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1、复数题型归纳（史上最全)作者：日期：北师大版数学选修2-2 第五章数系的扩充与复数的引入自我总结卷一、选择题 :1、复数 z1 i ( i 是虚数单位 ) ，则复数 ( z 1)(z1) 虚部是（) 【答案】A、- +2i ?B、-1C、 i ?D、21、 a0 是复数 abi( a, bR) 为纯虚数的 ()【答案】 B、充分条件B、必要条件C 、充要条件D、非充分非必要条件1、已知复数 z134i ,z2ti ，且 zz 是实数，则实数 t 等于 ( ）期中12考试题 . 错误 !B.错误 ! . 错误 !? - (3 , 4）解析z1 错误 ! =(3 4)( t -i) ( 4） (4
2、 t -)i. 因为 z 错误 ! 是实数 , 所以 t -3=0 ，所以 = f （3, 4) 因此选 A.1、若复数 ( m23m 4) (m25m 6)i 是虚数 , 则实数 m 满足 (）【答案】 D(A)m1(B）m6(C ）m1或m6(D)且m 1m 6、若 z1, z2 C ，则 z1z2z1z2 是（ )【答案】纯虚数B实数虚数D 无法确定1、若(x21)(x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是 (）【答案】A1B1C1D 以上都不对 . 已知复数 z1m 2i, z2 3 4i, 若 z1z2为实数 , 则实数 m 的值为 ()【答案】A、 2B.2 ?C、 33222
3、 i 表示虚数单位，则 i1i 2i 3i 2008 的值是（）答案 A .0B iD i2、已知 z1i , 则 1 z50z100 的值为 (A）2A 、 iB、1C 、 2 iD 、 2 、复数 (22i )4等于（）答案： B(13i )5 13iB.13i 13iD. 13i2、复数 ( 1i )10 的值是()【答案】 AA.1i?B.1C32?D 22、已知 x11, 则 x19961 的值为 ( )【答案】 Axx1996A1Ci i2、 f ( n)i nin ,( nN)的值域中 , 元素的个数是（ B）A、3、 4、无数个3、在复平面内, 若复数满足| z 1| zi |
4、 , 则所对应的点的集合构成的图形直线 yx3、 | z34i |2 , 则 | z |的最大值为 (B)ABD 53若 zC 且 | z |1, 则 | z22i | 的最小值是 ?(C)A 2 2B. 2 2 1 . 2 2 1D 23. 如果复数z满足|zi|+|-i|=2，那么|z i|的最小值是+1() .1. r(2)C.2. r(5 ）解析| z+i +| z- |= , 则点在以 (0 ， ) 和 (0,- ) 为端点的线段上, 1+i 表示点 Z 到( ， 1) 的距离由图知最小值为1.答案 3若 z2 且 z iz 1 ，则复数z z2 (1 i) 或 z2(1 i )3.
5、 如果 zC , 且 z1，则 z 1 2i的最大值为【答案】5 13. 若 zC 且 | z22i |1,则 | z 22i |的最小值是 (）答案 :B?A. ?. ?CD.53已知复数 zxyi (x, y R , x1 ），满足 z 1x , 那么 z 在复平面上对应2的点 ( x, y) 的轨迹是 () A. 圆B.椭圆双曲线D抛物线解析 z xi （x，yR，x错误 ! ）, 满足 | z-1|= x, ( x-1) +2 x2 ，故 2 2x- .答案 D3、已知方程 | z2 | z2 | a 表示等轴双曲线，则实数a 的值为（)、2 2B 、2 2C 、2D 、24. 已知复
6、数 z1i , 则 z 在复平面内对应的点在第几象限（） 【答案】 C . 一?B. 二?C三 ?D.四 . 在复平面内，复数2i对应的点位于()【答案】 D1iA. 第一象限 ? ?C.第三象限 ?B. 第二象限D 第四象限4在复平面内, 复数i(13i )2 对应的点位于(）【答案】B1iA. 第一象限 ?B第二象限C.第三象限D第四象限4. 已知i为虚数单位，则i所对应的点位于复平面内点()【答案】1 iA. 第一象限 ?B 第二象限 ?C. 第三象限 ?D. 第四象限5、 ( mi) 3R , 则实数 m 的值为 (B)A 、2 3B 、3C 、3、3325、若 xC ，则方程 | x
7、 | 13i x 的解是 (C）、13 iB、 x1 4, x21 C 、4 3iD 、2213i225、复数 z1cosi sin,(2 ) 的模是 (B）A2cosB2cosC 2sinD 2 tan22226 2i2i的值是（)【答案】C12i12iA i ? 2i ?C0? 45 . 复数 z13i的虚部是 ()【答案】A21i?B2C 2iD. 2i6. (12i) 2(2i ) 2等于 (）【答案】 B1i1i 34iB. 3 4i. 3 4iD. 3 4i6. 若复数 1 ai (i 是虚数单位 ) 的实部和虚部相等 , 则实数 a 等于 ( ）【答案】 D 2 iA -1 ?B
8、 1 133?3已知复数z13,z212 ,z1是实数则实数 b 的值为（)【答案】A6bii若,z2. B-6C. ?D. 16 对 于 两 个 复 数13 i ，13 i ， 有 下 列 四 个 结2222论 :1;1；1 ;331 ,其中正确的结论的个数为()【答案】 B?A. 1 3D.47.下面是关于复数2的四个命题 :【答案】z1ip1 : z 2 ,p2 : z22ip3 : z的共轭复数为 1 ip4 : z 的虚部为 1其中真命题为 (）. p2 , p3 ?B. p1 , p2. p2 , p4 ?D. p3 , p48.若复数 z 满足方程 z220 ,则 z3 的值为（
9、)【答案】 CA 2 2B 2 2C. 2 2 i. 2 2 i12定义运算 错误 ! ad-bc,则对复数 z=x+yi(x,yR)符合条件 错误 ! =32i 的复数 z 等于 _ _.解析 由定义运算，得 错误 ! 2z -z +2，则 z 错误 ! 错误 ! =错误 ! 错误 ! i.答案错误 ! 错误 ! i二、填空题：若复数z2t23 2(t24)(t)为纯虚数 , 则 t 的值为 _tiR【答案】122. 已知 i为虚数单位，复数 z2i , 则 | z |.【答案】1i102若 i为虚数单位 , 则复数 3i =_.【答案】12i1i4. 已知 mi1ni ，其中 m,n 是实
10、数 , i 是虚数单位，则 mni【答案】2i1若 (a2i )ib i,其中 a,bR,i是虚数单位,复数 abi5【答案】 12i若复数a3i(a R ，i为虚数单位）是纯虚数,则实数 a的值为612i【答案】67、设13 i ，则集合 A= x | xkk (kZ ) 中元素的个数是 。228、已知复数 z12i , z2 13i , 则复数iz2iz153 i1063 2 i、计算 :11 i答案：122222、解答题 :【复数的分类问题】1、实数 m 取什么值时 , 复数 z m(m 1)(m 1)i 是（）实数( ) 纯虚数( ) 虚数 0【答案】 (1 ） m(2）、已知复数 z
11、 (2 m23m 2) (m2m2)i，(m R) 根据下列条件 , 求 m 值.( ） z 是实数； ( ） z 是虚数； ( )z 是纯虚数；（） z 0 2，即 m= 2 或 1 时 ,z 为实数 ;【答案】 ( ) 当 m+ -2=（ ) 当 2 m- 0, 即 m且 m 1 时 ,z 为虚数；2m 2 + 3m 2 = 0m = 1 或 m = 2(3) 当, 解得2,m 2 + m2 0m2且m 1即 m =1 时，为纯虚数 ;22m 2 + 3m 2 = 0m = 1 或m = 2(4) 当，解得2m 2 + m 2 0m或2 m 1, 即 m=-2 时 , =0.3、 m 取何
12、值时 , 复数 zm2m 6( m22m 15)im3( ）是实数 ;( ) 是纯虚数 .【答案】 (1)m 22m150(2)m 30m3或 m2m 2m60当 m3或 m2时， z是纯虚数 .4、设复数 zlg m22m2m23m2 i ，当 m 取何实数时 ?( ） z 是纯虚数；（） z 对应的点位于复平面的第二象限。【答案】（ ) z 是纯虚数当且仅当lg m22m 20,m23m20解得 , m 3?lg m22m20（ 2）由3m20m21m13, 或13m3m2或 m1所以当1m13或13m3 时，?z 对应的点位于复平面的第二象限。【求复数类型】1、设复数 z 满足z10 ，
13、且 12i z ( i 是虚数单位）在复平面上对应的点在直线 y x 上，求 z .【答案】设zxyi (x、 y R ) | z |10, x 2y 210而(12i)z(12i)( x yi)( x2 y)(2 xy)i又 12iz 在复平面上对应的点在直线yx 上 , x 2 y 2x yx2y210, x3x3即 z(3i )即3yy或y1x19R , 且 z33 .2、求虚数 z ，使 zz解：设 z a bi( a, bZ且 b0) ,则 ：z9abi9(a9a) (b9b)i, 由za 2 b2a 2b 2a biz9R 得 ba9b0 , 又 b0 ，故 a2b 29 ；z2b
14、 2a33) 2b22又 由 z 33 得 :(a3 , 由 得, 即b332z3 3 3 i 或 z3 3 3 i 。22223、把复数的共轭复数记作z , 已知 (12i) z4 3i , 求 z 及 z 。z解：设 z abi(a,bR) ,则 zabi , 由已知得 (12i)( abi )43i,化 简 得 ： (a2b)(2ab)i4 3i， 所 以 a 2b 4,2ab3 ， 解 得a 2, b1 , 所以 z2i ，z2i34 i 。z2i55、 a,b 共 复数， 且(ab)23abi 4 12i ，求 a, b 的 。 【教 用 】解: 设 axyi , bxyi ,( x
15、, yR) 。 入原方程得4x23(x2y2 )i4 12i ，由复数相等的条件得4 x24,3( x2y2 )12.x1或x1解得 . 四 解略。y3y3 5、已知 z, 复数 ,(13i )z 虚数 ,z，且 |5 2。2i求复数。 ( 教 用 章末小 )解法 1: 设 zxyi ,( x, y R) , 则 (13i) z = ( x3 y)(3 xy)i 为纯虚数 , 所以x 3y 0 ， 因 为 | | z | 5 2 ， 所 以 | z |x2y25 10 ; 又2 i155ix3y 。解得 x15, y5; x15, y5所以(7 i) 。2i( 还可以直接计算）解法：设 x+y
16、i(x ， y R)，z2 i ( x yi) 2 iz2 i依题意得（+3） ( +i)=（ -1+7i)为实数 ,且 | |=52 ,7xy0y2，x250x1x1解之得y或y,77 +7i 或 =-1 i 。解法 3:(提示：设复数 Z,直接按照已知计算 ,先纯虚数得 a3b，再模长得7b bi）14z 数，求。56、已知复数 足 | z4 | z4i|, 且 zz1解 : zx yi ,( x, yR) , 因为 | z 4 | | z4i |, 带入得 xy ，所以 zx xi , x R又因为 z14z 为实数 , 所以 z14zz 14z ,z1z1z1化简得 ,所以有 z z0
17、 或 | z1|213由 zz 0 得 x0 ；由 | z 1|213 得 x2, 或 x 3 。所以 z0; z22i; z 3 3i.( 也可以直接用代数形式带入运算)7、求同时满足下列两个条件的所有复数；(1)z10R ,且1z10（ ）的实部与虚部都是整数。z6 ;2z解：设 zxyi ,( x, yR)则 z10x yi1010( xyi )x(11010zxx yi2222 ) y(122 )iyixyxyxy因为 z10R ,所以 y(110y2)0 。所以 y0或 x2y210 。zx2当 y0 时，zx ，又 1z106 ，所以 xR, 而 z10210 6 ,zz所以在实数
18、范围内无解。当 x2y210 时，则 z 10zz zz z 2x 。由 1 2x 61x 3zz2因为 x, y 为正整数 , 所以 x 的值为，或，或。当 x1时 , y3; 当 x 2时, y6( 舍 ) ; 当 x3时, y1 。则 z13i或 , z3i 。【根的问题】1、关于 x 的方程是 x2(tani ) x(2 i )0 ；若方程有实数根 , 求锐角和实数根 ;解：设实数根是a ，则 a 2(tani ) x (2 i )0 ，即 a2a tan2(a1)i0 ， a 、 tana2a tan 2 0,R ，10;a a1, 且 tan1, 又0，,a1；242、若关于 x
19、的方程 x2(1 2i ) x3mi0 有实根 , 则实数 m 等于 ()A 1B. 1 i ?C.1D.1 i12121212【答案】【向量计算】、在复平面上 , 设点 A、B、 , 对应的复数分别为 i ,1,42i。过、 B、 做平行四边形 AC , 求此平行四边形的对角线 D 的长。解：由题知平行四边形三顶点坐标为A(0,1), B(1,0),C (4,2)，设D 点的坐标为D ( x, y) 。 因 为 BA CD , 得 (1,1)(x 4, y2)x41,， 得y2得1.x3(2,3)，则 | BD |13 。y，即 D (3,3) 所以 BD3、 ( 本小题满分 12 分 )
20、在复平面上 , 正方形 AB D 的两个顶点 ,B 对应的复数分别为 1 2i ， 3 5i 。求另外两个顶点 C,D 对应的复数。解 :设（ x,y)ADxyi(1 2i)x1( y2)i( x1, y2)ADAB(x1)27( y2)0ADAB53(x1)2( y2) 253x6 或x8zD684y0y4或 zDi由 zBCzADzCzBzDzAzCzDzAzBzD6zD84izC4或zC103i7i3、在复平面内 , O 是原点 ,OA，表示的复数分别为2i ，3 2i ， 1 5i,OCAB那么 BC 表示的复数为 4- i如图在复平面上 , 一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i ， 2i ,0 ，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为() A 3+i?B -iC.1-3iD 1+3解析错误 ! 错误 ! 错误 ! =1+2i-2+i 1+3 , 所以 C 对应的复数为 1+3i.答案D【杂乱】1、计算 (12i ) i 100(1i ) 5 2(1 i ) 201i2解：(1 2i )i 100(1i ) 5 2(1 i ) 201i2(12i ) 1(i )5 2i101 i2101 2