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1、最新 料推荐2.3幂 函 数一、幂函数的概念1、幂函数的概念： 一般地，函数f(x) x a 叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数。注意：（1）系数为 1；（ 2）底数是自变量x；（ 3）指数为常数。例 1：判断下列函数哪些是幂函数：y 4xy x4y 4x y x 4yx y x y (2 a 1)x( a 1 且 a 1)2【解析】：（2）（ 3）（5）例 2：已知幂函数 f(x) 的图象经过点(2，2)，则 f(4) 的值为 ()2A ： 1611D ： 2B：C：162【解析】：C变式练习： 幂函数 f(x) 的图象过点 (4， 1)，且 f(x) 8，则 x ()2A ： 2 2
2、B： 642D ：1C：644【解析】：D2、幂函数的图象1最新 料推荐在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x) x a当 a 3， 2，1， 1 ， 1 ， 1， 2 的图象23幂函数在第一象限的图象特征：（ 1） a 1，图象过 (0，0) ，(1， 1)，下凸递增。（ 2） 0 a 1，图象过 (0， 0)， (1， 1)，上凸递增。（ 3） a 0，图象过点 (1， 1)，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近。例 3：指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。12（1） f(x) x 4（ 2） g(x) x 4（ 3）h(x) x 3（ 4） r(x) x 324变式练习： 函数 g(x)
3、 x 3x 3 的定义域为（）A ： (， ) B： (， 0) (0， )C： (， 0)D ：(0 ， )【解析】：B例 4：比较下列各组数的大小77（1） ( 2) 3， ( 2.5) 3（ 2） 8 8， 7 8【解析】：222变式练习 1：实数 ( 2 ) 3， 3 3， 2 3 的大小关系用“”顺次连接是 _ 。3222【解析】： 3 3 ( 2 ) 3 2 33变式练习 2：设 a ( 1， 0)，则下列不等式中正确的是（）2最新 料推荐A ： 2 a 2 a 0.2 aB： 0.2a 2 a 2 aC： 2a 0.2a 2aD： 2a 0.2a 2 a【解析】：B例 5：当 x
4、 (1， )时，幂函数 y x a 的图象恒在 y x 的下方， 则 a 的取值范围是 （）A ： 0 a 1B： a 1 C： a 0D： a 0【解析】：B1变式练习 1：函数 f(x) x n (n N ， n 2)的图象只可能是（）【解析】：C变式练习2：幂函数y x m ，y xn ， y x p 的图象如下图所示，则（）A ： m npB ：m p nC： np mD： p n m【解析】：An变式练习 3：幂函数 y x m (m、 nN ，且 m、 n 互质 )的图象如下图所示则（）A ： m 为奇数， n 为偶数，n 1mB： m、 n 均为奇数，n 1mC： m 为奇数，
5、n 为偶数，n 1mD： m 为偶数， n 为奇数，n 1m【解析】：A12例 6：已知幂函数 f(x) xm m (m N )（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，2 )，试确定 m 的值，并求满足条件f(2 a ) f( a 1)的实数3最新 料推荐a 的取值范围。【解析】：（ 1）m2m m(m 1)，则 m 与(m 1)中必有一个为偶数，则m2m 为偶数，故定义域 0,，在定义域内为增函数； （ 2）若该函数还经过点(2，2 )，则 m2 m 2，1m1或 m 2， m N， m 1， f(x) x 2 ，函数 f(x) 在 0,是增
6、函数，故a10 a 22a0132aa1变式练习 1：已知函数 f(x) x3m 9(m N )的图象关于 y 轴对称，且在 (0， )上函数mm值随 x 的增大而减小，求满足 (a 1)3(32a) 3 的 a 的范围。【解析】：函数 f(x)在 (0， )减函数，故3m9 0， m 3，mN ， m 可取 1、 2、 3，11又因为 f(x) 偶函数，故 m 1；，则 (a 1) 3(3 2a) 3 。则 ( a 1) (3 2 a ) 0 或(3 2 a ) ( a 1) 0，得 2 a 3 或 a 132课 后综 合 练 习1、下列函数中，是幂函数的是（）1A ： y 2xB： yx2
7、C： ylog 2xD ： yx 2【解析】：D132122、在函数 y x2，y 3x ，y x 2x ，y x，y x中，幂函数有()A ： 1 个B： 2 个C： 3 个D ：4 个【解析】：B3、若幂函数 yx 在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为()1A ： 1B： 2C： 3D：【解析】：D24、幂函数 yxa， yxb， yxc， yxd在第一象限的图象如图所示，则 a ， b， c， d 的大小关系是A ： a b c dB： d bcC： d c b aD： b c d【解析】： D()aa25、已知幂函数y f(x) 的图象经过点(2，) ，则 f(4) 的值为()2
8、4最新 料推荐A ： 16B ：211C：D ：【解析】：C21646、函数 yx3的图象是（）A ：B：C：D ：【解析】：A17、函数 yx3 和 yx3 图象满足（）A ：关于原点对称B ：关于 x 轴对称C：关于 y 轴对称D：关于直线yx 对称【解析】：D8、 函数 yx | x |, xR ，满足（）A ：是奇函数、减函数B ：是偶函数、增函数C：是奇函数、增函数D ：是偶函数、减函数【解析】：C9、写出下列函数的定义域，判断其奇偶性（ 1） y x2 的定义域 _ ，奇偶性为 _（2） yx3 的定义域_ ，奇偶性为 _1（ 3） y x2 的定义域 _ ，奇偶性为 _1（ 4）
9、 y x3 的定义域 _ ，奇偶性为 _（ 5） y x 1的定义域 _ ，奇偶性为 _【解析】：（1） R 偶（ 2） R 奇 （ 3） 0,非 （ 4）R 奇 （ 5） x0 奇10、设 f (x)(m1) xm 22 ，如果 f(x) 是正比例函数，则m _，如果 f(x) 是反比例函数，则 m _，如果 f(x) 是幂函数，则 m _。【解析】：3 1211、若一个幂函数f (x) 的图象过点 (2, 1 ) ，则 f (x) 的解析式为 _ 。4【解析】： f (x)x212、比较下列各组数的大小（1） 3.51.7 _ 3.41.7（ 2） 1.20 .3 _ 1.30.3（ 3）
10、 2.4 1.6 _ 2.5 1.6【解析】：13 、 已 知 函 数 yx2 m 1 在 区 间 0,上 是 增 函 数 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围5最新 料推荐为【解析】： m。1214f(x)(m2m1) xm2 2 m 1 是幂函数，求实数m 的值为。、已知函数【解析】： m 0 或 m 115、已知幂函数f(x) x p 3(p N )的图象关于 y 轴对称，且在 (0， )上是减函数，求满pp足 (a1) 3 (32a)3 的 a的取值范围。11【解析】： p 3 0，p 3，函数是偶函数，则p 1， ( a1) 3 (3 2a) 3 ， ( a 1) (32 a )， a 416、已知幂函数f(x) (m1)2x m2 4 m 2 在 (0， )上是增函数，函数g(x) 2xk 。求（1）求实数m 的值；（ 2）当 x1 ，2时，设f(x) 的值域为A， g(x) 的值域为B ，若 A BA ，求实数k 的取值范围。【解析】： (m 1)2 1，则 m 2 或 m0，函数在 (0， )上是增函数，故m 0。（2）由（ 1）当 x 1，2时 f(x) 1，4，而 g(x) 2k，4k ， A B A ，故 BA ，2k1则k则 0 k 1446