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1、.正余弦定理综合应用学校:_姓名：_班级：_考号：_一、解答题1已知ABC的内切圆面积为，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若2b-ccosA=acosC.（1）求角A；（2）当ABAC的值最小时，求ABC的面积.2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=3b-2c.（1）求sinA的值；（2）若b=32sinB，求a的值；（3）若a=6，求ABC面积的最大值.3在平面四边形ABCD中，AD=7，BD=8，ABC=2，cosBAD=-17.（1）求ABD；（2）若BCBD=24，求CD.4已知向量m=(2,-1)，n=(sinA2,cos(B+C)，角A，B，C为
2、ABC的内角，其所对的边分别为a，b，c.（1）当mn取得最大值时，求角A的大小；（2）在（1）成立的条件下，当a=3时，求b2+c2的取值范围.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB（1）判断ABC的形状；（2）若f(x)=12cos2x-23cosx+12，求f(A)的取值范围6如图：在ABC中，b2=a2+c2-23ac，点D在线段AC上，且AD=2DC.（）若AB=2，BD=433求BC的长；（）若AC=2，求DBC的面积最大值7在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB.（1
3、）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为2，求a2+b2的取值范围.8在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB).（1）求角C的大小；（2）求cos2A+cos2B的取值范围。9设函数.（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.10在 中，角所对的边分别为，且.（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.精品参考答案1(1)A=3;(2)33.【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得2cosA=1，进而得A=3；（2）由内切
4、圆的性质得b+c-a=23，由余弦定理得a2=b2+c2-bc，进而得b+c-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，从而得当b=c时，ABAC的最小值为6，进而得面积.详解：（1）由正弦定理得2sinB-sinCcosA=sinAcosC，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB，sinB0，2cosA=1，A=3.（2）由余弦定理得a2=b2+c2-bc，由题意可知ABC的内切圆半径为1，如图，设圆I为三角形ABC的内切圆，D,E为切点，可得AI=2,AD=AE=3，则b+c-a=23，于是b+c
5、-232=b2+c2-bc，化简得43+3bc=4b+c8bc，所以bc12或bc43，又b3,c3，所以bc12，即ABAC=12bc6,+，当且仅当b=c时，ABAC的最小值为6，此时三角形ABC的面积=12bcsinA=1212sin3=33.点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.2（1）sinA=53（2）10（3）325【解析】分析：（1）由3acosC=3b-2c利用正弦定理得：3sinAcosC=3sinB-2sinC，3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC，利用两角和的正弦公式化简可得cosA=23，从而可得结果；（2）直接利用正
6、弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得43bc=b2+c2-62bc-6，bc9，由三角形面积公式可得SABC=12bcsinA=56bc，从而可得结果.详解：（1）ABC中，3acosC=3b-2c由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB-2sinC3sinAcosC=3sin(A+C)-2sinC3cosAsinC=2sinCsinC0，cosA=23A(0,)，sinA=53（2）由b=32sinB，得bsinB=32asinA=32，a=3253=10（3）由（1）知sinA=53SABC=12bcsinA=56bc由余弦定理得：cosA=b2+c2-a22bc，a=
7、643bc=b2+c2-62bc-6bc9（当且仅当b=c时取“=”号）SABC=56bc569=325即ABC面积的最大值为325点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.3（1）3；（2）27.【解析】分析：（1）由正弦定理即可；（2）由已知可得BCBDcosDBC=24，从而可得BC=23，再利用余弦定理即可.详解：（1）在ABD中，cosBAD=-1
8、7，BAD2,，sinBAD=1-cos2BAD=437.由正弦定理得7sinABD=8437，sinABD=32.BAD2,，ABD0,2，ABD=3.（2）BCBD=24，BCBDcosDBC=24，又DBC=ABC-ABD=2-3=6，BC832=24，BC=23，在BCD中CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=82+232-282332=28，CD=28=27.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.4（1）A=3（2）(3,6【解析】分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的
9、余弦函数公式化简，整理后得到关于sinA2的二次函数，由A的范围求出A2的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sinA2的范围，利用二次函数的性质即可求出mn取得最大值时A的度数；（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出C，再利用三角形的内角和定理用B表示出C，将表示出的C代入b2+c2中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出b2+c2的取值范围详解：（1）mn=2sinA2-cos(B+C)=2sinA2+cosA=-2sin2A2+2sinA2+1，
10、令t=2sinA2，t(0,1)，原式=-2t2+2t+1，当t=12，即sinA2=12，A=3时，mn取得最大值.（2）当A=3时，B+C=23，B(0,23).由正弦定理得：asinA=332=2=2R（R为ABC的外接圆半径）于是b2+c2=(2RsinB)2+(2RsinC)2=(2sinB)2+(2sinC)2=4sin2B+4sin2C =4sin2B+4sin2(A+B)=41-cos2B2+41-cos2(A+B)2 =4-2cos2B-2cos(23+2B)=4-2cos2B-2(-12)cos2B-32sin2B)=4+3sin2B-cos2B =4+2sin(2B-6)
11、.由B(0,23)，得2B-6(-6,76)，于是sin(2B-6)(-12,1，4+2sin(2B-6)(3,6，所以b2+c2的范围是(3,6.点睛：本题考查正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握正弦定理是解本题的关键5(1) ABC为B=2的直角三角形(2) -19,13).【解析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角B的值，进而可判断三角形的形状；（2）由辅助角公式对已知函数fx先化简，然后代入可求得fA，结合（1）中的角B求得角A的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解详解：（）因为asinB-bcosC=ccosB，
12、由正弦定理可得sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，所以sin(C+B)=sinAsinB因为在ABC中，A+B+C=，所以sinA=sinAsinB又sinA0，所以sinB=1，B=2所以ABC为B=2的直角三角形 （）因为f(x)=12cos2x-23cosx+12 =cos2x-23cosx=(cosx-13)2-19所以f(A)=(cosA-13)2-19因为ABC是B=2的直角三角形，所以0A2，且0cosA1，所以当cosA=13时，f(A)有最小值是-19所以f(A)的取值范围是-19,13)点睛：本题主要考
13、查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6(1)3(2)23【解析】分析：（1）根据题中的条件，结合余弦定理，可求得cosB=13，设BC=a,AC=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a，应用余弦定理，写出cosADB,cosBDC的值，根据两角互补，得到cosADB+cosBDC=0，得到m所满足的等量关
14、系式，求得结果；（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得sinB=223，根据余弦定理以及重要不等式得到ac3，利用三角形面积公式求得结果.详解：（）b2=a2+c2-23accosB=a2+c2-b22ac=13 在ABC中,设BC=a,AC=3m由余弦定理可得：9m2=a2+4-43a 在ABD和DBC中，由余弦定理可得：cosADB=4m2+163-4163m3,cosBDC=m2+163-a283m3又因为cosADB+cosBDC=04m2+163-4163m3+m2+163-a283m3=0得 3m2-a2=-6 由得a=3,m=1 BC=3.（2）cosB=13,B(0,)si
15、nB=1-cos2B=223 由b2=a2+c2-23ac4=a2+c2-23ac2ac-23ac=43acac3 （当且仅当a=c取等号） 由AD=2DC，可得SBDC=13SABC=1312acsinB13122233=23DBC的面积最大值为23.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式，诱导公式等，正确使用公式是解题的关键.7(1)C=3.(2)(3,6.【解析】分析：（1）根据三角函数和差公式化简，得到角A、B、C的关系，以及A+B+C=即可求出角C。（2）设A=3-,B=3+，利
16、用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幂公式，把A、B化成的表达式；利用角的取值范围即可求出a2+b2的取值范围。详解：（1）由sinCcosC=sinA+sinBcosA+cosB得sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB即sin(C-A)=sin(B-C)，则C-A=B-C，即2C=A+B，即C=3.（2）由C=3，设A=3-,B=3+则-3-3则a2+b2 =(2RsinA)2+(2RsinB)2=4(sin2A+sin2B)即a2+b2 =4(1-cos2A2+1-cos2B2)=4-2cos(23+2)+cos(23-2)=4+2co
17、s2由-3-3，则-23223-12cos213a2+b26，故a2+b2的取值范围是(3,6.点睛：本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用，结合知识点多，化简较为复杂，属于难题。在三角函数问题中，边角转化是解决问题的核心，解题前要确认把角转化成边，还是把边转化成角。8（1）3；（2）12,34)【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB)，由正弦定理得(a-c)(a+c
18、)=b(a-b)，即a2+b2-c2=ab，则a2+b2-c22ab=12根据余弦定理得cosC=12又因为0C，所以C=3（2）因为C=3，所以2B=43-2A则cos2A+cos2B=1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A+cos2B)=1+12cos2A+cos(43-2A)=1+12(12cos2A-32sin2A)=1+12cos(2A+3)因为三角形ABC为锐角三角形且C=3，所以6A2则232A+343所以-1cos(2A+6)-12，所以12cos2A+cos2B34即cos2A+cos2B的取值范围为12，34)点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择
19、正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.9（1）2， ；（2）1【解析】试题分析：（1）先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解试题解析：（1） 的最大值为2要使取最大值， ，故的集合为（2），即化简得，只有在中，由余弦定理， 由知，即，当时取最小值1,考点：1三角恒等变换；2三角函数的图象与性质；3余弦定理；4基本不等式10（1）（2）【解析】试题分析：(1)由等差数列定义可得 ，再根据余弦定理得方程 ，解方程可得的值；(2)先根据正弦定理用表示表示边，再利用两角差正弦公式及配角公式将周长函数转化为基本三角函数，最后根据范围及正弦函数性质求最大值.试题解析：(1) 成等差数列，且公差为，又，恒等变形得，解得或，又.(2)在中， ，. 的周长 ，又，当即时， 取得最大值.