A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法.docx

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1、最新 料推荐手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（ 1） ABD AEC （ 2） + BOC=180（ 3）OA平分 BOC变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与 CD ，证明（ 1） ABEDBC(2) AE DC(3) AE 与 DC 之间的夹角为 60(4) AGBDFB(5) EGBCFB(6) BH 平分 AHC(7) GF / AC变式精练1：如图两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与CD ，1最新 料推荐证明（ 1）ABEDBC（ 2） AE DC（ 3）

2、AE 与 DC 之间的夹角为 60（4） AE 与 DC 的交点设为H , BH 平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD 与BCE ，连结 AE 与 CD ，证明（ 1）ABEDBC(2） AEDC(3） AE 与 DC 之间的夹角为60(4） AE 与 DC 的交点设为H , BH 平分AHC例 2：如图，两个正方形ABCD 与 DEFG ,连结 AG, CE ,二者相交于点H2最新 料推荐问：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否与 CE 相等？（ 3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 3：如图两个等腰直角三角形ADC 与 ED

3、G ，连结 AG, CE ,二者相交于点H问：（ 1）ADGCDE 是否成立？（ 2） AG 是否与 CE 相等？（ 3） AG 与 CE 之间的夹角为多少度？（4） HD 是否平分AHE ？例 4：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中 ABBD , CBEB,ABDCBE,连结 AE 与 CD ，3最新 料推荐问：（ 1）ABEDBC 是否成立？（ 2） AE 是否与 CD 相等？（ 3） AE 与 CD 之间的夹角为多少度？（4） HB 是否平分AHC ？例 5：如图，点 A. B. C 在同一条直线上， 分别以 AB 、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形 ABD 、BCE.连接

4、 AE 、 DC，AE 与 DC 所在直线相交于 F，连接 FB. 判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你的结论。【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D, 同在一条直线上，且角 EBD=62 ，求角 AEB 的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类4最新 料推荐? 考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲 】常用辅助线添加方法倍长中线AA ABC 中方式 1： 延长 AD 到

5、E，AD 是 BC 边中线使 DE=AD ，BCBC连接 BEDDE方式 2：间接倍长AA作 CF AD于 F，延长 MD到 N，F作 BE AD的延长线于 EM使 DN=MD，B连接 BE连接 CDDCBDCEN【例 1】 已知：ABC 中， AM 是中线求证： AM1 ( AB AC) 2ABMC【练1】在 ABC中，AB 5 AC 9，则 BC 边上的中线AD的长的取值范围是什么？，【 练2 】 如 图 所 示 ， 在ABC 的 AB 边 上 取 两 点 E 、 F ， 使 AEBF ， 连 接 CE 、 CF ， 求 证 ：ACBCECFC 5最新 料推荐CAEFB【练 3】如图，在等

6、腰三角形ABC 中， AB=AC ， D 是 AB 上一点， F 是 AC 延长线上的一点，且BD=CF ，连结 DF 交 BC 于 E求证： DE=EF( 倍长中线、截长补短)【例 2】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点， 延长 BE 交 AC 于 F ， AFEF ，求证： ACBE AEFBDC【练 1】如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE AC ，延长 BE 交 AC 于 F ，求证： AF EFCDFEAB【练 2】如图，在 ABC 中， ABAC ，E 为 BC 边的中点， AD 为 B

7、AC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G. 求证： BF=CG .6最新 料推荐【练 3】如图，在ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点， EF AD 交 CA 的延长线于点F ，交 AB于点 G ，若 BGCF ，求证： AD 为ABC 的角平分线CDEAGBF【练 4】如图所示，已知ABC 中， AD 平分BAC ， E 、 F 分别在 BD 、 AD 上 DECD ， EF AC 求证： EF ABAFBEDC【例 3】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求

8、证：BECFEF CFMAEB【练 1】在 RtABC 中， F 是斜边 AB 的中点， D 、 E 分别在边 CA 、 CB 上，满足DFE90 若 AD3 ，BE4 ，则线段 DE 的长度为 _7最新 料推荐ADFCEB【练 2】如图， ABC 中， AB=2AC ， AD 平分 BC 且 AD AC ，则 BAC=_.【练 3】在ABC 中，点 D 为 BC 的中点，点M 、 N 分别为 AB 、 AC 上的点，且MDND （ 1）若 A 90 ，以线段 BM 、 MN 、 CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（ 2）如果 BM 2CN 2D

9、M 2DN 2 ，求证 AD2 1AB 2AC 2 4AMNBCD【例 4】如图，等腰直角ABC 与等腰直角BDE ， P 为 CE 中点，连接 PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的关系 .（证角相等方法）【练 1】如图，两个正方形ABDE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接PA交 EF 于点 Q .探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系. （证角相等方法）8最新 料推荐【练 2】如图，在ABC 中， CDAB ，BADBDA ， AE 是 BD 边的中线 . 求证： AC2 AE【例 5】如图所示， 在 ABC 中， AB AC ，延长 AB 到 D ，使 BD AB

10、， E 为 AB 的中点， 连接 CE 、 CD ，求证 CD 2EC AEBCAC ， BD 为 AB 的延长线，且 BDAB ， CE 为D【练 1】已知 ABC 中， ABABC 的 AB 边上的中线求证： CD 2CECAEBD【练 2】如图 ,CB 、 CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 中线 ,且 AC=AB, ACB= ABC. 求证 CE=2CD.9最新 料推荐【例 16】如图，两个正方形ABDE 和 ACGF ，点 P 为 BC 的中点，连接PA 交 EF 于点 Q .探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系. （倍长中线与手拉手模型综合应用）【练 1】已知：如图，正

11、方形ABCD 和正方形 EBGF ，点 M 是线段 DF 的中点 .试说明线段ME 与 MC 数量关系和关系 .如图，若将上题中正方形EBGF 绕点 B 顺时针旋转度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.10最新 料推荐全等之截长补短： 人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用 .而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法 (把长边截成两个短边或把两个短边放到一起； 出现角平分线进行翻折 ；有具体角的度数说明要求角的度数， 进而得到角相等，11最新 料推荐全等 )【例 10】如图所示

12、，ABC 中，C900 ,B450 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D。求证： AB=AC+CD 。ACBD【练 1】如图所示，在ABC 中， B600，ABC 的角平分线 AD 、ACE 相交于点O。求证： AE+CD=AC 。EOBDC【练 2】已知 ABC 中， A 60 ， BD 、 CE 分别平分ABC 和ACB ， BD 、 CE 交于点 O ，试判断BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AEODBC【练 2】如图 ,在四边形ABCD 中 ,AD BC， AE 平分 BAD 交 DC 于点 E，连接 BE，且 AE BE，求证：AB=AD+BC.【练 3】已知：如图 ,

13、在 ABC 中 , A=90 ， AB=AC ， BD 是 ABC 的平分线。求证：BC=AB+AD.12最新 料推荐【练 4】点 M ，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动， BD=DC ， BDC=120 ， MDN=60 ，求证 MN=MB+NC ANMBCD【例 11】已知如图所示， 在 ABC 中 ,AD 是角平分线 ,且 AC=AB+BD, 试说明适用）【练 1】如图，在 ABC 中， AB AC ， BD AC 交 AC 于点 D求证：DBC 1 BAC 2【例12 】如图所示，已知12 ， P 为 BN 上一点，且PDBC 于BAPBCP1800 。A1312BB=2

14、C（不只是边， 倍角也D ， AB+BC=2BD，求证：MNPCDC最新 料推荐【练 1】如图，在四边形ABCD中， BCBA, AD CD， BD平分ABC ，A求证：AC1800DBC【例 13】如图所示，在 RtABC 中， AB=AC ， BAC900 ， ABDCBD ， CE 垂直于 BD 的延长线于 E。求证： BD=2CE 。AEDCB【练 1】已知：如图示，在 Rt ABC 中， A=90 ， ABC=2 C， BD 是 ABC 的平分线求证： CD=2AD 【练 2】如图所示，在ABC 中， ABC90 0，AD 为BAC 的平分线，C =300 ， BEAD 于 E 点，

15、求证： AC-AB=2BE 。AE14CBD最新 料推荐【练 3】正方形 ABCD,E 是 BC 上一点 ,AEEF,交 DCH 的平分线于点F，求证 AE=EF【练 4】已知在 ABC 中， AB=AC ，D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上， DE 交 BC 于 F，且 DF=EF ，求证：BD=CEADBCFE【例 14】如图所示，已知AB /CD ，ABC, BCD 的平分线恰好交于AD 上一点 E，求证： BC=AB+CD 。BAE15CD最新 料推荐【练 1】如图，已知AD BC ， PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于E，CE 的连线交AP 于 D求证：AD+BC=

16、AB PCEDAB【练 2】如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且 AF 平分 DAE ，求证：AE=EC+CD 【练 3】在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，B=2 C求证： CD=AB+BD 【练 4】如图所示 ,在三角形 ABC 中 ,ACB=90 ,AC=BC,D 为三角形 ABC 外一点 ,且 AD BD,DE AC 交 AC 的延长线于点 E.试探求 ED 、AE 和 BC 之间有何数量关系【练 5】在四边形ABCD 中， AB DC，E 为 BC边的中点， BAE= EAF ，AF 与 DC 的延长线相交于点F。试探究线段AB 与

17、 AF 、 CF 之间的数量关系，并证明你的结论ADBECF16最新 料推荐【例 15】如图在 ABC中， ABAC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证：AB-AC PB-PCA12PBCD【练 1】已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证： BECFEF AEFBCM如图， E 是AOB 的平分线上一点，ECOA ， EDOB ，垂足A为 C、D 。求证：（ 1）OC=OD ； （2） DF=CF 。CFEODB构造等边三角形1、如图 , 已知 ABC中 ,AB=AC,D是 CB延长线上一点 , ADB=60 ，E 是 AD上

18、一点，且有 DE=DB.求证： AE=BE+BC.17最新 料推荐2、在等腰ABC 中， ABAC ，顶角A20 ，在边 AB 上取点 D ，使 ADBC ，求BDC .ADBC练习 1、如图 ,在 ABC 中 ,ACB=90 ,BE 平分 ABC,DE AB 于 D,如果 AC=3cm, 那么 AE+DE 等于A 、 2cmB、 3cmC、 4cmD、 5cm18最新 料推荐练习2 、在 ABC和 ABC 中 ,AB=AB,AC=AC,点D,D 分别是BC,BC 的中点 ,且AD=AD, 证眀：ABCA BC .AA （倍长中线）BCB CDD练习 3、如图，在 ABC 中， BE 是 AB

19、C 的角平分线，AD BE，垂足为D，求证： 2= 1+C练习 4、如图（ 1），已知 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC ， AE 是过 A 的一条直线，且 B 、C 在 A 、 E 的异侧， BD AE 于 D， CE AE 于 E（ 1）试说明： BD=DE+CE （ 2）若直线 AE 绕 A 点旋转到图 （ 2）位置时（ BD CE ），其余条件不变， 问 BD 与 DE 、CE 的关系如何？请直接写出结果；（ 3）若直线 AE 绕 A 点旋转到图 （ 3）位置时（ BD CE ），其余条件不变， 问 BD 与 DE 、CE 的关系如何？19最新 料推荐请直接写出结果，不需说明

20、理由如图所示，在 Rt ABC 中， AB AC ， BAC 90，有过 A 的任一条直线 AN ，BD AN 于 D，CE AN 于 E，求证： DE BD CE（思路：截长补短法）如图 ,在 ABC 中 ,AB=AC,D是三角形外一点,且 ABD=60 ,BD+DC=AB. 求证： ACD=60 .（截长补短）1、如图，等腰直角ABC 与等腰直角BDE ， P 为 CE 中点，连接 PA 、 PD .探究 PA 、 PD 的关系 .（辅助线的连法都一样）20最新 料推荐2、已知：如图，正方形ABCD 和正方形 EBGF ，点 M 是线段 DF 的中点 .试说明线段ME 与 MC 数量关系和

21、关系 . （辅助线的连法都一样）如图，若将上题中正方形EBGF 绕点 B 顺时针旋转度数（90 ），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.3、已知 AM 为ABC 的中线，AMB ，AMC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证： BECFEF （辅助线的连法都一样）AEFBCM【阅读理解】已知：如图 1，等腰直角三角形ABC 中，B=90 ，AD 是角平分线，交 BC 边于点 D 求证：AC=AB+BD证明：如图1，在 AC 上截取 AE=AB ，连接 DE，则由已知条件易知：Rt ADB Rt ADE （ AAS ）21最新 料推荐AED=

22、B=90 ，DE=DB又C=45 ，DEC 是等腰直角三角形DE=EC AC=AE+EC=AB+BD【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC 中，B=90 ，AD 是BAC 的平分线，交BC 边于点 D， DEAC ，垂足为 E，若 AB=2 ，则三角形DEC 的周长为【数学思考】：现将原题中的“AD 是内角平分线，交BC 边于点 D”换成“ AD 是外角平分线，交BC边的延长线于点D 如图 3 ”，其他条件不变，请你猜想线段AC 、AB 、BD 之间的数量关系，并证明你的猜想【类比猜想】任意三角形ABC ，ABC=2 C，AD 是BAC 的外角平分线，交CB 边的延长线于点D ，如图 4，请你写出线段AC 、AB 、 BD 之间的数量关系如图 ,已知 B= C=90， M 是 BC 的中点， DM 平分 ADC.22最新 料推荐（ 1）求证： AM 平分 DAB（ 2）试说明线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系？（ 3）线段 CD、 AB、 AD 间有怎样的关系？直接写出结果。23