平面 BCD ，AOCD ,AO OH O , AO,OH平面 AOH ，CD平面 AOHCD平面 ACD ， 平面 AOH平面 ACD ，且交 AH 点 O 作 OPAH 于点 P
15、， OP平面 ACDO, E 分 BD , BC 的中点， OE / CD ,OE平面 ACD ， CD平面 ACD ，OE / 平面 ACD ， E 点到平面 ACD 的距离即 OP ，337AO OH121AO1,OH2, AH,OPAH77222故点 E 到平面 ACD 的距离 21719. 解： ( ) “抽到相 两个月的数据” 事件A 因 从 6 数据中 取 2 数据共有15 种情况 ,每种情况都是等可能出 的其中 ,抽到相 两个月的数据的情况有5 种P A51153所以( )由数据求得 x 11, y24由公式求得 b187再由 aybx307y18 x30所以 y 关于 x 的
16、性回 方程 77( )当 xy150| 15022 |210 时 ,7 ,7；78782同 , 当 x6 时 ,y|14 |7 ,7所以 , 小 所得 性回 方程是理想的 8 1220. 方法一 ： ( ) 以 D 坐 原点，以DB , DC 方向 x ， y 正方向建立空 直角坐 系， D (0,0,0), A( 2,0,0), B(2,0,0), C (0,5,0) ，设 AA1h ， A ( 2,0, ), h(2,0,B ),(0, h5,C)1h，DC (0, 5,0) ，A111DB1(2,0, h) 平面 B1CD 的法向量 n ( x, y, z) ， nDC , nDB1 ，
17、5 y0,A(h,0,2) ，2xhz取 n0,AC1(2,5, h) ，AC1 n 2h2h 0 ，AC1 / n ，AC1平面 B1CD ， DM平面 B1CD ，AC1 / 平面 B1CD ( )AB1A1C, AB(4,0, h), AC(2,5,h)11AB1 AC18 h20, h 2 2 ，平面 B1CD 的法向量 n (22,0,2) ， 似可取平面A1CD 的法向量 m(2,0,1) ，zB1C1yCDBx 4cos n, mn m21 ，| n m |2 33 3故二面角 A1CDB1 的平面角的余弦 1 123方法二 ： ( ) 明： BC1 ，交 CB1 于点 M ，
18、MD ，C1D , M 分 AB, C 1 B 的中点，AC1 / MD ，A1B1AC1平面 B1CD ， DM平面 B1CD ，AC1/ 平面 B1CD M( ) AC BC , AD DB ,CDAB ，CAA1底面 ABC , CD底面 ABC ， AA1CD ，AA1AB A, AA1, AB平面 A1DB1 ， CDADB平面 A1 DB1 ，A1D , DB1平面 A1 DB1 ，CDA1 D , CDB1 D,A1 DB1 即二面角 A1CDB1 的平面角，AB1平面 A1DB1 ，CD平面 A 1 DB1 ，CDAB1 ，又AB1A C，CDAC C , CD , AC平面A
19、 CD，AB1平面A1CD，1111A1D 平面 A1CD ， AB1A1D ,设 AA1h ， hh1， h2 2 ， A D B D 2 3,4211又 A1B14，cosA1 DB1A1D 2B1D 2A1B12(2 3)2(2 3) 2421 ，2A1 D B1D2 (2 3)23故二面角 A1CDB1 的平面角的余弦 1 321. ( ) 接 PF2 ， 接 OTPF1PF24 ， QF1 4PF2PQPTQF2QTTF2OF1OF2OT / QF1OT2T 的 迹方程 x2y24 .4( )若直 l斜率存在， 直 l 的方程 ykx ,ykx422xy2,xS4k2114ykx24
20、x2y2， xT4k 21S1OSxS1k 213 8S2OTxT14k 244(1 4k 2 )k01S11 102S2若直 l 斜率不存在S1 = 1S221 1 ( 1的方程 S2 1Spua-61501,2,0) 2,0) 2,0)2,0)(2,0)12( ) 2,0)4x 2( xy42222A)2 )4，Dx241t 1AF AD AD ADDAQE D1 AD11 AD 3)x1y1 y yxD的方程 y AEB 的平面角的余弦 1) y4AQEt41)4 接 ， 方程 1)t2) y2) 4t ， 2) yy tt 2) (1PFt PQ2)2)EyQTTF42) 42) 4 (2)2) 2，28 的 迹方程 t 0t yy 0 A yt t 8B yt t yt tB8224B A E A ，yyt y当且 当 t 斜率存在， 直 t 当且 当 B 4， 2y12l411QGA S(x)B 1QxQ121A E SyyyS1 y2 2 2 141QG( (y 2，yG2t y2QGAQE ) S )( tt) 3 14( ) 4t 1St t S1) 4 1S S44t 2t 22 (2tt若直 斜率不存在